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. 27
( 60 .)



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Determinante dieser Matrix ist 3, die Spur ist 4. Demzufolge ist

χA (x) = x2 ’ 4x + 3 = (x ’ 1) (x ’ 3) .

Damit ist
spec (f ) = {1, 3} .
Die Eigenvektoren zu den Eigenwerten sind nun einfach zu berechnen. Zu 1 :
’1 8 x1 x1
=
’1 5 x2 x2

oder
’2 8 x1
= 0.
’1 4 x2
Nun sieht man, dass die 2 — 2-Matrix singul¨r ist (das hat man ja gerade so ein-
a
gerichtet) und das Gleichungssystem hat daher eine nicht-triviale L¨sung. Eine
o
L¨sung ist z.B.
o
x1 4
= .
x2 1
Der L¨sungsraum ist eindimensional. Der Eigenraum zum Eigenwert 1 ist daher
o
4
E (1) = L .
1

Analog erh¨lt man
a
2
E (3) = L .
1

Die Dimension des Eigenraumes E (») ist per De¬nition mindestens 1, sie
kann aber auch gr¨sser sein.
o

De¬nition 6.8 dim (E (»)) heisst die geometrische Vielfachheit von » ∈
spec (f ) .

Ein triviales Beispiel dazu. idV hat naturlich nur den Eigenwert 1. Dieser hat
¨
geometrische Vielfachheit dim (V ) .
Wir kommen jetzt nochmals auf den Begri¬ der Diagonalisierbarkeit eines
Endomorphismus zuruck. Wie ublich setzen wir voraus, dass f : V ’ V ein
¨ ¨
Endomorphismus ist. Wie wir im letzten Unterkapitel gesehen hatten, ist Dia-
gonalisierbarkeit gleichbedeutend damit, dass eine Basis existiert, bezuglich der
¨
die darstellende Matrix Diagonalgestalt hat. Dies ist jedoch gleichbedeutend da-
mit, dass alle Basiselemente Eigenvektoren sind. Wir erhalten also die folgende
Aussage:

117
Lemma 6.3 f ist genau dann diagonalisierbar, wenn eine Basis aus Eigenvek-
toren existiert.

Eine etwas andere Formulierung desselben Sachverhalts ist:

Lemma 6.4 f ist genau dann diagonalisierbar, wenn

V= E (») (6.7)
»∈spec(f )


gilt.

Beweis. Gilt (6.7), so k¨nnen wir in jedem der Unterr¨ume E (») eine Basis
o a
w¨hlen. Die Vereinigung dieser Basen bildet dann wegen (6.7) eine Basis von V.
a
Wir setzen umgekehrt voraus, dass eine Basis von Eigenvektoren existiert.
Die Anzahl der Vektoren dieser Basis, die fur einen Eigenwert » in E (») liegen,
¨
ist sicher h¨chstens dim (E (»)). Damit folgt dim (V ) ¤ »∈spec(f ) dim (E (»)) .
o
Da die Summe der Eigenr¨ume auf jeden Fall direkt ist, folgt daraus dim (V ) =
a
»∈spec(f ) dim (E (»)) und (6.7).
Wir k¨nnen die Sache auch noch in der Sprache von Matrizen ausdrucken:
o ¨
Wir nennen eine n — n-Matrix A diagonalisierbar, wenn eine regul¨re n — n-
a
’1
Matrix S existiert, sodass S AS eine Diagonalmatrix ist, d.h. wenn A ¨hnlich
a
zu einer Diagonalmatrix ist. Ein Endomorphismus f ist nach der vorangegan-
gen Diskussion genau dann diagonalisierbar, wenn die darstellende Matrix von f
bezuglich einer beliebigen Basis im obigen Sinne diagonalisierbar ist.
¨
Ein hinreichendes (aber kein notwendiges) Kriterium fur die Diagonalisier-
¨
barkeit eines Endomorphismus ist die Existenz von n := dim (V ) verschiedenen
Eigenwerten:

Satz 6.8 Hat das charakteristische Polynom χf (x) n verschiedene Nullstellen,
so ist f diagonalisierbar.

Beweis. Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind genau die Ei-
genwerte. Unter der Voraussetzung des Satzes gibt es also n verschiedene Ei-
genwerte. Seien v1 , . . . , vn zugeh¨rige Eigenvektoren. Nach Satz 6.6 sind diese
o
Eigenvektoren linear unabh¨ngig. Sie bilden also eine Basis von V, was gleichbe-
a
deutend mit der Diagonalisierbarkeit ist.
Wir geben nun einige einfache Beispiele zur Diagonalisierbarkeit. Alle Bei-
spiele sind in Rn und die Endomorphismen sind durch Matrizen gegeben.

Beispiel 6.4 « 
100
A =  1 2 0 .
113

118
Es folgt sofort spec (A) = {1, 2, 3} und mit Satz 6.8 folgt, dass A diagonalisierbar
ist. Um S ∈ GL (3, R) zu ¬nden, mit S ’1 AS = diagonal, mussen wir nur eine
¨
Basis aus Eigenvektoren ¬nden.
Einen Eigenvektor zu 1 ¬nden wir durch L¨sen des homogenen Gleichungssy-
o
stems « 
100
 1 2 0 x = x
113
«  « 
x1 1
fur x =  x2  . Eine L¨sung ist x =  ’1  . Analog ¬ndet man Eigenvekto-
o
¨
x3 0
«  «
0 0
ren zum Eigenwert 2 als x =  1  und zu 3 als x =  0  . Schreiben wir
’1 1
diese Eigenvektoren in die Spalten einer Matrix:
« 
1 00
S :=  ’1 1 0  ,
0 ’1 1
so erhalten wir « 
100
S ’1 AS =  0 2 0  .
003
Beispiel 6.5 n = 2 und
10
A= .
11
1 ist o¬enbar der einzige Eigenwert von A. Der zugeh¨rige Eigenraum ist die
o
L¨sungsmenge des homogenen Gleichungssystems
o
10 x1 x1
= .
11 x2 x2
Das ist ¨quivalent zur Gleichung x1 = 0. Wir haben also
a
0
E (1) = L .
1
Die Dimension dieses Eigenraums ist 1. Nach Lemma 6.4 ist A nicht diagonali-
sierbar.
Beispiel 6.6 Wir ¨ndern das obige Beispiel leicht ab und betrachten
a
10
A=
1a
mit a = 1. Dann besteht das Spektrum aus zwei Eigenwerten, und A ist demzufolge
diagonalisierbar.

119
Beispiel 6.7
11
A= .
’1 1
Das charakteristische Polynom ist
χA (x) = (1 ’ x)2 + 1.
Dieses Polynom hat keine Nullstellen in R. Demzufolge ist spec (A) = …. Wir
k¨nnen A jedoch auch also Endomorphismus von C2 betrachten. Im Komplexen
o
hat χA (x) die beiden Nullstellen 1 + i und 1 ’ i. Da dies zwei verschiedene Ei-
genwerte sind, ist also A im Komplexen diagonalisierbar, das heisst, es gibt eine
Matrix S ∈ GL (2, C) mit
1+i 0
S ’1 AS = .
1’i
0
S hat einfach die Eigenvektoren zu den beiden Eigenwerten in den Spalten.
Bemerkung 6.3 Reelle symmetrische Matrizen, d.h. Matrizen A mit AT = A,
sind reell diagonalisierbar. Das wird sp¨ter bewiesen werden. Die Eigenschaft der
a
Symmetrie hat jedoch keine basisunabh¨ngige Bedeutung: Ist eine symmetrische
a
Matrix A die darstellende Matrix eines Endomorphismus, so ist die darstellende
Matrix desselben Endomorphismus bezuglich einer anderen Basis im allgemeinen
¨
nicht symmetrisch.

6.4 Polynome
6.4.1 Teilbarkeit
Sei K ein K¨rper. Wir hatten schon fruher den Polynomring K [x] betrachtet.
o ¨
Die Elemente von K [x] sind die (formalen) Polynome
n
aj x j ,
p (x) =
j=0

wobei wir x0 := 1 setzen. Wir setzen im allgemeinen voraus, dass an = 0 ist
fur n ≥ 1. Das Polynom mit allen Koe¬zienten 0 heisst das 0-Polynom. Wir
¨
hatten schon fruher eine Multiplikation und eine Addition auf K [x] de¬niert.
¨
(K [x] , +, ·) ist ein kommutativer Ring mit Eins. Das Neutralelement der Multi-
plikation (die “Eins” ist das Polynom 0-ten Grades mit a0 = 1. Ist der h¨chste
o
Koe¬zient an = 0, so bezeichnet man n als den Grad des Polynoms. Wir
schreiben ihn als grad (p (x)) . Es ist bequem (und nur eine Konvention), dem
Nullpolynom den Grad ’∞ zuzuweisen. Dies hat den Vorteil, dass die folgende
Beziehung gilt:
grad (p (x) · q (x)) = grad (p (x)) + grad (q (x)) ,

120
wobei ’∞ + n = n + (’∞) := ’∞ gesetzt wird.
Wie schon im ersten Kapitel erwahnt, fassen wir Polynome (zunachst) einfach
¨ ¨
als endliche Folgen (a0 , a1 , . . . , an ) auf, mit den entsprechenden Additions- und
Multiplikationsregeln. Die “Variable” x hat (im Moment) keinerlei Bedeutung
und ist nur ein Label fur die bequeme Notation. Obwohl wir in der Regel p (x),
¨
q (x) fur ein Polynom schreiben, so ist das daher nicht als eine Funktion an der
¨
Stelle x zu verstehen. Wir nennen ein Polynom = 0 normiert, wenn der h¨chste o
Koe¬zient 1 ist. Wir k¨nnen jedes Polynom = 0 normieren, indem wir es mit
o
einem K¨rperelement multiplizieren.
o
Den K¨rper K k¨nnen wir als Teilmenge von K [x] au¬assen: Wir ordnen
o o
jedem K¨rperelement ± das Polynom p (x) = ± zu. Wir werden in dieser Weise
o
immer stillschweigend K als Teilmenge von K [x] au¬assen.
Wir ben¨tigen einige Begri¬sbildungen aus der Ringtheorie.
o

De¬nition 6.9 Sei (R, +, ·) ein Ring mit Eins (nicht notwendigerweise kommu-
tativ). Ein Element r ∈ R heisst Einheit, wenn es invertierbar ist, d.h. wenn
r ∈ R existiert mit
rr = r r = 1.

Wie wir schon wissen, ist 0 keine Einheit. Der Ring Z hat o¬enbar die beiden
Einheiten 1 und ’1.

Lemma 6.5 Die Menge der Einheiten von K [x] ist K\ {0} .

Beweis. Der ganz einfache Beweis sei dem Leser uberlassen.
¨
De¬nition 6.10 p (x) , q (x) seien zwei von 0 verschiedene Polynome. Man sagt,
p (x) teilt q (x), wenn ein Polynom h (x) existiert mit q (x) = h (x) p (x) . Nota-
tion: p (x) | q (x) . In diesem Fall heisst p (x) ein Teiler von q (x) . p (x) heisst
echter Teiler von q (x) , wenn 1 ¤ grad (p (x)) < grad (q (x)) gilt. Ein Polynom
q (x) von Grad ≥ 1 heisst irreduzibel, wenn es keinen echten Teiler besitzt.
n Polynome p1 (x) , . . . , pn (x) vom Grad ≥ 1 heissen teilerfremd, wenn sie
keinen gemeinsamen Teiler vom Grad ≥ 1 besitzen.

Bemerkung 6.4 a) Per De¬nition ist jedes Polynom von Grad 1 irreduzibel.
b) Gilt p (x) | q (x) und sind ±, β ∈ K\ {0} , so gilt auch ±p (x) | βq (x) . Das
Polynom p (x) teilt also das Polynom q (x) genau dann, wenn entsprechendes fur ¨

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