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. 28
( 60 .)



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die zugeh¨rigen normierten Polynome gilt. Wir k¨nnen uns also bei der Unter-
o o
suchung der Teilbarkeit stets auf normierte Polynome zuruckziehen.
¨
c) Gilt fur zwei Polynome = 0 p (x) | q (x) und q (x) | p (x) , so existiert ± ∈
¨
K\ {0} mit p (x) = ±q (x) .
d) Die Polynome von Grad 0, d.h. die konstanten Polynome = 0 sind trivia-
lerweise Teiler von allen Polynomen = 0. Diese trivialen Teiler spielen naturlich
¨
in der Theorie keine Rolle. Von daher kommt die Beschr¨nkung bei den echten
a
Teilern auf den Grad ≥ 1.

121
De¬nition 6.11 Ein K¨rper K heisst algebraisch abgeschlossen, wenn K [x]
o
keine irreduziblen Polynome vom Grad ≥ 2 besitzt.

Satz 6.9 (Hauptsatz der Algebra) C ist algebraisch abgeschlossen.

Dieser Satz (in der Formulierung des nachsten Unterabschnitts) wurde in Di¬-Int.
¨
I bewiesen.
R ist nicht algebraisch abgeschlossen, wie man sich ohne Schwierigkeiten uber-
¨
2
legen kann: Das Polynom x + 1 ist irreduzibel. Um dies nachzuweisen, nehmen
wir an, dass dieses Polynom einen echten Teiler besitzt. Dieser muss per De¬-
nition den Grad 1 haben. Daraus folgt sofort, dass a, b ∈ R existieren mussten,
¨
sodass
x2 + 1 = (x + a) (x + b)
gelten wurde. Durch Koe¬zientenvergleich ergibt sich a + b = 0 und ab = 1. Das
¨
ist jedoch o¬ensichtlich nicht m¨glich in R (aber naturlich in C mit a = i, b = ’i).
o ¨
R [x] hat jedoch keine irreduziblen Polynome von Grad > 2, wie wir sp¨ter sehen
a
werden. Fur den K¨rper Q ist die Sache noch “schlimmer”. Tats¨chlich hat Q [x]
o a
¨
irreduzible Polynome jeden Grades, was wir jedoch in dieser Vorlesung nicht
zeigen k¨nnen.
o
Division mit Rest: Aus dem Gymnasium sollte bekannt sein, wie man
Polynome mit Rest teilt: Sind p (x) und q (x) zwei Polynome, q (x) = 0, so
existieren eindeutig Polynome h (x) und r (x) mit

p (x) = h (x) q (x) + r (x) ,

grad (r (x)) < grad (q (x)) .
Der Algorithmus zur Bestimmung von h (x) und r (x) soll hier nicht wiederholt
werden und sollte aus der Schule bekannt sein (zumindest fur K = R). Wir
¨
beweisen kurz die Eindeutigkeit: Seien

p (x) = h (x) q (x) + r (x) und p (x) = h (x) q (x) + r (x)

zwei derartige Darstellungen. Dann folgt

0 = (h (x) ’ h (x)) q (x) + (r (x) ’ r (x)) .

W¨re h (x) = h (x) , so h¨tte (h (x) ’ h (x)) q (x) einen Grad ≥ grad (q (x)) .
a a
Andererseits gilt aber grad (r (x) ’ r (x)) < grad (q (x)) . Daraus wurde folgen,
¨
dass grad ((h (x) ’ h (x)) q (x) + (r (x) ’ r (x))) ≥ 0 gilt, was aber nicht m¨glich
o
ist. Somit folgt h (x) = h (x) und damit auch r (x) = r (x) .




122
6.4.2 Nullstellen von Polynomen
Jedes Polynom p (x) ∈ K [x] de¬niert eine Abbildung p : K ’ K. Fur ± ∈ K
¨
ist p (±) ∈ K dadurch de¬niert, dass man den Label x durch das “konkrete”
K¨rperelement ± ersetzt und a0 + a1 ± + . . . + an ±n in K ausrechnet. Wie schon
o
fruher diskutiert, soll man zwischen einem Polynom und der zugeh¨rigen Abbil-
o
¨
dung unterscheiden. Es w¨re daher korrekter, fur die zu einem Polynom p (x)
a ¨
geh¨rende Abbildung eine gesonderte Notation zu verwenden, z.B. p : K ’ K.
o
Um die Notation nicht zu uberladen, lassen wir es jedoch bei p bewenden. Wir
¨
benutzen jedoch in der Regel kleine griechische Buchstaben fur K¨rperelemente
o
¨ ¨
und schreiben dann p (±) , wenn wir den Wert dieser Funktion an der Stelle ±
meinen.

Beispiel 6.8 Wir betrachten den K¨rper Z2 und die beiden Polynome
o

p (x) = x + x2 + x3 ,

q (x) = x2 + x3 + x4 .
Das sind zwei o¬ensichtlich verschiedene Polynome, die jedoch dieselbe Abbildung
Z2 ’ Z2 de¬nieren.

De¬nition 6.12 Sei p (x) ∈ K [x] . ± ∈ K heisst Nullstelle des Polynoms,
wenn p (±) = 0 ist.

Wieder etwas Vorsicht mit der Notation: Wenn wir p (x) = 0 schreiben, mei-
nen wir dass p (x) das Nullpolynom ist. Wenn wir p (±) = 0 schreiben, meinen
wir, dass die zum Polynom geh¨rende Funktion an der Stelle ± gleich dem K¨rper-
o o
element Null ist.
Ein Polynom von Grad 1 hat stets genau eine Nullstelle: Ist p (x) = a0 + a1 x,
so ist ± := ’a0 /a1 die eindeutige Nullstelle dieses Polynoms. Polynome brauchen
jedoch keine Nullstellen zu besitzen. So hat z.B. in R [x] das Polynom x100 + 1
keine Nullstelle.

Satz 6.10 Sei p (x) ∈ K [x] nicht das Nullpolynom und ± ∈ K. ± ist genau dann
eine Nullstelle dieses Polynoms, wenn das Polynom x’± das Polynom p (x) teilt.

Beweis. Wir dividieren p (x) durch x ’ ± mit Rest:

p (x) = (x ’ ±) h (x) + r (x) .

Dabei gilt grad (r (x)) < grad (x ’ ±) = 1, d.h. r (x) ist einfach eine Konstante:
r (x) = β. Einsetzen von ± ergibt

p (±) = 0 ⇐’ β = 0.



123
Satz 6.11 K ist genau dann algebraisch abgeschlossen, wenn jedes Polynom vom
Grad ≥ 1 eine Nullstelle hat.

Beweis. I) Wir setzen zun¨chst voraus, dass jedes Polynom vom Grad ≥ 1
a
eine Nullstelle hat. Sei p (x) ein Polynom vom Grad ≥ 2 und ± eine Nullstel-
le. Nach dem vorangegangen Satz gilt x ’ ± | p (x) . Demzufolge ist p (x) nicht
irreduzibel.
II) Wir setzen voraus, dass K algebraisch abgeschlossen ist. Sei p (x) ein
Polynom vom Grad ≥ 1. Wir zeigen mit Induktion nach grad (p (x)) , dass p (x)
eine Nullstelle hat. Ist grad (p (x)) = 1, so ist dies klar. Sei also grad (p (x)) ≥ 2.
Aus der algebraischen Abgeschlossenheit folgt, dass eine Zerlegung

p (x) = h (x) q (x)

existiert, wobei grad (q (x)) < grad (p (x)) ist. Nach Induktionsvoraussetzung hat
also q (x) eine Nullstelle ± ∈ K. Dann gilt auch p (±) = h (±) q (±) = 0. Es ist
also gezeigt, dass auch p (x) eine Nullstelle hat.
Der sogenannte Hauptsatz der Algebra, also der Satz, dass C algebraisch
abgeschlossen ist, besagt also, dass jedes nicht konstante komplexe Polynom eine
Nullstelle hat. Der Satz wird ublicherweise so formuliert (und auch bewiesen).
¨

Satz 6.12 Sei p (x) ein nicht konstantes Polynom und seien ±1 , . . . , ±k seine
Nullstellen. Dann hat p (x) die bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutige
Darstellung
p (x) = (x ’ ±1 )m1 · . . . · (x ’ ±k )mk q (x) ,
wobei q (x) eine Polynom ohne Nullstellen ist.

Beweis. Wir beweisen einen allgemeineren Satz im Unterkapitel 6.4.4 (Satz
6.16).

Korollar 6.3 Es gilt
k
mi ¤ grad (p (x)) .
i=1

Insbesondere hat jedes Polynom h¨chstens so viele (verschiedene) Nullstellen, wie
o
sein Grad ist.

Korollar 6.4 In einem algebraisch abgeschlossenen K¨rper hat jedes Polynom
o
p (x) = 0 eine bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutige Darstellung

p (x) = γ (x ’ ±1 )m1 · . . . · (x ’ ±k )mk ,

wobei ±1 , . . . , ±k die verschiedenen Nullstellen sind und γ ∈ K\ {0} .


124
De¬nition 6.13 Ist p (x) ein Polynom mit den Nullstellen wie im obigen Satz
6.12. Dann heisst mi die algebraische Vielfachheit der Nullstelle ±i .
Ist f : V ’ V ein Endomorphismus und » ∈ spec (f ) . Dann ist die algebrai-
sche Vielfachheit dieses Eigenwertes de¬niert als die algebraische Vielfachheit
von » als Nullstelle des charakteristischen Polynoms.

Satz 6.13 Sei f : V ’ V ein Endomorphismus und » ∈ spec (f ) . Dann ist die
algebraische Vielfachheit von » gr¨sser oder gleich seiner geometrischen Vielfach-
o
heit.

Beweis. Sei m die geometrische Vielfachheit von ». Dann existieren m
linear unabh¨ngige Eigenvektoren zu » : v1 , . . . , vm . Diese k¨nnen zu einer Basis
a o
V = (v1 , . . . , vn ) von V erg¨nzt werden. Die darstellende Matrix von f in dieser
a
Basis hat die Form
»Em —
,
0 B
wobei B eine (n ’ m) — (n ’ m)-Matrix ist. Das charakteristische Polynom des
¨
Endomorphismus ist dann (unter Verwendung einer Ubungsaufgabe)

(» ’ x) Em —
= (» ’ x)m det (B ’ xEn’m ) = (» ’ x)m χB (x) .
det
B ’ xEn’m
0

Demzufolge ist die algebraische Vielfachheit ≥ m.
Noch ein Zusammenhang mit der Diagonalisierbarkeit eines Endomorphismus:

Satz 6.14 Sei K algebraisch abgeschlossen und f : V ’ V ein Endomorphismus
eines endlichdimensionalen K-Vektorraums V. Dann ist f genau dann diagona-
lisierbar, wenn fur jeden Eigenwert » ∈ spec (f ) die algebraische Vielfachheit
¨
gleich der geometrischen ist.

Beweis. I) Sei zunachst vorausgesetzt, dass f diagonalisierbar ist. Fur diese
¨ ¨
Richtung brauchen wir die algebraische Abgeschlossenheit von K nicht. Ist f
diagonalisierbar, so existiert eine Basis aus Eigenvektoren, d.h. es existiert eine
Basis bezuglich der die darstellende Matrix eine Diagonalmatrix
¨

»1 0 · · · 0
« 
... . ·

¬ 0 »2 .
¬
D=¬ . .
.. ... 0 
.
·
.
0 · · · 0 »n

ist. In der Diagonalen von D stehen die Eigenwerte. Naturlich k¨nnen einzelne
o
¨
Eigenwerte mehrfach vorkommen. Das charakteristische Polynom von f ist gleich
det (D ’ xEn ) = n (»i ’ x) . Zu jedem » ∈ spec (f ) steht » so oft in der
i=1
Diagonalen dieser Matrix wie die Dimension von E (») ist. Das ist aber gleich

125
der Anzahl des Vorkommens des Faktors (» ’ x) im obigen Produkt, also gleich
der algebraischen Vielfachheit.
II) Wir setzen voraus, dass K algebraisch abgeschlossen ist und dass fur jedes
¨
» ∈ spec (f ) die algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen ist. Wir wissen
schon, dass die Summe der Eigenr¨ume direkt ist (Korollar 6.2), und nach Lemma
a
6.4 mussen wir nur nachweisen, dass diese Summe auch ganz V aufspannt, d.h.
¨
dass (6.7) gilt. Dies ist nun gleichbedeutend damit, dass

n := dim V = dim (E (»)) (6.8)
»∈spec(f )


ist.
Da K algebraisch abgeschlossen ist, hat das charakteristische Polynom die
Darstellung

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