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. 30
( 60 .)



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1 = r1 (x) h (x) + l1 (x) p1 (x) (6.12)

1 = r2 (x) h (x) + l2 (x) p2 (x) . (6.13)
Aus (6.12) folgt (durch Multiplikation mit l2 (x) p2 (x))

l2 (x) p2 (x) = r1 (x) l2 (x) p2 (x) h (x) + l1 (x) l2 (x) p1 (x) p2 (x) .

Zusammen mit (6.13) ergibt sich daraus

1 = [r2 (x) + r1 (x) l2 (x) p2 (x)] h (x) + l1 (x) l2 (x) p1 (x) p2 (x) .

Aus Lemma 6.8 folgt daraus, dass h (x) und p1 (x) p2 (x) teilerfremd sind.

Lemma 6.11 Seien p1 (x) , . . . , pn (x) verschiedene irreduzible Polynome, ebenso
q1 (x) , . . . , qN (x) verschiedene irreduzible Polynome und m1 , . . . , mn ∈ N sowie
M1 , . . . , MN ∈ N. Dann gilt

p1 (x)m1 · · · · · pn (x)mn | q1 (x)M1 · · · · · qN (x)MN (6.14)

dann und nur dann, wenn fur jedes i ∈ {1, . . . , n} ein j ∈ {1, . . . , N } existiert
¨
mit pi (x) = qj (x) und
m i ¤ Mj . (6.15)

Beweis. Die eine Richtung ist trivial: Sind alle pi (x) in der Liste der Poly-
nome q1 (x) , . . . , qN (x) enthalten und gilt (6.15), so gilt (6.14).
Wir beweisen die andere Richtung und nehmen an, dass (6.14) gilt. Da
naturlich
¨
pi (x)mi | p1 (x)m1 · · · · · pn (x)mn
gilt, genugt es, den Fall n = 1 zu betrachten. Wir nehmen also an, p (x) sei
¨
irreduzibel und p (x)m teile q1 (x)M1 · · · · · qN (x)MN . Dann gilt auch

p (x) | q1 (x)M1 · · · · · qN (x)MN , (6.16)

da p (x) naturlich p (x)m teilt. Daraus folgt nun, dass p (x) eines der qi (x) ist.
¨
W¨re dem nicht so, so w¨ren p (x) und qi (x) teilerfremd fur i = 1, . . . , N und nach
a a ¨
Lemma 6.10 w¨ren dann auch p (x) und q1 (x) · · · · · qN (x)MN teilerfremd, was
M1
a
(6.16) widerspricht. Wir sehen also, dass p (x) eines der qi (x) ist. Der Einfachheit
halber nehmen wir p (x) = q1 (x) an. Wir mussen nun noch nachweisen, dass
¨
m ¤ M1 gilt. Wir machen das wieder indirekt und nehmen an, dass m > M1
gilt. Es existiert dann also ein Polynom h (x) mit

h (x) p (x)m = p (x)M1 · q2 (x)M2 · · · · · qN (x)MN ,

131
p (x)M1 h (x) p (x)m’M1 ’ q2 (x)M2 · · · · · qN (x)MN = 0.

Da K [x] keine Nullteiler hat, folgt

h (x) p (x)m’M1 ’ q2 (x)M2 · · · · · qN (x)MN = 0,

d.h.
p (x)m’M1 | q2 (x)M2 · · · · · qN (x)MN .
Nach demselben Argument wie oben erhalten wir, dass p (x) eines der Polynome
q2 (x) , . . . , qN (x) ist, was der Voraussetzung widerspricht, dass die qi (x) alle
verschieden sind und p (x) schon q1 (x) ist.
Damit ist das Lemma bewiesen.

Satz 6.16 Sei p (x) ∈ K [x] , grad (p (x)) ≥ 1. Dann hat p (x) die bis auf die
Reihenfolge der Faktoren eindeutige Zerlegung als Produkt von irreduziblen Poly-
nomen:
p (x) = q1 (x)M1 · . . . · qN (x)MN .
Die qi (x) sind irreduzibel und verschieden und die Mi sind ∈ N.

Beweis. Die Eindeutigkeit folgt sofort aus dem vorangegangenen Lemma.
Wir beweisen die Existenz einer derartigen Zerlegung mit Induktion nach dem
Grad von p (x) . Ist grad (p (x)) = 1, so ist nichts zu zeigen, denn p (x) ist schon
irreduzibel. Sei also grad (p (x)) ≥ 2. Die Induktionsannahme ist, dass eine Zer-
legung fur Polynome von Grad ¤ n ’ 1 gilt. Ist p (x) irreduzibel, so ist ebenfalls
¨
nichts zu zeigen. Ist p (x) nicht irreduzibel, so existieren Polynome h (x) , q (x)
vom Grad ¤ n ’ 1 mit p (x) = h (x) q (x) . Wir wenden die Induktionsvorausset-
zung auf h (x) und q (x) an und erhalten auf diese Weise eine Zerlegung von p (x)
als Produkt von irreduziblen Faktoren.
Die obige Zerlegung nennt man die Primfaktorzerlegung eines Polynoms.
Die irreduziblen Polynome, die in der Zerlegung vorkommen, nennt man die
Primfaktoren von p (x) . Die Mi nennt man aus naheliegenden Grunden die ¨
Vielfachheiten der Primfaktoren.
Kennt man die Primfaktorzerlegung von Polynomen p1 (x) , . . . , pn (x) , so
l¨sst sich der gr¨sste gemeinsame Teiler (ganz analog wie bei den ganzen Zah-
a o
len) wie folgt bestimmen: Fur jedes irreduzible Polynom q (x) sein Ri (q (x)) die
¨
Vielfachheit mit der q (x) in der Primfaktorzerlegung von pi (x) vorkommt. Falls
q (x) in der Primfaktorzerlegung nicht vorkommt, so setzen wir Ri (q (x)) := 0.
Dann de¬nieren wir
R (q (x)) := min Ri (q (x)) .
1¤i¤n

Dann gilt




132
Proposition 6.1

q (x)R(q(x)) .
ggT (p1 (x) , . . . , pn (x)) = (6.17)
q(x) irreduzibel


Dabei ist q (x)0 := 1.

Die Notation auf der rechten Seite braucht wohl eine kleine Erkl¨rung: Man
a
nimmt jedes irreduzibel Polynom mit der minimalen Anzahl seines Vorkommens
in den Zerlegungen der pi (x) . Naturlich kommen nur endlich viele irreduzible
¨
Polynome q (x) uberhaupt in irgendeiner der Primfaktorzerlegung der pi (x) vor.
¨
Obwohl also (formal) q(x) irreduzibel ein unendliches Produkt ist, sind alle Fakto-
ren bis auf endlich viele einfach gleich Eins, und k¨nnen daher weggelassen wer-
o
den. Man kann sich darauf beschr¨nken, dass nur die Polynome q (x) uberhaupt
a ¨
betrachtet werden, die in allen Primfaktorzerlegungen der pi (x) vorkommen, mit
dem Verst¨ndnis, dass die rechte Seite von (6.17) gleich 1 ist, wenn es uberhaupt
a ¨
kein irreduzibles Polynom gibt, die in allen Primfaktorzerlegungen vorkommt.
¨
Der einfache Beweis der obigen Proposition sei dem Leser als Ubungsaufgabe
uberlassen.
¨

6.5 Polynomiale Funktionen von Endomorphismen
V sei ein endlichdimensionaler K-Vektorraum. Wie fruher schon eingefuhrt, be-
¨ ¨
zeichnen wir mit hom (V ) die Menge der Endomorphismen V ’ V. Wir hatten
schon fruher gesehen, dass hom (V ) selbst ein K-Vektorraum ist: Sind f, g ∈
¨
hom (V ) , so de¬nieren wir f + g ∈ hom (V ) durch (f + g) (v) := f (v) + g (v) ,
und fur ± ∈ K, f ∈ hom (V ) de¬nieren wir (±f ) (v) := ±f (v) .
¨

Lemma 6.12 Ist n = dim (V ) , so ist dim (hom (V )) = n2 .

Beweis. Sei V = (v1 , . . . , vn ) eine Basis von V. Wir de¬nieren fur 1 ¤ i, j ¤ n
¨
die Endomorphismen fij durch die Festsetzung fij (vk ) := δik vj , k = 1, . . . , n.
¨
Dann bildet die Familie der fij eine Basis von hom (V ) (Ubungsaufgabe).
hom (V ) hat nicht nur die Struktur eines K-Vektorraum, sondern besitzt auch
ein Produkt, n¨mlich die Komposition: sind f, g ∈ hom (V ) , so ist f —¦ g die
a
Komposition, die naturlich wieder in hom (V ) liegt.
¨
Die Operation der Komposition ist assoziativ, wie wir schon wissen, und bi-
linear: Fur f, g, h ∈ hom (V ) und ±, β ∈ K gelten
¨

(±f + βg) —¦ h = ± (f —¦ h) + β (g —¦ h)

h —¦ (±f + βg) = ± (h —¦ f ) + β (h —¦ g) ,
wie man sofort nachpruft. hom (V ) hat also die Struktur einer assoziativen K-
¨
Algebra (siehe Bemerkung 4.1). Durch die Einfuhrung einer Basis k¨nnen wir
o
¨

133
diese mit der Menge der quadratischen Matrizen M (n, K) in Beziehung setzen.
Ist V = (v1 , . . . , vn ) eine Basis von V, so konnen wir jedem Endomorphismus
¨
f ∈ hom (V ) die darstellende Matrix bezuglich dieser Basis zuordnen und diese
¨
Zuordnung ist bijektiv. Dabei ubertragen sich die Vektorraumoperationen und
¨
Komposition von Endomorphismen entspricht der Multiplikation von Matrizen.
Dies hatten wir schon fruher diskutiert.
¨
Sei nun p (x) ∈ K [x] ein Polynom, p (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn und sei
f ∈ hom (V ) . Wir k¨nnen dann
o

p (f ) := a0 idV +a1 f + a2 f 2 + . . . + an f n

de¬nieren. Dabei ist f k die k-fache Komposition der Abbildung f. Wir schreiben
auch f 0 := idV . p (f ) ist dann selbst wieder ein Endomorphismus.

Lemma 6.13 a) Ist h (x) = ±p (x)+βq (x) , ±, β ∈ K, p (x) , h (x) , q (x) ∈ K [x] ,
und ist f ∈ hom (V ) , so gilt

h (f ) = ±p (f ) + βq (f ) .

b) Ist h (x) = p (x) q (x) und ist f ∈ hom (V ) , so gilt

h (f ) = p (f ) —¦ q (f ) .

Beweis. Einfaches Nachrechnen.

Bemerkung 6.7 a) Aus dem obigen Lemma folgt fur p (x) , q (x) ∈ K [x] und
¨
f ∈ hom (V ) :
p (f ) —¦ q (f ) = q (f ) —¦ p (f ) ,
obwohl naturlich im allgemeinen die Komposition von Endomorphismen nicht
¨
kommutativ ist.
b)

1 (f ) = idV
0 (f ) = 0.

Dies bedarf vielleicht einer Erl¨uterung: Die 1 auf der linken Seite der ersten
a
Gleichung ist das konstante Polynom 1. Die 0 auf der linken Seite der zweiten
Gleichung ist das Nullpolynom. Die 0 auf der rechten Seite ist die Nullabbildung
V ’ V.
c) Im allgemeinen gilt fur p (x) ∈ K [x] , f, g ∈ hom (V ) :
¨

p (f + g) = p (f ) + p (g) ,

p (f —¦ g) = p (f ) —¦ p (g) .

134
Man kann ganz einfache Beispiele angeben. So gilt fur p (x) = x2
¨
p (f + g) = f 2 + f —¦ g + g —¦ f + g 2
p (f ) + p (g) = f 2 + g 2 .
Die beiden Endomorphismen stimmen nur uberein, wenn f —¦ g + g —¦ f = 0,
¨
was naturlich im allgemeinen nicht der Fall ist, z.B. fur f = g = idV . Fur
¨ ¨ ¨
p (f —¦ g) = p (f ) —¦ p (g) lassen sich analoge Beispiele angeben.
d) Sei p (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn ∈ K [x], f ∈ hom (V ) und V = (v1 , . . . , vn )
eine Basis von V. Ist A die darstellende Matrix von f bezuglich V, so ist
¨
p (A) := a0 En + a1 A + a2 A2 + . . . + an An
die darstellende Matrix von p (f ) bezuglich V.
¨
Sei nun ein fester Endomorphismus f ∈ hom (V ) gegeben. Wir fragen uns,
ob es ein Polynom p (x) ∈ K [x] , p (x) = 0, gibt mit p (f ) = 0 (das ist der 0-
Endomorphismus). Wir sagen dann, dass Polynom p (x) den Endomorphismus
annulliert. Diese Frage ist sehr leicht mit “Ja” zu beantworten: Wir betrachten
2
die Endomorphismen idV , f, f 2 , . . . , f n . Dies sind n2 +1 Elemente in hom (V ) . Da
dim (hom (V )) = n2 ist, sind diese Endomorphismen linear abh¨ngig. Demzufolge
a
existieren Skalare a0 , a1 , . . . , an2 ∈ K, nicht alle = 0, mit
2
a0 idV +a1 f + a2 f 2 + . . . + an2 f n = 0.
2
Die linke Seite ist aber p (f ) mit p (x) = a0 + a1 x + . . . + an2 xn .
Wir betrachten die Menge
Jf := {p (x) ∈ K [x] : p (f ) = 0} .
Wie wir oben gesehen haben, existiert ein Polynom in Jf , das nicht das Nullpo-
lynom ist. Wie man sofort nachpruft, ist Jf ein Ideal. Nach Satz 6.15 existiert
¨
ein eindeutiges normiertes Polynom mf (x) ∈ K [x] mit Jf = (mf (x)) .
De¬nition 6.16 mf (x) heisst das Minimalpolynom von f.
mf (x) ist auch einfach das eindeutig bestimmte normierte Polynom mini-
malen Grades ≥ 0, das den Endomorphismus annulliert. Zun¨chst zwei triviale
a
Bemerkungen: Ist V = {0} , so gibt es naturlich kein konstantes Polynom, das f
¨
annulliert, denn 1 (f ) = idV , selbst wenn f die Nullabbildung ist. Demzufolge ist
ausser im Trivialfall V = {0} grad (mf (x)) ≥ 1. Ist f die Nullabbildung so ist
das Minimalpolynom o¬ensichtlich mf (x) = x. Dar Fall, wo grad (mf (x)) = 1
ist, ist ebenfalls sehr einfach: Ist mf (x) = ± + x, so ist mf (f ) = f + ± idV , d.h.
f = ’± idV , d.h. f ist ein Vielfaches der Identit¨t. In allen anderen F¨llen
a a

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