<<

. 31
( 60 .)



>>

hat das Minimalpolynom Grad mindestens 2. Wie wir schon gesehen haben,
gilt grad (mf ) ¤ dim (V )2 . Wir werden jedoch sehen, dass das Minimalpolynom
h¨chstens Grad dim (V ) hat.
o

135
Satz 6.17 spec (f ) ist die Nullstellenmenge des Minimalpolynoms.

Beweis. I) Sei ± eine Nullstelle von mf (x) . Dann gilt mf (x) = (x ’ ±) p (x) ,
wobei grad (p (x)) < grad (mf (x)) ist. Somit gilt p (x) ∈ Jf . Demzufolge existiert
/
v ∈ V mit v := p (f ) (v) = 0. Andererseits ist jedoch mf (f ) (v) = 0. Daraus folgt

0 = mf (f ) (v) = (f ’ ±) (p (f ) (v)) = (f ’ ±) (v) = f (v) ’ ±v.

Demzufolge ist ± ∈ spec (f ) mit Eigenvektor v.
II) Sei umgekehrt ± ∈ spec (f ) . Dann existiert ein Vektor v = 0 mit f (v) =
±v. Wir betrachten

I := {p (x) ∈ K [x] : p (f ) (v) = 0} .

I ist o¬ensichtlich ein Ideal. Ferner gilt 1 ∈ I, da v = 0 ist. Andererseits
/
ist x ’ ± ∈ I, denn (f ’ ± idV ) (v) = 0 nach der Voraussetzung, dass v ein
Eigenvektor ist. Daraus folgt, dass I das von x’± erzeugte Ideal ist. Andererseits
gilt jedoch Jf ‚ I, denn wenn p (f ) die Nullabbildung ist, so ist naturlich auch
¨
p (f ) (v) = 0. Daraus folgt, dass x ’ ± jedes Polynom in Jf teilt und insbesondere
auch das Minimalpolynom selbst. Nach Satz 6.10 folgt, dass ± eine Nullstelle des
Minimalpolynoms ist.

Satz 6.18 Ein Endomorphismus f ist genau dann diagonalisierbar, wenn das
Minimalpolynom in einfache Linearfaktoren zerf¨llt, d.h. wenn
a

(x ’ ±)
mf (x) =
±∈spec(f )

gilt.

Beweis. Sei spec (f ) = {±1 , . . . , ±k } .
I) Sei f diagonalisierbar. Dann gilt V = k E (±j ) . f ’ ±j idV annulliert
j=1
jeden Vektor aus E (±j ) , d.h. es gilt (f ’ ±j idV ) (v) = 0 fur jeden Vektor aus
¨
k
E (±j ) . Betrachten wir den Endomorphismus g := j=1 (f ’ ±j idV ) . (Das Pro-
dukt ist hier als Komposition zu verstehen). Da die Reihenfolge der Faktoren
keine Rolle spielt, folgt auch g (v) = 0 fur alle v ∈ E (±j ) . Dies gilt fur ein belie-
¨ ¨
biges j. Somit folgt g (v) = 0 fur alle v ∈ V. Demzufolge ist g die Nullabbildung.
¨
Nun ist aber g = p (f ) , wobei p (x) das Polynom p (x) := k (x ’ ±j ) ist. Aus
j=1
p (f ) = 0 folgt aber, dass p (x) das Minimalpolynom teilt. Da jedoch nach dem
vorangegangenen Satz, jedes der ±j eine Nullstelle des Minimalpolynoms ist, folgt
dass p (x) = mf (x) ist.
II) Wir setzen voraus, dass mf (x) = k (x ’ ±j ) gilt. Wir betrachten die
j=1
Polynome
k
(x ’ ±j ) .
pi (x) :=
j=1, j=i


136
Diese Polynome sind nach der Proposition 6.1 teilerfremd. Demzufolge existieren
Polynome h1 (x) , . . . , hk (x) mit
k
1= pi (x) hi (x) .
i=1

Einsetzen von f ergibt:
k
pi (f ) —¦ hi (f ) .
idV =
i=1

Damit folgt, dass fur jedes Element v ∈ V die Gleichung
¨
k
(pi (f ) —¦ hi (f )) (v).
v=
i=1 =:vi

Nun gilt aber

(f ’ ±i idV ) —¦ pi (f ) —¦ hi (f ) = mf (f ) —¦ hi (f ) = 0,

und demzufolge (f ’ ±i idV ) (vi ) = 0. Dies impliziert vi ∈ E (±i ) . Wir haben
somit gezeigt, dass sich jeder Vektor als Summe von Vektoren aus den Eigenr¨u-
a
men schreiben l¨sst. Mit anderen Worten:
a
k
V= E (±i ) .
i=1

Die Summe der Eigenraume ist jedoch auf jeden Fall eine direkte, sodass
¨
k
V= E (±j )
j=1

folgt, was gleichbedeutend mit der Diagonalisierbarkeit ist.

Satz 6.19 (Cayley-Hamilton) Das charakteristische Polynom von f annul-
liert f, d.h. es gilt
χf (f ) = 0.

Beweis. Wir beweisen den Satz nur fur algebraisch abgeschlossenen K¨rper.o
¨
Wir zeigen den Satz mit Induktion nach n := dim (V ) . Der Fall n = 1 ist
einfach: Hier ist f = » idV , wobei » der einzige Eigenwert ist. Damit ist χf (x) =
» ’ x und χf (f ) = » idV ’f = 0.
Sei nun n ≥ 2. Wir beweisen die Aussage des Satzes unter der Induktions-
voraussetzung, dass sie fur Vektorr¨ume der Dimension ¤ n ’ 1 gilt. Da K als
a
¨
algebraisch abgeschlossen vorausgesetzt wird, existiert ein Eigenwert ». Sei v1 ein

137
zugehoriger Eigenvektor. Wir erganzen v1 zu einer Basis V = (v1 , . . . , vn ) . Wir
¨ ¨
setzen
V1 := L [v1 ] , V2 := L [v2 , . . . , vn ] .
Dann gilt V = V1 • V2 .
V1 ist nach Voraussetzung invariant unter f, V2 aber i.a. nicht. Ist v ∈ V2 , so
k¨nnen wir jedoch f (v) eindeutig als u1 + u2 zerlegen, mit u1 ∈ V1 , u2 ∈ V2 . Wir
o
de¬nieren f ur v ∈ V2 :
¨
f (v) := u2 .
f ist dann ein Endomorphismus V2 ’ V2 . Wir betrachten die darstellende Matrix
von f bezuglich V. Diese hat die Form
¨
« 
» — ... —
¬0 ·
·,
¬ ·
¬.
. . A 
0

wobei A eine (n ’ 1) — (n ’ 1)-Matrix ist, o¬enbar die darstellende Matrix von
f bezuglich (v2 , . . . , vn ) . Demzufolge ist
¨

χf (x) = (» ’ x) det (A ’ xEn’1 ) = (» ’ x) χf (x) .

Nun ben¨tigen wir eine kleine Zwischenuberlegung.
o ¨
Sei p (x) ein beliebiges Polynom. Dann ist f ur jedes v ∈ V2
¨

p (f ) (v) ’ p f (v) ∈ V1 . (6.18)

Wir fuhren den Beweis von (6.18) mit Induktion nach m := grad (p (x)) . Fur
¨ ¨
konstante Polynome ist die Aussage trivial (wieso?). Sei also m ≥ 1. Dann ist

p (x) = xq (x) + a,

a ∈ K, grad (q (x)) = m ’ 1. Fur v ∈ V2 gilt dann mit f q f (v) =
¨
f q f (v) + w1 , w1 ∈ V1

p (f ) (v) ’ p f (v) = f (q (f ) (v)) + av ’ f q f (v) ’ av

= f (q (f ) (v)) ’ f q f (v) + w1

= f q (f ) (v) ’ q f (v) + w1 ∈ V1 ,

da q (f ) (v) ’ q f (v) nach Induktionsvoraussetzung ∈ V1 ist und V1 invariant
unter f ist. Damit ist (6.18) bewiesen.

138
Wir zeigen nun χf (f ) = 0, wobei wir die Induktionsvoraussetzung benutzen,
¨
dass diese Aussage fur Vektorra ume der Dimension n ’ 1 schon bewiesen ist.
¨ ¨
Wir mussen also zeigen, dass fur jeden Vektor v ∈ V die Gleichung χf (f ) (v) = 0
¨ ¨
gilt. Wegen der Linearitat von χf (f ) genugt es, diese Aussage fur v ∈ V1 und
¨ ¨ ¨
fur v ∈ V2 zu beweisen.
¨
Ist v ∈ V1 , so gilt

χf (f ) (v) = χf (f ) —¦ (» idV ’f ) (v) = 0.

Ist v ∈ V2 , so ist nach (6.18), angewendet auf p (x) = χf (x) :

χf (f ) (v) = (» idV ’f ) χf (f ) (v)

= (» idV ’f ) χf f (v) + w1 ,

mit w1 ∈ V1 . Nach Induktionsvoraussetzung ist aber χf f = 0. Demzufolge ist

χf (f ) (v) = (» idV ’f ) (w1 ) = 0,

da jeder Vektor in V1 einfach um » gestreckt wird.
Damit ist der Satz fur algebraisch abgeschlossene Korper bewiesen.
¨ ¨

Bemerkung 6.8 Der Satz kann wie folgt auch fur nicht algebraisch abgeschlos-
¨
sene K¨ rper bewiesen werden. Betrachten wir den Fall K = R. Am besten for-
o
mulieren wir den Satz fur Matrizen. Er besagt dann o¬enbar, dass f ur jede reelle
¨ ¨
quadratische Matrix A die Gleichung χA (A) = 0 (Nullmatrix) gilt. Nun ist aber
jede reelle Matrix auch eine komplexe Matrix, und das im Komplexen berechnete
charakteristische Polynom hat naturlich genau dieselben Koe¬zienten, wie wenn
¨
sie im Reellen berechnet werden. Wir haben somit den Satz von Cayley-Hamilton
auch fur K = R bewiesen. Dieses Argument funktioniert o¬enbar stets, wenn
¨
wir zum K¨rper K eine K¨rpererweiterung L ¬nden k¨nnen, wobei L algebraisch
o o o
abgeschlossen ist. Es gibt einen Satz in der Algebra, der besagt, dass dies immer
m¨glich ist. Wir k¨nnen ihn jedoch hier nicht beweisen. Aus diesem Satz folgt
o o
dann Cayley-Hamilton fur beliebige K¨rper.
o
¨
Es gibt allerdings auch (nicht zu schwierige) direkte Beweise des Satzes von
Cayley-Hamilton fur nicht algebraisch abgeschlossene K¨rper.
o
¨




139
7 Die Jordansche Normalform:
Struktur der Endomorphismen
7.1 Nilpotente Endomorphismen
W¨hrend des ganzen Kapitels ist f : V ’ V ein Endomorphismus und V ein
a
endlichdimensionaler K-Vektorraum, V = {0} .

De¬nition 7.1 f heisst nilpotent, wenn eine naturliche Zahl k ≥ 1 existiert
¨
k k
mit f = 0. (f ist die k-fach Iterierte der Abbildung f ).

Lemma 7.1 a) Ist f nilpotent, so gilt spec (f ) = {0} .
b) Sei f nilpotent und k die kleinste naturliche Zahl mit f k = 0. Dann ist das
¨
Minimalpolynom von f das Polynom xk .

Beweis. a) Sei » ∈ spec (f ) . Dann existiert ein Vektor v = 0 mit f (v) = »v.
Falls f k = 0 ist, so ergibt k-faches Iterieren die Gleichung 0 = f k (v) = »k v.
Wegen v = 0 folgt »k = 0 und damit » = 0. Andererseits l¨sst sich leicht zeigen,
a
dass 0 tats¨chlich ein Eigenwert ist: Sei v ∈ V, v = 0, und j ∈ N sei die kleinste
a
Zahl mit f j (v) = 0. Dann gilt f (f j’1 (v)) = 0 und f j’1 (v) = 0. Damit ist
gezeigt, dass 0 ein Eigenwert ist. Somit folgt spec (f ) = {0} .
¨
b) ist ein einfache Ubungsaufgabe.
Wir wollen nun nachweisen, dass jeder nilpotente Endomorphismus eine Basis
besitzt, bezuglich der die darstellende Matrix eine ganz spezielle Gestalt hat.
¨

De¬nition 7.2 Sei » ∈ K. Die n — n-Matrix

<<

. 31
( 60 .)



>>