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. 32
( 60 .)



>>

« 
» 0 0 ··· ··· 0
0 ··· 0
¬1 » 0 ·
.
¬ ·
.
¬0 1 » 0 .
¬ ·
·
»
Jn := ¬ . . . . . . . .
¬. . . ·
..
. .
¬. . . ·
·
¬. . ..
. .
·
.0
.. 
0 0 ··· 0 1»

heisst Jordanblock. Ein Jordanblock hat also in der Diagonalen », in der ersten
unteren Nebendiagonalen Einsen und sonst uberall Nullen.
¨
0 0
Fur uns sind im Moment nur die Jordanblocke Jn wichtig. J1 ist einfach die
¨ ¨
1 — 1-Matrix 0. Hat ein Endomorphismus f bezuglich einer Basis V = (v1 , . . . , vn )
¨
0
die darstellende Matrix Jn , so werden die Basisvektoren unter f nach folgendem
Schema abgebildet:

v1 ’ v2 ’ . . . ’ vn’1 ’ vn ’ 0.

140
Demzufolge gilt f n = 0, denn alle Basisvektoren werden unter Iterierten von
f nach spatestens n Iterationen nach 0 abgebildet. f ist also nilpotent. Man
¨
beachte, dass f n’1 = 0 ist, denn f n’1 (v1 ) = vn = 0.
Ersetzen wir V durch die umgestellte Basis (vn , . . . , v1 ) , so hat die darstellende
Matrix bezuglich dieser Basis einfach die Einsen in der oberen Nebendiagonalen.
¨
In vielen Buchern wird das als Jordanblock verwendet.
¨
Wir zeigen nun, dass fur jede nilpotente Abbildung eine Basis existiert, be-
¨
zuglich der sich die darstellende Matrix in einfacher Weise aus Jordanbl¨cken o
¨
zusammensetzt.
Satz 7.1 Sei f ein nilpotenter Endomophismus, und k ∈ N, k ≥ 1, sei die
kleinste Zahl mit f k = 0. Dann exisistiert eine Basis von V bezuglich der die
¨
darstellende Matrix die folgende Gestalt hat:
«0
Jd1 0 · · ·

0


0
¬ 0 Jd2 .
¬
·. (7.1)
¬. ...
. . 0 
0
0 · · · 0 Jdm
Dabei gilt m di = n := dim (V ) , k = maxi di und m, die Anzahl der Jordan-
i=1
bl¨cke, ist die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes 0.
o
Die obige Jordanmatrix ist eindeutig durch f gegeben, bis auf die Reihen-
folge der Jordanbl¨cke.
o
Ein Basis bezuglich der die darstellende Matrix die obige Gestalt hat, nennt
¨
man eine Jordanbasis. Es muss jedoch betont werden, dass eine Jordanbasis in
keiner Weise eindeutig ist.
Durch eine Umordnung der Basis kann man die Reihenfolge der Jordanbl¨cke o
in der Jordanmatrix ¨ndern. Wir k¨nnen deshalb ohne Einschr¨nkung der All-
a o a
gemeinheit annehmen, dass d1 ≥ d2 ≥ . . . ≥ dm gilt.
Ist V = (v1 , . . . , vn ) eine Jordanbasis, bezuglich der die darstellende Matrix
¨
die obige Form hat (mit d1 ≥ d2 ≥ . . . ≥ dm ), so werden die Basisvektoren unter
f nach folgendem Schema abgebildet:
v1

v2 vd1 +1
“ “
. . .
. . .
. . . etc.
(7.2)
.
.
vd1 ’1 vd1 +d2 ’1 .
“ “ “
vd1 vd1 +d2 vd1 +d2 +d3
“ “ “
0 0 0

141
Falls ein derartiges Abbildungsverhalten einer Basis vorliegt, so gilt o¬ensichtlich
f d1 = 0 aber f d1 ’1 = 0. f d1 schickt namlich alle Vektoren der Basis auf den
¨
d1 ’1
Nullvektor, wahrend unter f der Vektor v1 auf vd1 = 0 abgebildet wird. Ferner
¨
gilt ker (f ) = L [vd1 vd1 +d2 , . . .] , d.h. ker (f ) wird von der untersten Schicht” des

obigen Schemas aufgespannt. dim (ker (f )) , die geometrische Vielfachheit des
(einzigen) Eigenwertes 0, ist also die Anzahl der Jordanbl¨cke. o
Wir werden im Beweis vom Satz 7.1 mehrfach das folgende Lemma verwenden:

Lemma 7.2 Seien U ein Unterraum des Vektorraumes V , m = dim U und n =
dim V. Sind v1 , . . . , vk , k ¤ n ’ m, linear unabh¨ngige Vektoren mit
a

U © L [v1 , . . . , vk ] = {0} , (7.3)

so existieren Vektoren vk+1 , . . . , vn’m ∈ U, sodass v1 , . . . , vn’m linear unabh¨ngig
/ a
sind und
U © L [v1 , . . . , vn’m ] = {0} (7.4)
gilt.

Beweis. Sei u1 , . . . , um eine Basis von U. Wegen (7.3), Satz 6.1 und Korollar
6.1 sind u1 , . . . , um , v1 , . . . , vk linear unabh¨ngig. Diese Vektoren lassen sich daher
a
mit Vektoren vk+1 , . . . , vn’m zu einer Basis von V erg¨nzen. Dann folgt sofort
a
(7.4).

Bemerkung 7.1 a) Das Lemma gilt auch mit k = 0. Es besagt dann einfach,
dass es linear unabh¨ngige Vektoren v1 , . . . , vn’m mit (7.4) gibt.
a
b) Wegen 6.1 ist (7.4) ¨quivalent zu
a

V = U • L [v1 , . . . , vn’m ] .

Bevor wir den Satz 7.1 in voller Allgemeinheit beweisen, betrachten wir zwei
Spezialf¨lle.
a
Zun¨chst der triviale Spezialfall k = 1. Dann ist f = 0 und die darstellende
a
Matrix ist bezuglich jeder Basis die Nullmatrix, was o¬enbar in diesem Fall die
¨
richtige Jordanmatrix ist. (Man sieht ubrigens hier, dass eine Jordanbasis in
¨
keinster Weise eindeutig ist).
Wesentlich interessanter ist der Fall k = 2, den wir nun diskutieren. Der Satz
besagt, dass sich eine Basis ¬nden l¨sst, bezuglich der sich die darstellende Matrix
a ¨
00
0 0
aus Jordanbl¨cken J2 =
o und J1 = (0) zusammensetzt. Wir k¨nnen o
10
annehmen, dass die Zweierbl¨cke zuerst kommen, dass also die Jordanmatrix wie
o




142
folgt aussieht: « 
00
¬10 ·
0 0·
¬
...
¬ ·
¬0
¬ ·
·
00
¬ ·
·. (7.5)
¬ ·
. 10
.
¬
. 0 0
¬ ·
¬ ·
0
¬ ·
¬ ·
...
¬ ·
 
0 0
Gibt es l Zweierbl¨cke und ist V = (v1 , . . . , vn ) eine entsprechende Jordanbasis,
o
so bildet f diese Basiselemete nach folgendem Schema ab:

v1 ’ v2 ’ 0, v3 ’ v4 ’ 0, . . . , v2l’1 ’ v2l ’ 0, v2l+1 ’ 0, . . . , vn ’ 0. (7.6)

Wenn wir umgekehrt eine Basis ¬nden, die unter f nach Schema (7.6) abgebildet
wird, so haben wir die gewunschte Jordanbasis gefunden.
¨
Beweis der Eindeutigkeit (im Fall k = 2): Falls wir eine Basis mit dem Abbil-
dungsverhalten (7.6) gefunden haben, so bilden v2 , v4 , . . . , v2l , v2l+1 , . . . , vn eine
Basis des Kerns von f. In der Tat ist eine Linearkombination n ±i vi genaui=1
dann im Kern, wenn
n n
f ±i vi = ±i f (vi ) = ±1 v2 + ±3 v4 + . . . + ±2l’1 v2l = 0
i=1 i=1

gilt, d.h. wenn ±1 = ±3 = . . . = ±2l’1 = 0 sind. Somit wird l im Schema (7.6)
durch die Abbildung f festgelegt. Da l und die Dimension n von V das Schema
(bis auf die Reihenfolge) eindeutig festlegen, ist damit die Eindeutigkeit gezeigt.
Beweis der Existenz (im Fall k = 2). Es ist naheliegend, zun¨chst mit einer
a
Basis des Kerns von f zu beginnen und zu versuchen, diese dann in geeigneter
Weise zu einer Basis von V zu erg¨nzen. Es stellt sich jedoch heraus, dass das
a
nicht die richtige Idee ist, und dass man stattdessen von oben” beginnen muss.

Seien U := ker(f ), n := dim(V ) und m := dim(U ). Wegen unserer Annahme
k = 2 gilt f = 0, f 2 = 0 und somit

{0} U V.

Nach Lemma 7.2 existieren linear unabhangige Vektoren um+1 , . . . , un ∈ V mit
¨

V = U • L [um+1 , . . . , un ] . (7.7)

Lemma 7.3 a) f (um+1 ) , . . . , f (un ) ∈ ker (f )
b) f (um+1 ) , . . . , f (un ) sind linear unabh¨ngig in V.
a

143
Beweis. a) folgt sofort aus f 2 = 0.
b): Sei
n
±j f (uj ) = 0, ±m+1 , . . . , ±n ∈ K.
j=m+1

n
= 0, d.h. n j=m+1 ±j uj ∈
Wegen der Linearitat von f folgt f j=m+1 ±j uj
¨
ker(f ) = U. Andererseits gilt n j=m+1 ±j uj ∈ L [um+1 , . . . , un ] . Wegen (7.7) folgt
n
j=m+1 ±j uj = 0 und somit ±m+1 = . . . = ±n = 0 wegen der Unabh¨ngigkeit der
a
uj .
Eine erste Schlussfolgerung des Lemmas ist

m = dim (U ) ≥ dim (L [um+1 , . . . , un ]) = n ’ m =: l.

Wir konnen nun die l Vektoren f (um+1 ) , . . . , f (un ) mit Vektoren ul+1 , . . . , um zu
¨
einer Basis (f (um+1 ) , . . . , f (un ) , ul+1 , . . . , um ) in U erganzen. Da um+1 , . . . , un
¨
eine Basis in L [um+1 , . . . , un ] bilden und (7.7) gilt, folgt nach Korollar 6.1, dass
(um+1 , . . . , un , f (um+1 ) , . . . , f (un ) , ul+1 , . . . , um ) eine Basis in V ist. Wir brau-
chen diese nun nur noch umzunumerieren, dann haben wir die gewunschte Jor- ¨
danbasis: v1 := um+1 , v2 := f (um+1 ) , v3 := um+2 , v4 := f (um+2 ) , . . . , v2l :=
f (un ) , v2l+1 := ul+1 , . . . , vn := um . Das Abbildungsverhalten von f ist dann ge-
nau durch das Schema (7.6) gegeben, d.h. die darstellende Matrix von f ist (7.5).
Damit haben wir Satz 7.1 im Falle k = 2 bewiesen.

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