<<

. 34
( 60 .)



>>

¬·¬ · ¬ ·
’1 · , v3 = Av2 = ¬
v2 = Av1 = A ¬ 1 · = ¬ 1 ·.
¬·¬ · ¬ ·
’1
0  1  
’1
0 1

Etwas mehr Aufwand ist es, einen geeigneten Vektor v4 ∈ U2 zu ¬nden. Es
reicht nicht, dass v2 , v4 linear unabh¨ngig und nicht in U1 sind. Dann haben wir
a
n¨mlich keine Garantie dafur, dass (7.9) erfullt ist. Um v4 zu ¬nden, w¨hlen
a a
¨ ¨« 
’1
¬1·
¬ ·
¬ ’1 ·, und erg¨nzen v3 , v, v2
wir eine beliegige Basis in U1 , z.B. v3 und v := ¬ a
·
0
0
zu einer Basis in U2 . Wegen dim U2 = 4 wird dafur noch ein Vektor ben¨tigt, o
¨
«
0
¬0·
¬·
unser gewunschtes v4 . Eine M¨glichkeit ist v4 = ¬ 0 · . Nun k¨nnen wir v
o o
¨ ¬·
1
0
vergessen, er hat seine Schuldigkeit getan, n¨mlich ein geeigenetes v4 zu ¬nden.
a
Die Konstruktion erzwingt, dass U1 © L [v2 , v4 ] = {0} gilt. Nun ergibt sich v5 als


148
Av4 , also « 
0
0
¬ ·
¬ ·
0
v5 = ¬ ·.
¬ ·
1
 
’1
Damit haben wir unsere Basis (v1 , v2 , v3 , v4 , v5 ) beisammen. Sie wird nach fol-
gendem Schema abgebildet:
v1 ’ v2 ’ v3 ’ 0
.
v4 ’ v5 ’ 0
Damit ist die darstellende Matrix bezuglich dieser Basis durch die rechte Seite
¨
von (7.12) gegeben. S ist einfach die Matrix der Basistransformation, d.h. wir
schreiben einfach die vi in die Spalten:
« 
00 100
¬ 0 1 ’1 0 0 ·
¬ ·
¬ 1 ’1 1 0 0 · .
S := ¬ ·
 0 1 ’1 1 1 
0 ’1 1 0 ’1
Wenn wir uns nicht verrechnet haben, gilt nun die Gleichung (7.12).

7.2 Die Jordansche Normalform
In diesem Abschnitt ist wieder f : V ’ V ein Endomorphismus. Wir setzen je-
doch nun nur voraus, dass das Minimalpolynom mf (x) in Linearfaktoren zerf¨llt. a
Ist der Grundk¨rper K algebraisch abgeschlossen, so ist das stets der Fall, insbe-
o
sondere also im Fall K = C.
Das Ziel ist, f als direkte Summe von Endomorphismen auf invarianten Un-
terr¨umen darzustellen, wobei die Einschr¨nkungen von f auf diese invarianten
a a
Unterr¨ume dann mit Hilfe des Satzes aus dem letzten Unterkapitel diskutiert
a
werden k¨nnen.
o
Sei spec (f ) = {»1 , . . . , »s } . Da das Spektrum gleich der Nullstellenmenge
des Minimalpolynoms ist, folgt, dass das Spektrum nicht leer ist. Ferner ist das
Minimalpolynom m (x) nach Voraussetzung gegeben durch
s
(x ’ »i )ti .
m (x) =
i=1

Der Eigenraum von »i ist gegeben durch E (»i ) = ker (f ’ »i idV ) . Wir de¬nieren
nun eine Folge von Unterraumen durch
¨
Em (»i ) := ker ((f ’ »i idV )m ) , m ≥ 1.
E1 (»i ) ist einfach der Eigenraum E (»i ) .

149
Lemma 7.5 a) Es gilt E1 (»i ) ‚ E2 (»i ) ‚ E3 (»i ) ‚ . . .
b) Sei mi die kleinste naturliche Zahl mit Emi (»i ) = Emi +1 (»i ) . Dann gilt
¨
Ej (»i ) = Emi (»i ) fur alle j > mi .
¨
Beweis. a) folgt unmittelbar aus der De¬nition der Unterr¨ume. Man be-
a
achte, dass nicht alle Inklusionen Ej ‚ Ej+1 echt sein k¨nnen, sonst k¨nnte
o o
V nicht endlichdimensional sein. Deshalb existiert eine kleinste Zahl mi mit
Emi (»i ) = Emi +1 (»i ) . Ist j ≥ mi + 2 und v ∈ Ej (vi ) , so gilt

(f ’ »i idV )j (vi ) = (f ’ »i idV )mi +1 (f ’ »i idV )j’mi ’1 (vi ) = 0,

Also ist (f ’ »i idV )j’mi ’1 (vi ) ∈ Emi +1 (»i ) = Emi (»i ), und wir erhalten

(f ’ »i idV )j’1 (vi ) = (f ’ »i idV )mi (f ’ »i idV )j’mi ’1 (vi ) = 0,

d.h. vi ∈ Ej’1 (»i ) . Wir haben also gezeigt, dass fur alle j ≥ mi + 2 die Gleichung
¨
Ej (»i ) = Ej’1 (»i ) gilt.
De¬nition 7.3 Emi (»i ) bezeichnet man als den verallgemeinerten Eigen-
raum des Eigenwertes »i . Wir schreiben ihn als E (»i ) .
Lemma 7.6 a) Die E (»i ) sind invariant unter f.
b) Fur i = j gilt
¨
E (»i ) © E (»j ) = {0} .
Beweis. a): Sei v ∈ E (»i ) . Dann gilt
(f ’ »i idV )mi (f (v)) = ((f ’ »i idV )mi —¦ f ) (v)
= (f —¦ (f ’ »i idV )mi ) (v)
= f ((f ’ »i idV )mi (v)) = 0.
Daraus folgt f (v) ∈ E (»i ) .
b): Sei v ∈ E (»i ) , v = 0. Wir zeigen, dass fur j = i stets (f ’ »j idV )m (v) =
¨
0 fur alle m ∈ N gilt.
¨
Es existiert eine kleinste Zahl r ∈ N mit (f ’ »i idV )r (v) = 0. Dann ist
v := (f ’ »i idV )r’1 (v) = 0.
Daraus folgt aber (f ’ »i idV ) (v) = 0, d.h. v ist ein Eigenvektor zum Eigenwert
»i . Einsetzen ergibt
(f ’ »j idV )m (v) = (»i ’ »j )m v = 0,
d.h.
(f ’ »i idV )r’1 ((f ’ »j idV )m (v)) = (f ’ »j idV )m (f ’ »i idV )r’1 (v)
= (f ’ »j idV )m (v) = 0.
Dann muss jedoch auch (f ’ »j idV )m (v) = 0 gelten.

150
Satz 7.3 s
V= E (»i )
i=1

Beweis. Der Beweis besteht nach Satz 6.1 aus zwei Teilen:
A) Fur jedes i gilt
¨


E (»i ) © = {0} .
E (»j )
j:j=i


B)
s
V= E (»i )
i=1

Beweis von A):
Wir mussen nachweisen, dass aus
¨
s
vi = 0, vi ∈ E (»i )
i=1

folgt, dass alle vi = 0 sind. Wir beweisen mit Induktion nach r, dass aus
r
vi = 0, vi ∈ E (»i ) (7.13)
i=1

folgt, dass alle vi = 0 sind. Der Fall r = 1 ist trivial. Wir nehmen also r ≥ 2 an.
Anwendung von (f ’ »r idV )mr auf die Summe ergibt (wegen vr ∈ E (»r ))
r’1
(f ’ »r idV )mr (vi ) = 0.
i=1


Wegen der f -Invarianz der E (»i ) ist (f ’ »r idV )mr (vi ) ∈ E (»i ) . Nach Indukti-
onsvoraussetzung folgt also (f ’ »r idV )mr (vi ) = 0 und somit vi ∈ E (»r ) fur alle
¨
i = 1, . . . , r ’ 1. Nach Lemma 7.6 b) gilt also vi = 0 fur i = 1, . . . , r ’ 1 und
¨
wegen (7.13) auch fur i = r.
¨
Beweis von B)
Nach der Generalvoraussetzung in diesem Unterkapitel zerf¨llt das Minimal-
a
polynom in Linearfaktoren, ist also von der Form
s
(x ’ »i )ti , ti ∈ N.
mf (x) =
i=1




151
(Wir wissen schon aus dem letzten Kapitel (Satz 6.17), dass die Nullstellen des
Minimalpolynoms genau die Eigenwerte sind. Das Minimalpolynom muss deshalb
die obige Form haben.) Wir betrachten die Polynome
s
(x ’ »i )ti .
pj (x) :=
i=1
i=j

Diese Polynome sind teilerfremd. Nach Lemma 6.8 existieren Polynome hi (x)
mit s
1= pi (x) hi (x) .
i=1
s
pi (f ) —¦ hi (f ) . Sei v ∈ V. Dann gilt
Daraus folgt f = i=1
s
(pi (f ) —¦ hi (f )) (v) .
v=
i=1

Wir setzen vi := (pi (f ) —¦ hi (f )) (v) . Nun folgt ganz einfach, dass vi ∈ E (»i ) ist:
(f ’ »i idV )ti (vi ) = (f ’ »i idV )ti —¦ pi (f ) (hi (f ) (v))
= mf (f ) (hi (f ) (v)) = 0.
Wir haben somit gezeigt, dass sich jeder Vektor in V als Summe von Vektoren
aus den verallgemeinerten Eigenr¨umen darstellen l¨sst. Damit ist B) bewiesen.
a a

Wir formulieren nun den Hauptsatz” uber die Jordanzerlegung:
¨

Satz 7.4 Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und f : V ’ V ein En-
domorphismus, dessen Minimalpolynom in Linearfaktoren zerf¨llt. Sei spec (f ) =
a
{»1 , . . . , »k } . Dann existiert eine Basis von V , bezuglich der die darstellende Ma-
¨
trix A die folgende Gestalt hat:
···
« 
J (»1 ) 0 0
.
.
¬0 J (»2 ) .
¬ ·
A=¬ ·. (7.14)
·
. ...
.
. 0
 
···
0 0 J (»k )
Dabei sind die J (»i ) quadratische ni — ni -Matrizen, ni = dim E (»i ) , der fol-
genden Gestalt:
«» 
0 ··· ···
Jdi,1 0
i

.
.
¬ 0 J »i
¬ ·
0 . ·
di,2
¬ ·
J (»i ) = ¬ . .

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. 34
( 60 .)



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