<<

. 38
( 60 .)



>>

(k)
ein k mit pi0 j > 0. Demzufolge haben wir gezeigt, dass xj = 1 fur alle j gilt.
¨
Dies bedeutet jedoch nichts anderes als dass jeder Eigenvektor von 1 einfach
ein Vielfaches des Vektors 1 ist. Wir haben also gezeigt, dass die geometrische
Vielfachheit des Eigenwertes 1 gleich 1 ist.
Wir mussen nun noch zeigen, dass auch die algebraische Vielfachheit gleich 1
¨
ist. Falls dies nicht der Fall ist, ist der Teil zum Eigenwert 1 in der Jordanmatrix
ein Jordanblock der Gr¨sse ≥ 2. Es existiert also eine regul¨re Matrix S mit
o a
« 
1 0 ··· 0
.
¬ 1 ... .
¬ ·
. ·

S ’1 P S = ¬ 0 . . . . . . 0
¬
·.
¬ ·
¬ ·
0 11 
0 J
Nun hat die m-te Potenz dieses Jordanblockes in der ersten unteren Nebendia-
gonalen lauter m, wie man leicht nachrechnet. Demzufolge gilt
« 
1 0 ··· 0
.
¬ m ... .
¬ ·
. ·

S ’1 P m S = ¬ — . . . . . . 0
¬
·.
¬ ·
—— m1
¬ ·

0 J

165
Somit gilt
(’1) (m)
m= s2j pjk sk1 .
j,k

Daraus folgt
(’1) (m)
m¤ pjk max |sl1 |
s2j
l
j k
(’1)
max |sl1 | ,
= s2j
l
j

(m)
wegen k pjk = 1 fur alle j. Die obige Ungleichung musste fur alle m ∈ N gelten,
¨ ¨ ¨
was o¬ensichtlich nicht m¨glich ist. Deshalb kann die algebraische Vielfachheit
o
von 1 nicht gr¨sser als 1 sein.
o
c) (I) Wir setzen zun¨chst voraus, dass P aperiodisch ist.
a
Sei » ∈ specC P , |»| = 1, und z ∈ CI mit P z = »z. Wie ublich w¨hlen wir
a
¨
i0 mit (8.2) und de¬nieren x durch (8.3). Nach Lemma 8.5 existiert ein N mit
(N )
pi0 j > 0 fur alle j. Nun gilt
¨

(N )
1 = »N xi0 = pi0 j xj .
j


Nach Lemma 8.4 folgt dann, dass alle xj gleich sind. Daraus folgt insbesondere
» = 1.
(II) Wir beweisen nun die Umkehrung und zeigen, dass eine periodische (ir-
reduzible) stochastische Matrix noch andere Eigenwerte ausser 1 auf dem Ein-
heitskreis hat. Wir benutzen dabei jedoch den hier nicht bewiesenen Satz uber
¨ ¨
die Zyklenzerlegung, Satz 8.1.
Sei also p ≥ 2 und I = I1 ∪ . . . ∪ Ip die dort eingefuhrte Zerlegung. Wir
¨
de¬nieren fur l ∈ {0, 1, . . . , p ’ 1} den Vektor z (l) ∈ CI durch
¨
(l)
zj := eikl/p , j ∈ Ik , 1 ¤ k ¤ p.

’1.) Dann gilt fur s ∈ Ik :
(i ist hier die imaginare Einheit
¨ ¨
(l) (l)
psj ei(k+1)l/p = eil/p eikl/p ,
psj zj = psj zj =
j j∈Ik+1 j∈Ik+1


d.h. es folgt
(l)
psj zj = eil/p zs , s ∈ I.
(l)

j

Somit gilt
1, ei/p , e2i/p , . . . , e(p’1)i/p ∈ spec (P ) .

166
(Es ist nicht sehr schwierig zu zeigen, dass das alle Eigenwerte auf dem Einheits-
kreis sind. Wir wollen das jedoch hier nicht tun.)
Wir diskutieren den Satz von Perron-Frobenius nun im allgemeinen Fall po-
sitiver Matrizen, indem wir ihn auf den Fall von stochastischen Matrizen zuruck-
¨
fuhren.
¨
Satz 8.3 (Perron-Frobenius, allgemein) Sei A ∈ M + (n) irreduzibel. ρ (A)
sei der sogenannte Spektralradius
ρ (A) := max {|»| : » ∈ specC (A)} .
Dann gilt:
a) ρ (A) > 0, ρ (A) ∈ spec (A) .
b) Es existiert ein Eigenvektor y = (yj )j∈I zu ρ (A) mit yj > 0 fur alle j.
¨
c) ρ (A) ist algebraisch (und geometrisch) einfach.
d) Ist A aperiodisch so gilt
max {|»| : » ∈ specC (A) \ {ρ (A)}} < ρ (A) .
Beweis. Sei
x ∈ RI : xj ≥ 0 ∀j,
∆ := xj = 1 .
j

∆ ist ein kompakte Teilmenge von RI (siehe Di¬.-Int.). Fur x ∈ ∆ de¬nieren wir
¨

rx := sup t ≥ 0 : aij xj ≥ txi , ∀i ,
j

und
r := sup rx .
x∈∆
Die Grundidee des Beweises besteht nun darin, dass man zeigt, dass r ∈ spec (A)
gilt, und dass zu r ein Eigenvektor mit positiven Komponenten existiert. Da-
mit kann dann der Satz sehr einfach auf den Spezialfall stochastischer Matrizen
zuruckgefuhrt werden.
¨ ¨
Lemma 8.6 Es gilt 0 < r < ∞ und r ∈ spec (A). Ferner existiert ein Eigenvek-
tor y ∈ RI zu r mit yi > 0 ∀i.
Beweis. r > 0 folgt sehr einfach aus der Irreduzibilit¨t. In der Tat ist
a
o¬ensichtlich r1 > 0. Wir geben eine Absch¨tzung von r nach oben: Aus txi ¤
a
j aij xj , ∀i, folgt

txi ¤ aij max xj ,
j j

t max xi ¤ max aij max xj ,
j
i i j

t ¤ max aij =: A .
j
i


167
(maxi xi ist wegen i xi = 1 naturlich > 0). Es folgt also rx ¤ A fur alle x ∈ ∆
¨ ¨
und damit r ¤ A .
Wir wahlen nun eine Folge (x(n) )n∈N in ∆ mit rx(n) ’ r. Wegen der Kompakt-
¨
heit von ∆ konnen wir eine Teilfolge von (x(n) )n∈N wahlen, die in ∆ konvergiert.
¨ ¨
Der Einfachheit halber bezeichnen wir diese ebenfalls mit x(n) n∈N . Es gilt dann
(n)
= yi fur alle i, mit y = (yi ) ∈ ∆. Aus
also limn’∞ xi ¨
(n) (n)
≥ rx(n) xi , ∀i
aij xj
j


folgt
aij yj ≥ ryi , ∀i. (8.4)
j

Daraus folgt r ¤ ry . Wegen r = supx rx folgt dann aber r = ry .
Wir zeigen nun, dass y ein Eigenvektor zu r ist. Wir zeigen (scheinbar) mehr:
N¨mlich dass jeder Vektor y ∈ ∆, der (8.4) erfullt, automatisch ein Eigenvek-
a ¨
tor sein muss. Wir bezeichnen mit ∆r die Menge der Vektoren ∈ ∆, die diese
Ungleichungen erfullen.
¨
Wir fuhren den Beweis indirekt und nehmen an, dass y ∈ ∆r existiert, der kein
¨
Eigenvektor ist. Fur einen derartigen Vektor muss j aij yj > ryi fur mindestens
¨ ¨
ein i ∈ I gelten. Andererseits ist jedoch leicht ersichtlich, dass diese Ungleichung
nicht fur alle i gelten kann. Andernfalls liesse sich ein µ > 0 ¬nden, sodass
¨
auch noch j aij yj > (r + µ) yi fur alle i gelten wurde. Dies widerspr¨che der
a
¨ ¨
Maximalit¨t von r. Es muss daher eine nichtleere Menge J
a I geben mit der
Eigenschaft, dass y ∈ ∆r existiert mit j aij yj > ryi fur alle i ∈ J, dass aber
¨
kein y ∈ ∆r existiert mit j aij yj > ryi auf einer Menge, die J echt enth¨lt. Wir
a
fuhren diese Aussage nun zu einem Widerspruch.
¨
Aus der Irreduzibilit¨t von A folgt, dass ein s ∈ J und ein t ∈ J existiert mit
a /
(n)
ast > 0. W¨re n¨mlich ast = 0 fur alle s ∈ J, t ∈ J, so folgt auch ast = 0 fur alle
a a /
¨ ¨
s ∈ J, t ∈ J, was o¬ensichtlich der Irreduzibilit¨t widerspricht. Sei also s ∈ J,
/ a /
t ∈ J mit ast > 0 und sei y ∈ ∆r so, dass

> ryi f¨r i ∈ J
u
aij yj .
= ryi f¨r i ∈ J
u/
j


Wir k¨nnen nun µ > 0 so klein w¨hlen, dass auch noch (r + µ) yt <
o a atj yj gilt.
j
Wir de¬nieren
yi + µ f¨r i = t
u
zi := .
yi f¨r i = t
u
Dann gilt:
rzi ¤ aij zj , ∀i,
j



168
aij zj , ∀i ∈ J,
rzi <
j



rzs = rys = asj yj < asj yj + µast
j j

= asj zj .
j

Setzen wir
zi
z i := ,
j zj

<<

. 38
( 60 .)



>>