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so erfullt auch z die obigen Ungleichungen, ist daneben aber noch in ∆. Somit
¨
ist es in ∆r . Ferner gilt

aij z j , ∀i ∈ J ∪ {s} .
rz i <
j

Dies steht aber im Widerspruch zur De¬nition von J. Damit ist unsere Behaup-
tung gezeigt und nachgewiesen, dass jeder Vektor in ∆r ein Eigenvektor zum
Eigenwert r ist. Insbesondere haben wir gezeigt, dass r ein Eigenwert ist.
Bisher haben wir gezeigt, dass r ∈ spec (A) und 0 < r < ∞ gelten und dass
ein Eigenvektor y ∈ ∆ dazu existiert. Wir zeigen nun noch, dass yi > 0 fur alle i
¨
gilt. Damit ist dann das Lemma bewiesen.
Sei J := {i : yi > 0} . Dann ist J = …, den sonst w¨re y = 0 und nicht in ∆.
a
Wir fuhren J = I in ¨hnlicher (und einfacherer) Weise zu einem Widerspruch wie
a
¨
oben. In diesem Fall w¨re n¨mlich fur jedes Element k ∈ J : 0 = yk = j∈J pkj yj ,
a a /
¨
d.h. pkj = 0 fur jedes Element k ∈ J, j ∈ J. Das widerspricht jedoch o¬ensichtlich
/
¨
der Irreduzibilit¨t.
a
Schluss des Beweises von Satz 8.3.
Der Beweis kann nun sehr einfach zu Ende gefuhrt werden: Wir nehmen r, y
¨
wie im Lemma. Dann de¬nieren wir
aij yj
pij := .
ryi
Dann ist P = (pij ) ein stochastische Matrix. O¬ensichtlich ist sie irreduzibel und
hat dieselben Periodizit¨tseigenschaften wie die Matrix A. Ferner lassen sich die
a
charakteristischen Polynome sehr einfach ineinander uberfuhren:
¨ ¨
(aij ’ rxδij ) yj
pij ’ xδij = .
ryi
Daraus folgt sehr einfach
det (A ’ rxE)
= χA (rx) /r|I| .
χP (x) = det (P ’ xE) = (8.5)
|I|
r

169
Hier haben wir benutzt, dass fur jede quadratische Matrix (bij ) und fur jeden
¨ ¨
Vektor (zi ) mit allen Komponenten ungleich Null, (bij ) dieselbe Determinante
wie (bij zj /zi ) hat, was unmittelbar aus der De¬nition der Determinante folgt.
Wir sehen also:
spec (A) = {r» : » ∈ spec (P )} ,
und ferner entsprechen sich die algebraischen Vielfachheiten. Somit ist gezeigt,
dass r ein Eigenwert von A ist (was wir schon wussten), der die algebraische
Vielfachheit 1 hat (was wir noch nicht wussten), ferner gilt

r = max {|µ| : µ ∈ spec (A)} = ρ (A) .

Ferner ist y ein Eigenvektor von A, und wie wir aus dem Lemma wissen, hat er
lauter positive Eintr¨ge. Somit sind a) und b) des Satzes bewiesen. c) folgt un-
a
mittelbar aus (8.5) und d) folgt aus der Tatsache, dass A genau dann aperiodisch
ist, wenn P aperiodisch ist.
Wir diskutieren nun eine wichtige Anwendung auf stochastische Matrizen. Ist
P eine stochastische Matrix, so ist naturlich P T im allgemeinen keine stochasti-
¨
sche Matrix, aber naturlich nach wie vor eine Matrix ∈ M + (n) . Ferner stimmen
¨
die charakteristischen Polynome von P und P T uberein. Ist P irreduzibel, so
¨
ist auch P T irreduzibel, und ist P aperiodisch, so ist P T aperiodisch. Das folgt
ganz einfach aus der Tatsache, dass die n-te Potenz von P T die Transponierte
der n-ten Potenz von P ist.
Ist P irreduzibel, so folgt also aus Satz 8.3 sofort:

Satz 8.4 Sei P eine irreduzible stochastische Matrix. Dann existiert genau ein
Vektor π = (πi )i∈I mit den Eigenschaften:

πi > 0, ∀i, πi = 1,
i


πi pij = πj , ∀j. (8.6)
i


Beweis. (8.6) bedeutet, dass π, als Spaltenvektor geschrieben, ein Eigen-
vektor zum Eigenwert 1 von P T ist. Wir wissen aber nach Satz 8.3, dass 1 ∈
spec P T gilt, mit einem Eigenvektor mit lauter positiven (reellen) Komponen-
ten. Mit der Einschrankung i πi = 1 wird dieser eindeutig festgelegt, da 1
¨
geometrisch einfach ist.

Bemerkung 8.1 Vektoren π = (πi )i∈I mit πi ≥ 0, ∀i, i πi = 1 nennt man aus
naheliegenden Grunden Wahrscheinlichkeitsvektoren. Erfullen sie fur eine
¨ ¨ ¨
stochastische Matrix P die Gleichung (8.6), so nennt man sie station¨r oder
a
invariant.


170
Fur den Beweis des nachfolgenden Satzes (und auch spater) benotigen wir das
¨ ¨ ¨
folgende Lemma:

Lemma 8.7 Die n-te Potenz des Jordanblockes
» 0 ···
« 
0
0 ···
¬1 » 0 ·
.
¬ ·
.
»
Jm = ¬ 0 1 » .
¬ ·
·
¬. ... ...
.
·
. 0
0 ··· 0 1 »

ist gegeben durch die Matrix
min(n,m’1)
n n’s
»n
Jm = » Fs .
s
s=0

(s) (s)
Dabei ist Fs = fij die Matrix gegeben durch fj+s,j = 1 und 0 fur die ande-
¨
ren Komponenten, d.h. Fs hat Einsen in der s-ten unteren Nebendiagonalen und
0
Nullen sonst (F0 = E, F1 = Jm ).
» 0
Beweis. Wir schreiben Jm = »Em + Jm . Nun multiplizieren wir die Potenz
aus, wobei wir berucksichtigen, dass Em mit allen anderen Matrizen naturlich
¨ ¨
vertauscht: n
n n’s 0 s
n
»
Jm = » Jm .
s
s=0
s
0
Nun beachte man, dass (Jm ) = Fs gilt, wobei Fs = 0 fur s ≥ m ist.
¨

Satz 8.5 Sei P stochastisch, irreduzibel und aperiodisch. Dann gilt fur alle i, j ∈
¨
I
(n)
lim pij = πj .
n’∞

Anders formuliert: limn’∞ P n existiert und ist eine Matrix vom Rang 1 mit allen
Zeilen gegeben durch den station¨ren Vektor π.
a

Beweis. Nach dem Hauptsatz uber die Jordanzerlegung existiert eine re-
¨
gul¨re (m¨glicherweise komplexe) Matrix S mit
a o

1 0 ···
« 
0
»
0 Jm11 0 · · · 0
¬ ·
. .
¬ ·
. 0 J »2 . · ’1
. .
P =S¬ ·S
¬
m2
.
.
¬ ·
. 0
 
»
0 0 ··· 0 Jmk k


171
»
mit Jordanblocken Jmii . Die »i sind moglicherweise nicht alle verschieden, aber
¨ ¨
alle vom Betrag < 1. Damit gilt

···
1 0 0
« 
¬ 0 Jm11 n
»
···
0 0 ·
¬. . ·
n
¬. . · ’1
n »
P =S¬ . 0 Jm22 . ·S .
.
.
¬ ·
. 0
 
n
»
···
0 0 0 Jmk k


Aus Lemma 8.7 folgt
n
»
lim Jmii = 0.
n’∞

Somit gilt « 
1 0 ··· 0
0 0 · · · 0 · ’1
¬
n
lim P = S ¬ . · S = (ai bj )i,j∈I ,
¬ ·
.
. .
. .
n’∞ 
0 0 ··· 0
wobei (ai ) die erste Spalte von S und (bj ) die erste Zeile von S ’1 ist. Die erste
Spalte von S ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 von P, d.h. wir k¨nnen ai =
o
1 ∀i, setzen.
Nun gilt
πk pkj = πj ∀j,
k

und damit gilt auch fur alle n
¨
(n)
∀j,
πk pkj = πj
k

und mit einem Limesubergang in dieser Gleichung folgt
¨

(n)
bj = πk bj = lim πk pkj = πj .
n’∞
k k

Damit ist der Satz bewiesen.

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