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. 40
( 60 .)



>>

Eine wichtige (und vielfach nicht ganz einfache) Aufgabe ist die Bestimmung
des station¨ren Vektors π. Dazu muss naturlich einfach ein Gleichungssystem
a ¨
gel¨st werden, was aber bei sehr grossen Systemen naturlich fast unm¨glich ist
o o
¨
(Denken Sie an die Indexmenge bei dem Problem der Mischung von Kartensta-
peln). In wichtigen F¨llen hat man jedoch Gluck“ und man ¬ndet einen Vektor,
a ¨

der die sogenannte detailed balance“ Bedingung erfullt:
¨

πi pij = πj pji , ∀i, j. (8.7)


172
Es ist naturlich klar, dass dieses Gleichungssystem im allgemeinen keine Losung
¨ ¨
2
hat, denn es sind n Gleichungen fur n Unbekannte. Wir werden jedoch gleich
¨
sehen, dass unsere Beispiele von fruher einen Vektor besitzen, der diese Bedingung
¨
erfullt. Wir werden auch spater sehen, dass eine stochastische Matrix P, die einen
¨ ¨
derartigen Vektor besitzt, automatisch diagonalisierbar ist.
Lemma 8.8 Sei P eine stochastische Matrix und π ein Vektor, der die Bedin-
gung (8.7) erfullt. Dann ist π station¨r.
a
¨
Beweis.
πi pij = πj pji = πj .
i i



Beispiel 8.2 Wir betrachten die Irrfahrt auf einem endlichen Graphen G =
(E, K, •) aus Abschnitt 8.1.1. Die zugeh¨rige Irrfahrt hatte die stochastische
o
Matrix
|Ke,e |
pe,e = .
|Ke |
Nun ist o¬ensichtlich Ke,e = Ke ,e . Demzufolge erfullt der Vektor (|Ke |)e∈E die
¨
Bedingung (8.7). Nach Normierung erhalten wir den station¨ren Wahrschein-
a
lichkeitsvektor
|Ke |
πe = .
|Ke |
e
Nehmen wir etwa das konkrete Beispiel 8.1, so gilt |K1 | = 2, |K2 | = 3, |K3 | =
3. Daher ist der (eindeutige) station¨re Wahrscheinlichkeitsvektor gegeben durch
a
133
, , , und da das Beispiel o¬ensichtlich aperiodisch ist, folgt
488
(n)
lim pe,e = πe .
n’∞

Beispiel 8.3 Als weiteres Beispiel betrachten wir Irrfahrten auf Gruppen. In
diesem Fall ist die Gleichverteilung ein station¨rer Wahrscheinlichkeitsvektor:
a
πg = 1/ |G| : Es gilt
1 1 1 1
µ hg ’1 =
pg,h = µ (g) = .
|G| |G| |G| |G|
g g g

Wenn man zus¨tzlich weiss, dass die Matrix irreduzibel und aperiodisch ist (was
a
in der Regel nicht sehr schwierig zu entscheiden ist), so folgt
1
(n)
lim pg,h =
|G|
n’∞

fur alle g, h. Das Beispiel erfullt ubrigens nur in den seltensten F¨llen die Bedin-
a
¨ ¨¨
gung (8.7). Betrachten wir etwa die Irrfahrt auf der abelschen Gruppe (Zn , +)
mit µ (1) = p ∈ (0, 1) , µ (’1) = 1 ’ p. Dann ist o¬ensichtlich (8.7) genau dann
erfullt, wenn p = 1/2 ist.
¨

173
Zum Schluss berechnen wir noch die freie Energie fur das Ising-Modell aus
¨
Abschnitt 8.1.3. Dazu brauchen wir die hier vorgestellte Theorie nicht wirklich,
denn es handelt sich ja bei

eβ e’β
Aβ = ,
e’β eβ

nur um eine 2 — 2-Matrix, die wir naturlich bequem von Hand diagonalisieren
¨
k¨nnen. Transfermatrizen (die i.allg. nicht stochastische Matrizen sind), treten
o
jedoch in der Physik sehr h¨u¬g auf und k¨nnen nur in den wenigsten F¨llen
a o a
explizit diagonalisiert werden. Das charakteristische Polynom ist

eβ ’ x e’β
= x2 ’ 2eβ x + e2β ’ e’2β ,
det
e’β eβ ’ x

¨
was auf die beiden Eigenwerte »1 = 2 cosh β > »2 = 2 sinh β fuhrt. In Uber-
¨
einstimmung mit unserer allgemeinen Theorie ist »1 ein reeller, positiver und
einfacher Eigenwert. Die freie Energie berechnet sich nun sofort mit Hilfe von
(8.1) als Logarithmus des gr¨sseren der Eigenwerte:
o
1
f (β) = lim log Zn (β) = log(2 cosh β).
n’∞ n




174
9 Lineare Di¬erentialgleichungen mit
konstanten Koe¬zienten
9.1 Das Exponential einer Matrix
Wir betrachten in diesem Kapitel entweder reelle oder komplexe L¨sungen von
o
speziellen Di¬erentialgleichungen. Um die beiden F¨lle in den Notationen nicht
a
stets doppelt auszufuhren, verwenden wir K fur R oder fur C. Sei A = (aij ) eine
¨ ¨ ¨
quadratische Matrix ∈ MK (n). Wir de¬nieren eine Norm durch

|aij | .
A := max
i
j

Lemma 9.1 Die obige Norm hat die folgenden Eigenschaften:
a) Fur A ∈ MK (n) , » ∈ K gilt
¨
»A = |»| A .

b) Fur A, B ∈ MK (n) gilt
¨
A+B ¤ A + B .

c) Fur A, B ∈ MK (n) gilt
¨
AB ¤ A B.

Beweis. a) ist evident.
b)

|aij + bij | ¤ max (|aij | + |bij |)
max
i i
j j

¤ max |aij | + max |bij | .
i i
j j

c)

aik bkj ¤ max |aik | max |bij | = A
AB = max B.
i i i
j j
k k



Aus Teil c) des obigen Lemmas folgt insbesondere:
n
An ¤ A .

Wir de¬nieren nun das Exponential einer quadratischen, reellen oder komplexen
Matrix A einfach durch die entsprechende Potenzreihe, wobei wir nachweisen
mussen, dass diese konvergiert.
¨

175
∞ 2
1n
in Kn ,
Lemma 9.2 Sei A ∈ MK (n). Dann konvergiert die Reihe n=0 n! A
∞ 1 (n)
d.h. fur jedes Paar i, j von Indizes konvergiert die Reihe n=0 n! aij absolut.
¨
(n)
(aij ist wie ublich die i, j-te Komponente von An ).
¨

Beweis.
1 (n) 1 1 n
An ¤
aij ¤ A .
n! n! n!
∞ n
1
Aber wie in Di¬-Int gelernt, konvergiert die Reihe A .
n=0 n!

De¬nition 9.1 Ist A ∈ MK (n), so ist

1n
exp (A) := A
n!
n=0

das Exponential der Matrix A. (Wie ublich ist A0 = En ).
¨

Eine wichtige Eigenschaft der ublichen Exponentialfunktion im Reellen oder
¨
Komplexen ist die Gleichung exp (a + b) = exp (a)+exp (b) . Dies ist fur Matrizen
¨
im allgemeinen nicht richtig, wie man leicht an Beispielen nachprufen kann:
¨

01
. Dann ist A2 die Nullmatrix. Demzufolge ist
Beispiel 9.1 Sei A =
00
11 10
. Dann ist B n = B
exp (A) = E + A = . Ferner sei B =
01 00
e0
fur n ≥ 1 und alle B und demzufolge exp (B) = . Nun ist A + B =
¨
01
11 11
, und (A + B)n = fur n ≥ 1. Demzufolge gilt exp (A + B) =
¨
00 00
ee e1
= exp (A) exp (B) = .
01 01

Es gilt jedoch der folgende wichtige

Satz 9.1 Seien A, B ∈ MK (n) mit AB = BA. Dann gilt

exp (A + B) = exp (A) exp (B) .

Beweis. Die Doppelreihe ∞ 1 nm
n,m=0 n!m! A B ist (komponentenweise) absolut
konvergent wegen
1 1
An Bm
An B m ¤
n!m! n!m!




176
und ∞ A n B m < ∞. Deshalb darf man die Reihe beliebig umsum-
1
n,m=0 n!m!
mieren. Dies sollte aus der Vorlesung Di¬-Int bekannt sein. Wir erhalten somit
einerseits

<<

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( 60 .)



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