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. 42
( 60 .)



>>

¬
S ’1 AS = D := ¬ . ·.
..
. . 0
.
0 · · · 0 »n

180
Dann ist einfach
e»1 t ···
« 
0 0


e»2 t
¬0 .
¬
’1
· S ’1
exp (tA) = S exp (tD) S =S¬ . ..
. .
. 0
e»n t
···
0 0
Ist A nicht diagonalisierbar, jedoch K = C, so k¨nnen wir A durch eine
o
¨
Ahnlichkeitstransformation auf Jordansche Normalform bringen und dann die
Exponentialfunktion gem¨ss Beispiel 9.2 ausrechnen. So ist nach diesem Beispiel
a
0 ···
1 0
« 
...
¬t 1 ·
¬ ·
.. . ·
. . ·.
2
¬
exp tJm = e»t ¬ t
»
(9.3)
t 1 .·
¬ 2!
. .. .. ..
.
¬ ·
. . . 0
.

tm’1 2
··· t t1
(m’1)! 2!

¨
Der reelle Fall erfordert einige zus¨tzliche Uberlegungen (falls nicht alle Eigen-
a
werte reell sind). Wir wollen das jedoch nicht systematisch diskutieren.
Beispiel 9.3 n = 3. « 
10 0
y (t) =  1 2 0  y (t) .
1 0 ’1
Man berechnet sofort, dass es drei verschiedene Eigenwerte gibt, n¨mlich 1, 2 und
a
¨
’1. Die zugeh¨rige Ahnlichkeitstransformation ist
o
’1 «
« « « 
2 00 10 0 2 00 10 0
 ’2 1 0   1 2 0   ’2 1 0  =  0 2 0  .
1 0 ’1 0 0 ’1
1 01 1 01
Demzufolge ist die allgemeine L¨sung im Komplexen (oder im Reellen)
o
« « « t  « 
y1 (t) 2 00 e0 0 y01
 y2 (t)  =  ’2 1 0   0 e2t 0  S ’1  y02 
0 0 e’t
y3 (t) 1 01 y03
=:z0
« « 
z01 et
2 00
=  ’2 1 0   z02 e2t 
z03 e’t
1 01
« 
2z01 et
=  ’2z01 et + z02 e2t  , z0 ∈ C3 bzw. R3 .
¬ ·
z01 et + z03 e’t

181
Wir diskutieren noch die Di¬erentialgleichung n-ter Ordnung fur eine Funk-
¨
tion y : R ’ K (also nicht fur einen Vektor), der Form
¨

y (n) (t) + an’1 y (n’1) (t) + . . . + a0 y (t) = 0. (9.4)

Das ist die sogenannte homogene lineare Di¬erentialgleichung n-ter Ordnung mit
konstanten Koe¬zienten a0 , . . . , an’1 ∈ K. y (k) bezeichnet dabei die k-te Ablei-
tung von y. Die inhomogene Gleichung, die wir hier nicht diskutieren, ist von der
Form
y (n) (t) + an’1 y (n’1) (t) + . . . + a0 y (t) = f (t) ,
mit einer vorgegebenen Funktion f.
Wir k¨nnen die Gleichung (9.4) auf unser Gleichungssystem (9.2) zuruckfuh-
o ¨¨
ren, indem wir die n Funktionen y1 , . . . , yn wie folgt de¬nieren:

y1 := y
y2 := y
.
.
.
yn := y (n’1) .

Dann erhalten wir das System
« « « 
0 ···
y1 0 1 0 y1
···
¬y · ¬0 0 1 0 y2
·¬ ·
¬ 2· ¬ ·¬ ·
¬.·¬. .
.. ..
¬ . ·=¬ . . ·. (9.5)
·¬ ·
. .
.·¬. .
·¬
¬ ·¬ ·
··· ··· 0
 yn’1   0 1   yn’1 
’a0 ’a1 · · · · · · ’an’1
yn yn

Um Verwechslungen zu vermeiden, bezeichnen wir n-Tupel von Funktionen mit
grossen Buchstaben: Y = (yi )1¤i¤n . Wir bezeichnen mit L die Menge der Funk-
tionen R ’ K, die (9.4) erfullen, und mit L die L¨sungsmenge der Funktionen
o
¨
n
R ’ K von (9.5). L ist ebenfalls ein Vektorraum, wie man auf die gleiche Weise
wie in Lemma 9.3 sofort nachpruft. Wir de¬nieren die lineare Abbildung
¨

p : C (R, Kn ) ’ C (R, K) , Y = (yi )1¤i¤n ’ y1 .

p ordnet also einem n-Tupel von Funktionen einfach die erste dieser Funktio-
nen zu. Nach der obigen Konstruktion ist eine Funktion y ∈ C (R, K) genau
dann in L, wenn sie die erste Komponente eines Y ∈ L ist. Demzufolge ist die
Einschrankung p|L von p auf L nach L surjektiv. Andererseits ist diese Ein-
¨
schrankung auch injektiv, denn wenn wir die erste Komponente einer Losung
¨ ¨
von (9.5) kennen, konnen wir die anderen Komponenten einfach durch Ableiten
¨
gewinnen. p|L ist also ein Isomorphismus. (Es mag etwas merwurdig erscheinen,
¨

182
dass die Abbildung, die einem n-Tupel eine einzige Komponente zuordnet, ein
Isomorphismus ist, aber dies liegt einfach daran, dass das ganze n-Tupel durch
seine erste Komponente vollstandig bestimmt ist.) man muss sich vor Augen hal-
¨
ten, dass das L und L ohnehin kleine“ Teilr¨ume von unendlichdimensionalen
a

Vektorr¨umen sind). Aus Korollar 9.2 folgt nun sofort:
a

Satz 9.4 Die Dimension des L¨sungsraumes L von (9.4) ist n.
o

Wir wollen nun eine Basis dieses L¨sungsraumes ¬nden. Dazu wollen wir die
o
Eigenwerte von « 
0 ···
0 1 0
··· ·
¬0 0 1 0
¬ ·
¬.
A=¬ .
·
. ·
¬ ·
··· ··· 0
0 1 
’a0 ’a1 · · · · · · ’an’1
etwas genauer unter die Lupe nehmen.

Lemma 9.5 a) Alle (m¨glicherweise komplexen) Eigenwerte von A sind geome-
o
trisch einfach.
b) Das Minimalpolynom von A ist (bis auf das Vorzeichen) gleich dem cha-
rakteristischen Polynom, und dieses ist gegeben durch

χA (x) = (’1)n a0 + a1 x + . . . + an’1 xn’1 + xn .

Beweis. Es ist etwas bequemer, mit der Transponierten von A zu arbeiten.
Ist V = (v1 , . . . , vn ) die Standardbasis von Cn , so wird diese mit B := AT nach
dem folgenden Schema abgebildet:

v1 ’ v2 ’ . . . ’ vn ’ ’a0 v1 ’ a1 v2 ’ . . . ’ an’1 vn .

De¬nieren wir das Polynom p (x) := a0 + a1 x + . . . + an’1 xn’1 + xn , so ergibt sich
unmittelbar

p (B) v1 = a0 v1 + a1 v2 + . . . + an’1 vn + (’a0 v1 ’ a1 v2 ’ . . . ’ an’1 vn ) = 0,

und demzufolge

p (B) vk = p (B) B k’1 v1 = B k’1 p (B) v1 = 0

fur alle 1 ¤ k ¤ n. Demzufolge annulliert p (B) s¨mtliche Basisvektoren, woraus
a
¨
folgt, dass p (B) die Nullmatrix ist. Das Minimalpolynom von B teilt also p (x) .
Andererseits ergibt sich jedoch sehr einfach, dass kein Polynom = 0 vom Grade
< n die Matrix annulliert. Sei q (x) = b0 + b1 x + . . . + bm xm ein derartiges
Polynom, m < n. Dann ist

q (B) v1 = b0 v1 + b1 v2 + . . . + bm vm+1 = 0

183
wegen der linearen Unabhangigkeit der Basisvektoren. Wir haben somit gezeigt,
¨
dass p (x) das Minimalpolynom von B = AT ist. Damit ist es naturlich auch¨
(bis aufs Vorzeichen) das charakteristische Polynom, denn letzteres hat Grad n
und wird vom Minimalpolynom geteilt. Da das charakteristische Polynom von
A mit dem von AT ubereinstimmt, haben wir b) bewiesen. Aus der Diskussion
¨
des Minimalpolynoms der Jordanschen Normalform folgt nun sofort, dass alle
Eigenwerte von B geometrisch einfach sind. Dies bedeutet naturlich einfach,
¨
T
dass fur jeden Eigenwert » die Matrix A ’ »En Rang n ’ 1 hat. Dann hat aber
¨
auch A ’ »En Rang n ’ 1, denn der Rang einer Matrix ist gleich dem Rang der
Transponierten. Somit ist jedes » ∈ spec (A) = spec AT geometrisch einfach
fur A. Damit ist das Lemma bewiesen.
¨
(Tats¨chlich ist das Minimalpolynom von A stets gleich dem Minimalpolynom
a
T
von A , was wir jedoch nicht bewiesen und hier auch nicht benutzt haben).
Mit der Information aus diesem Lemma k¨nnen wir nun den L¨sungsraum L
o o
von (9.4) bestimmen. Wir betrachten zun¨chst den Fall K = C. Seien »1 , . . . , »k
a
die verschiedenen Eigenwerte von A, d.h. die verschiedenen Nullstellen von p (x) .
Aus dem Lemma wissen wir, dass alle diese Eigenwerte geometrisch einfach sind.
Die Jordansche Normalform hat deshalb zu jedem Eigenwert nur einen Jordan-
block, dessen Gr¨sse gleich der algebraischen Vielfachheit des Eigenwertes ist.
o
Sind m1 , . . . , mk die algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte, so existiert al-
so eine regul¨re Matrix S mit
a
« »1
Jm1 0 · · ·

0

.

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