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. 44
( 60 .)



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antisymmetrischen Bilinearformen.

Bemerkung 10.2 O¬ensichtlich ist eine Bilinearform genau dann symmetrisch,
wenn die Grammatrix (bezuglich einer beliebigen Basis) symmetrisch ist, und
¨
symplektisch genau dann, wenn die Grammatrix schiefsymmetisch ist, d.h. dass
GT = ’G gilt.

Beispiel 10.1 a) Auf Rn ist das ubliche Skalarprodukt
¨
n
(x, y) ’ xi yi
i=1

eine symmetrische Bilinearform.

188
b) Von besonderer Bedeutung in der Physik ist die folgende Bilinearform auf
dem vierdimensionalen Raum R4 . Wir schreiben die Vektoren von R4 als (x, t) =
(x1 , x2 , x3 , t) , d.h. als Raum-Zeit-Vektoren“. Wir de¬nieren

3
xi yi ’ c2 ts,
• ((x, t) , (y, s)) :=
i=1

wobei c eine Konstante, die Lichtgeschwindigkeit ist. R4 versehen mit dieser
Bilinearform nennt man den Minkowski-Raum. (c spielt naturlich mathematisch
¨
gar keine Rolle: Man k¨nnte genau so gut auch c = 1 nehmen.)
o
c) Eine einfache symplektische Bilinearform auf R2 ist

x1 y1
(x, y) ’ x1 y2 ’ x2 y1 = det .
x2 y2

Die obigen De¬nitionen gelten in Vektorr¨umen uber beliebigen K¨rpern. Fur
a o
¨ ¨
komplexe Vektorr¨ume betrachtet man oft eine Modi¬kation:
a

De¬nition 10.3 Sei V ein C-Vektorraum. Eine Abbildung • : V —V ’ C heisst
Sesquilinearform, wenn sie die beiden folgenden Bedingungen erfullt:
¨
a) • ist linear im ersten Argument:

• (±u + βv, w) = ±• (u, w) + β• (v, w) , ∀±, β ∈ C, ∀u, v, w ∈ V,

b) • ist konjugiert linear“ im zweiten Argument:

• (w, ±u + βv) = ±• (w, u) + β• (w, v) , ∀±, β ∈ C, ∀u, v, w ∈ V.

Die Sesquilinearform heisst Hermitesch wenn

• (u, v) = • (v, u), ∀u, v ∈ V

gilt. Eine Hermitesche Sesquilinearform bezeichnen wir auch einfach als Hermi-
tesche Form.

Das Standardbeispiel einer Hermiteschen Form in Cn ist
n
• (x, y) = xi yi .
j=1

Man beachte, dass fur eine Hermitesche Form stets • (v, v) ∈ R gilt (wegen
¨
• (v, v) = • (v, v)), obwohl naturlich i.allg. • (u, v) komplexe Werte annimmt.
¨
Wir konnen naturlich auch fur Sesquilinearformen die Grammatrix de¬nieren:
¨ ¨ ¨
Ist V = (v1 , . . . , vn ) eine Basis im komplexen Vektorraum V, so setzen wir

gij := • (vi , vj ) .

189
Ist v = xi vi , w = yi vi , so gilt dann
i i

• (v, w) = gij xi yj ,
i,j

oder in Kurzschreibweise
• (v, w) = xT Gy.
O¬ensichtlich ist eine Sesquilinearform genau dann Hermitesch, wenn

GT = G (10.2)

gilt.

De¬nition 10.4 Eine komplexe quadratische Matrix, die (10.2) erfullt, heisst
¨
Hermitesche Matrix.

10.2 Normalformen
Wir betrachten in diesem Abschnitt Bilinearformen •, wobei wir jedoch voraus-
setzen, dass • entweder symmetrisch oder symplektisch ist. Im Falle K = C
werden wir auch Hermitesche Formen zulassen. Die fur uns in diesem Kapitel
¨
wichtige Voraussetzung ist, dass • (u, v) = 0 genau dann wenn • (v, u) = 0 gilt.
Dies ist im allgemeinen fur Bilinearformen nicht richtig, gilt jedoch o¬ensicht-
¨
lich fur symmetrische und auch fur symplektische Formen und naturlich auch fur
¨ ¨ ¨ ¨
Hermitesche Formen. Wir de¬nieren

ker • := {v ∈ V : • (v, w) = 0 ∀w ∈ V } .

De¬nition 10.5 • heisst nichtdegeneriert, wenn ker • = {0} ist. Sonst
heisst • degeneriert.

Hat V die Dimension 1, so ist eine Bilinearform • naturlich genau dann nicht-
¨
degeneriert, wenn sie nicht die Nullform ist. Ist • nicht die Nullform, so ist in
diesem einfachen Fall • (v, w) = 0 falls beide Vektoren = 0 sind. Ist dim (V ) ≥ 2,
so gibt es jedoch auch fur nichtdegenerierte Formen viele“ Paare von Vektoren,
¨

fur die • (v, w) = 0 ist.
¨

Lemma 10.2 Sei V = (v1 , . . . , vn ) eine beliebige Basis in V. Dann ist • genau
dann nichtdegeneriert, wenn die Grammatrix regul¨r ist.
a

Beweis. O¬ensichtlich ist

ker • = {v ∈ V : • (v, vi ) = 0 ∀i} .

Somit ist v = xj vj genau dann im Kern, wenn das homogene Gleichungssys-
j
tem
xj gji = 0 ∀i
xj • (vj , vi ) =
j j


190
erfullt ist. Dieses Gleichungssystem hat genau dann nur die triviale Losung, wenn
¨ ¨
G regular ist.
¨
Ist • eine Bilinearform und U ein Unterraum von V, so konnen wir • sehr
¨
einfach auf U einschranken: Wir de¬nieren •U : U — U ’ K durch •U (u1 , u2 ) :=
¨
• (u1 , u2 ) fur u1 , u2 ∈ U. O¬ensichtlich ist •U eine Bilinearform auf U.
¨

Beispiel 10.2 a) Wir betrachten auf K 2 die Bilinearform • (x, y) := x1 y2 ’
x2 y1 . Diese Bilinearform ist naturlich nichtdegeneriert, denn die Grammatrix ist
¨
01
. Man beachte, dass stets • (x, x) = 0 gilt. Die Einschr¨nkung von •
a
’1 0
auf jeden eindimensionalen Unterraum von K 2 ist also die Nullform. Die Ein-
schr¨nkung einer nichtdegenerierten Bilinearform kann also durchaus degeneriert
a
sein.
b) Auch symmetrische nichtdegenerierte Bilinearformen k¨nnen nichttriviale
o
Unterr¨ume haben, auf denen die Bilinearform degeneriert ist. Betrachte z.B.
a
wieder auf K 2 • (x, y) := x1 y1 ’ x2 y2 . Hier ist die Einschr¨nkung von • auf den
a
eindimensionalen Unterraum, der aufgespannt wird durch (1, 1), die Nullform.
Dasselbe gilt fur den Unterraum, der von (1, ’1) aufgespannt wird.
¨

Wir nennen einen Unterraum U ‚ V nichtdegeneriert (bezuglich einer
¨
Bilinearform •), wenn •U nichtdegeneriert ist. Wie wir in den Beispielen oben
gesehen haben, k¨nnen nichtdegenerierte Bilinearformen durchaus nichttriviale
o
degenerierte Unterr¨ume haben.
a
Fur einen Unterraum U de¬nieren wir das Komplement von U bezuglich •
¨ ¨
durch
U ⊥ := {v ∈ V : • (v, u) = 0 ∀u ∈ U } .
Da wir vorausgesetzt haben, dass • (v, u) = 0 genau dann gilt, wenn • (u, v) = 0
ist, spielt es keine Rolle, in welcher Reihenfolge u und v in der obigen De¬nition
von U ⊥ stehen. Hat • diese Eigenschaft nicht, muss man zwischen zwei Kom-
plementen unterscheiden und die nachfolgende Diskussion wurde ein gutes Stuck
¨ ¨
umst¨ndlicher.
a

Lemma 10.3 a) U ⊥ ist ein Unterraum von V.
b) Ist U nichtdegeneriert, so gilt V = U • U ⊥ .

c) Sind U und U ⊥ nichtdegeneriert, so gilt U ⊥ = U.

Beweis. a) ist sehr einfach und soll dem Leser uberlassen sein.
¨
b) Der Beweis spaltet sich in zwei Teile. Wir zeigen zun¨chst, dass U © U ⊥ =
a
⊥ ⊥
{0} gilt. Sei v ∈ U © U . Wegen v ∈ U folgt • (v, w) = 0 fur alle w ∈ U. Da
¨
v auch in U ist folgt v ∈ ker (•U ) . Daraus folgt v = 0 wegen der Voraussetzung,
dass U nichtdegeneriert ist. Wir haben somit gezeigt, dass

U + U⊥ = U • U⊥

191
gilt.
Wir mussen nun noch zeigen, dass U + U ⊥ = V ist. Dazu reicht es aus,
¨
nachzuweisen, dass
dim (U ) + dim U ⊥ ≥ dim (V )
gilt. Sei v1 , . . . , vm eine Basis von U. Wir erg¨nzen das zu einer Basis in V durch
a
n ⊥
vm+1 , . . . , vn . Dann ist v = j=1 xj vj genau dann in U , wenn • (v, u) = 0
fur alle u ∈ U ist, d.h. dass • (v, vi ) = 0 fur i = 1, . . . , m ist. Dies ist aber
¨ ¨
gleichbedeutend damit, dass
n
xj • (vj , vi ) = 0, i = 1, . . . , m
j=1


gilt. Das ist ein homogenes lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n
Unbekannten. Deshalb ist die Dimension des L¨sungsraumes mindestens n ’ m.
o
Somit gilt dim U ⊥ ≥ n ’ m = dim (V ) ’ dim (U ) .
c) folgt nun sehr einfach: Sind U und U ⊥ nichtdegeneriert, so gilt

V = U • U ⊥ und V = U ⊥ • U ⊥ .
⊥ ⊥
Daraus folgt dim U = dim U ⊥ . Andererseits ist jedoch U ‚ U ⊥ , denn fur
¨

u ∈ U gilt • (u, v) = 0 fur alle v ∈ U ⊥ . Somit folgt U = U ⊥ .
¨

De¬nition 10.6 • sei eine Bilinearform auf V. Zwei Unterr¨ume U1 , U2 heissen
a
orthogonal bezuglich •, wenn • (u1 , u2 ) = 0 fur alle u1 ∈ U1 und alle u2 ∈ U2
¨ ¨
ist.

Wir diskutieren als n¨chstes das Normalformenproblem fur Bilinearformen.
a ¨
Es geht dabei darum, eine Basis zu ¬nden, bezuglich der eine Bilinearform eine
¨
besonders einfache Grammatrix hat. Wir diskutieren die drei F¨lle von sym-
a
metrischen, symplektischen und Hermiteschen Formen separat. Zun¨chst der
a
symmetrische Fall.

Satz 10.2 Sei • eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensiona-
len Vektorraum V. Sei ferner n = dim V und l = dim (ker •) . Dann existieren
m := n ’ l eindimensionale nichtdegenerierte Unterr¨ume U1 , . . . , Um , die paar-
a
weise orthogonal sind, sodass

V = U1 • U2 • . . . • Um • ker •

gilt.

Bevor wir den Satz beweisen, soll zun¨chst bemerkt werden, dass wir damit
a
auch eine Basis gefunden haben, bezuglich der die Grammatrix eine sehr einfache
¨

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