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. 49
( 60 .)



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’1 f¨r n+ < i = j ¤ n+ + n’
u
• (vi , vj ) = ψ (wi , wj ) = . (10.12)
0 f¨r i = j oder i = j > n+ + n’
u


Wir de¬nieren eine Isomorphismus durch f (vi ) = wi , 1 ¤ i ¤ n. Dies ist o¬en-
sichtlich eine Isometrie.
II) Sei f : V ’ W eine Isometrie und (n+ , n’ , n0 ) sei die Signatur von (V, •) .
Wir w¨hlen eine entsprechende Basis in V wie oben und de¬nieren wi := f (vi ) .
a
(w1 , . . . , wn ) ist wegen der angenommenen Isomorphie eine Basis von W. Wegen
der Isometriebedingung ist dann ψ (wi , wj ) wie in (10.12). Daraus folgt jedoch,
dass ψ dieselbe Signatur hat.

Bemerkung 10.5 Ist f : V ’ W eine Isometrie, so ist auch die inverse Ab-
bildung f ’1 : W ’ V eine Isometrie. Das einfache Argument sei dem Leser
uberlassen.
¨

Von besonderer Bedeutung sind isometrische Selbstabbildung V ’ V eines
Raumes (V, •) , d.h. die Isomorphien f : V ’ V, fur die • (f (u) , f (v)) = • (u, v)
¨
fur alle u, v ∈ V gilt. Die Menge dieser Isometrien bezeichnen wir mit Iso (V, •) .
¨

Satz 10.11 Iso (V, •) ist unter der Operation der Komposition eine Gruppe. Das
Neutralelement ist idV .


209
Beweis. Dass idV eine Isometrie ist, ist o¬ensichtlich.
Seien f, g ∈ Iso (V, •) . Dann ist fur alle u, v ∈ V :
¨

• ((g —¦ f ) (u) , (g —¦ f ) (v)) = • (g (f (u)) , g (f (v)))
= • (f (u) , f (v)) = • (u, v) .

Somit ist g —¦ f ∈ Iso (V, •) .
Ist f ∈ Iso (V, •) , so gilt fur alle u, v ∈ V :
¨

• (u, v) = • f f ’1 (u) , f f ’1 (v) = • f ’1 (u) , f ’1 (v) .

Somit ist f ’1 ∈ Iso (V, •) .

Lemma 10.8 Sei V ein Vektorraum und • eine nichtdegenerierte Bilinearform.
Ferner sei V = (v1 , . . . , vn ) eine Basis von V und f : V ’ V ein Isomorphismus.
Dann ist f genau dann eine Isometrie, wenn • (f (vi ) , f (vj )) = • (vi , vj ) fur alle
¨
i, j gilt.

Beweis. Die Aussage folgt unmittelbar aus der Linearit¨t von f und der
a
Bilinearit¨t von •.
a
Einige der Isometriegruppen geh¨ren zu den wichtigsten Objekten der Phy-
o
sik. Dazu geh¨ren die Isometriegruppen von Euklidschen und von unit¨ren Vek-
o a
torraumen. Ebenfalls von herausragender Bedeutung ist die Isometriegruppe
¨
des 4-dimensionalen Minkowski-Raumes, die sogenannte Lorentz-Gruppe. Es ist
meist ublich, die Isometriegruppen als Matrizengruppen zu beschreiben. Tatsach-
¨ ¨
lich konnen wir die Isometriegruppen als sogenannte Untergruppen der allgemei-
¨
nen linearen Gruppe GL (n, K) , also der Gruppe der regularen n — n-Matrizen
¨
betrachten.
Wir betrachten zunachst den Fall, wo V ein reeller Vektorraum ist und •
¨
eine nichtdegenerierte symmetrische Bilinearform ist. Da ker • = {0} ist, ist
in der Signatur n0 = 0. Wir bezeichnen mit In+ ,n’ die n — n-Diagonalmatrix
(n = n+ + n’ ), deren erste n+ Diagonalelemente +1 sind und die restlichen ’1
sind. Nach Satz 10.4 existiert eine Basis V = (v1 , . . . , vn ), bezuglich der die
¨
Grammatrix von • gleich In+ ,n’ ist. Sei f : V ’ V ein Isomorphismus, deren
darstellende Matrix bezuglich V die Matrix A sei. Wir wollen nachprufen, welche
¨ ¨
Bedingungen A erfullen muss, damit A eine Isometrie von (V, •) ist: Nach Lemma
¨
10.8 genugt es zu zeigen, dass • (f (vi ) , f (vj )) = • (vi , vj ) . Einsetzen ergibt die
¨
Bedingung
AT In+ ,n’ A = In+ ,n’ . (10.13)
Wir bezeichnen die Menge der reellen n — n-Matrizen A, die der obigen Be-
¨
dingung genugen, mit O (n+ , n’ ) . Die obigen Uberlegungen ergeben sofort, dass
¨
O (n+ , n’ ) bezuglich Matrizenmultiplikation eine Gruppe ist. Die fur die spezielle
¨ ¨


210
Relativitatstheorie besonders wichtige Gruppe O (3, 1) heisst Lorentz-Gruppe.
¨
Im positiv de¬niten Spezialfall, n+ = n, ist die Bedingung einfach

AT A = En oder A’1 = AT .

Matrizen, die dieser Bedingung genugen, heissen orthogonal. Die Menge der
¨
orthogonalen Matrizen wird mit O (n) bezeichnet. Dies ist ebenfalls eine Gruppe.
Man nennt sie die orthogonale Gruppe.
Von speziellem Interesse ist auch der Hermitesche Fall. Wir betrachten al-
so einen komplexen Vektorraum V, versehen mit einer Hermiteschen Form •.
Naturlich de¬nieren wir wie im bilinearen Fall Iso (V, •) als die Menge der Iso-
¨
morphien f : V ’ V mit • (f (u) , f (v)) = • (u, v) fur alle u, v ∈ V. Man zeigt
¨
dann wie oben, dass Iso (V, •) eine Gruppe ist. Nach Einfuhrung einer Basis
¨
V = (v1 , . . . , vn ), bezuglich der die Grammatrix In+ ,n’ ist, k¨nnen wir das in
o
¨
Matrizensprache ubersetzen. Ein Isomorphismus f : V ’ V ist genau dann in
¨
Iso (V, •) wenn die darstellende Matrix von f bezuglich der Basis V die folgende
¨
Gleichung erfullt:
¨
AT In+ ,n’ A = In+ ,n’ .
Von besonderem Interesse ist wieder der Fall einer positiv de¬niten Hermiteschen
Form, wenn also In+ ,n’ = En ist (d.h. wenn (V, •) ein unit¨rer Raum ist). In
a
diesem Fall lautet die obige Bedingung:

AT A = En oder A’1 = AT .

Komplexe n — n-Matrizen, die diese Bedingung erfullen, heissen unit¨r. Diea
¨
Menge aller unit¨ren Matrizen wird ublicherweise mit U (n) bezeichnet. U (n)
a ¨
ist unter der Matrizenmultiplikation eine Gruppe. Man bezeichnet sie als die
unit¨re Gruppe. U (n) ist eine Untergruppe von GL (n, C) .
a
Es sollte aus der obigen Diskussion klar geworden sein, dass wir die abstrakte

Gruppen“ Iso (V, •) , z.B. im reellen symmetrischen Fall, mit den entsprechenden
konkreten“ Matrizengruppen O (n+ , n’ ) identi¬zieren k¨nnen. Wir wollen das
o

formal pr¨zis formulieren:
a

De¬nition 10.13 Seien zwei Gruppen (G1 , —) und (G2 , ·) gegeben. Eine bijektive
Abbildung f : G1 ’ G2 heisst Gruppenisomorphismus, wenn

• f (a — b) = f (a) · f (b) fur alle a, b ∈ G1
¨

• f (a’1 ) = f (a)’1 fur alle a ∈ G1
¨

gelten.

Man uberlegt sich sofort, dass ein Gruppenisomorphismus das Neutralelement
¨
von G1 in das Neutralelment von G2 uberfuhrt. Gruppen zwischen denen ein
¨ ¨

211
Gruppenisomorphismus existiert ( isomorphe Gruppen“) sind im wesentlichen“
” ”
dieselben.
Wir weisen nun nach, dass im wesentlichen Iso (V, •) eine der obigen Matri-
zengruppen ist. Wir beschranken uns auf den reellen symmetrischen Fall.
¨

Satz 10.12 Sei V ein reeller Vektorraum und • eine nichtdegenerierte symme-
trische Bilinearform mit Signatur (n+ , n’ ) . Dann existiert eine Gruppenisomor-
phismus F : Iso (V, •) ’ O (n+ , n’ ) .

Beweis. Wir haben den Beweis im wesentlichen schon gefuhrt. Wir fuhren
¨ ¨
eine Basis V = (v1 , . . . , vn ) ein bezuglich der die Grammatrix von • durch In+ ,n’
¨
gegeben ist. Ist f ∈ Iso (V, •) so de¬nieren wir F (f ) als die darstellende Matrix
von f bezuglich V. Aus dem letzten Semester wissen wir schon, dass F (f —¦ g) =
¨
F (f ) F (g) und F (f )’1 = F (f )’1 fur f, g ∈ Iso (V, •) gelten. (Das hat nichts
¨
mit der Tatsache zu tun, dass f, g Isometrien sind). Dass F bijektiv ist, folgt
sofort: F ist naturlich injektiv, was auch nichts mit Isometrien zu tun hat: Sind
¨
f und g verschiedene Endomorphismen, so sind auch die darstellenden Matrizen
verschieden. Zur Surjektivit¨t beachte man, dass zu jeder Matrix A, die (10.13)
a
erfullt, die zugeh¨rige Abbildung f, die durch diese Matrix dargestellt wird, eine
o
¨
Isometrie ist.
Zum Schluss diskutieren wir noch kurz die Isometriegruppe einer nichtdegene-
rierten symplektischen Bilinearform. Sei K beliebig (wie immer char K = 2) und
V ein 2n-dimensionaler Vektorraum, versehen mit einer nichtdegenerierten sym-
plektischen Form •. Wie wir schon wissen, existiert dann eine Basis, bezuglich ¨
der die Grammatrix durch die 2n — 2n-Matrix
« 
01
···
0
¬ ’1 0 ·
¬ ·
..
¬ ·
J2n := ¬ .
0 0
¬ ·
·
¬ ·
. 01
.

. 0
’1 0

gegeben ist. Ist A die darstellende Matrix eines Endomorphismus f : V ’ V, so
ist f ∈ Iso (V, •) genau dann, wenn

AT J2n A = J2n

ist. Die Menge Sp (2n, K)dieser Matrizen bilden bezuglich der Multiplikation
¨
¨
eine Gruppe; man nennt sie die Spinorgruppe. Mit der gleichen Uberlegung
wie oben folgt, dass Iso (V, •) gruppenisomorph zur entsprechenden Spinorgruppe
ist.
Die orthogonalen und die unit¨ren Gruppen sind besonders wichtig. Wir
a
werden sie im n¨chsten Kapitel ausfuhrlicher diskutieren.
a ¨

212
11 Euklidsche und unit¨re Vektorr¨ume
a a
In diesem Kapitel sei V ein n-dimensionaler reeller oder komplexer Vektorraum.

De¬nition 11.1 Eine positive de¬nite Bilinearform • auf einem reellen Vektor-
raum oder eine positiv de¬nite Hermitesche Form auf einem komplexen Vektor-
raum nennt man ein Skalarprodukt. Wir schreiben fur Skalarprodukte meist
¨
u, v anstelle von • (u, v) .

Zur Erinnerung: Einen reellen Vektorraum versehen mit einem Skalarprodukt
nennt man einen Euklidschen Vektorraum. Einen komplexen Vektorraum
versehen mit einem Skalarprodukt nennt man unit¨ren Vektorraum.
a

Beispiel 11.1 Die Standardbeispiele kennen wir schon: Rn versehen mit dem
n n
Skalarprodukt x, y := i=1 xi yi , bzw. C versehen mit dem Skalarprodukt
x, y := n xi yi .
i=1


Bemerkung 11.1 Wie wir schon aus dem letzten Kapitel wissen (Satz 10.10),
ist jeder (endlich dimensionale) Euklidsche Vektorraum isometrisch zum Rn ver-
sehen mit dem Standardskalarprodukt. Ebenso ist jeder (endlich dimensionale)
unit¨re Vektorraum isometrisch zum Cn versehen mit dem Standardskalarprodukt.
a

Eine wichtige Bemerkung ist, dass in einem Euklidschen oder unit¨ren Vek-
a
torraum V, V basisunabh¨ngig mit dem Dualraum identi¬ziert werden kann.
a
Dies wird oft fast automatisch verwendet (siehe Di¬.-Int. II, Gradienten). Wir
betrachten den Euklidschen Fall, der unitare geht analog.
¨

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