<<

. 50
( 60 .)



>>

Wir konnen jedem Element v ∈ V ein Element aus φ (v) ∈ V — zuordnen:
¨

φ (v) (w) := v, w .

O¬ensichtlich ist die Abbildung φ : V ’ V — linear und der Kern der Abbildung
ist {0} , denn aus φ (v) = 0 folgt v, w = 0 fur alle w, also v = 0. Da V
¨

und V dieselbe Dimension haben, ist diese Abbildung ein Isomorphismus. (Wir
haben die Positivde¬nitheit nicht verwendet: Die Bemerkung ist richtig fur jede
¨
nichtdegenerierte Bilinearform). In einem Euklidschen Vektorraum braucht man
also nicht zwischen V und seinem Dualraum zu unterscheiden. Man muss sich
jedoch klar daruber sein, dass diese Identi¬kation eines Vektorraumes mit seinem
¨
Dualraum vom Skalarprodukt abh¨ngt. In Rn ist die Identi¬kation naturlich ganz
a ¨
n n
trivial: Einem Element x ∈ R ordnet man das Element φ (x) : R ’ R, de¬niert
durch φ (x) (y) := n xi yi zu.
i=1
W¨hlen wir jedoch ein geringfugig anderes Skalarprodukt in Rn , z.B. x, y :=
a ¨
n
i=1 ixi yi , so ist auch die Identi¬kation eine andere.




213
11.1 L¨ngen und Winkel
a
Sei V ein Euklidscher oder unit¨rer Vektorraum. Dann ist in jedem Fall v, v ∈
a
R+ := {x ∈ R : x ≥ 0} . Ist v = 0, so gilt v, v > 0.
Wir de¬nieren die L¨nge oder (Euklidsche) Norm eines Vektors durch
a

v= v, v .

Lemma 11.1 Es gelten die folgenden Eigenschaften:
a) Es ist v ≥ 0, und v = 0 gilt genau dann, wenn v = 0 gilt.
b) Fur » ∈ K und v ∈ V gilt »v = |»| v .
¨

Beweis. Die beiden Eigenschaften sind o¬ensichtlich.

Satz 11.1 (Schwarzsche Ungleichung) Sei V ein Euklidscher oder unit¨rer
a
Vektorraum. Dann gilt fur v, w ∈ V
¨

| v, w | ¤ v w.

Gleichheit gilt genau dann, wenn v und w linear abh¨ngig sind.
a

Beweis. Wir fuhren den Beweis im Euklidschen Fall. Der unit¨re geht v¨llig
a o
¨
analog.
Seien v und w linear abh¨ngig. Dann existiert ± ∈ K mit w = ±v (oder
a
v = ±w). Somit folgt unter Verwendung des obigen Lemmas

| v, w | = | v, ±v | = |±| v, v = v (|±| v ) = v w.

Seien nun v, w linear unabh¨ngig. Fur (±, β) ∈ R2 \ {(0, 0)} gilt ±v + βw = 0
a ¨
und somit ist
2 2
±v + βw, ±v + βw = ±2 v + 2±β v, w + β 2 w > 0.

Daraus ergibt sich, dass die Matrix

v2 v, w
w2
v, w

positiv de¬nit ist. Damit muss aber auch ihre Determinante strikt positiv sein,
d.h. es gilt
v 2 w 2 ’ v, w 2 > 0.
Damit ist der Satz bewiesen.

Lemma 11.2 (Minkowski-Ungleichung oder Dreiecksungleichung) Fur
¨
v, w ∈ V gilt
v+w ¤ v + w .

214
Beweis. Ausmultiplizieren ergibt
2 2 2
v+w =v +w + 2 v, w .

Unter Verwendung der Schwarzschen Ungleichung folgt
2 2 2
w = ( v + w )2 ,
¤v
v+w +w +2 v

und damit die Minkowski-Ungleichung.
Die Eigenschaften von Lemma 11.1 und Lemma 11.2 machen den Vektorraum
zu einem normierten Vektorraum. Eine Abbildung . : V ’ R+ , die diese
beiden Eigenschaften hat, nennt man eine Norm.
Sind v, w ∈ V mit v, w = 0, so sagt man auch, dass v und w senkrecht
aufeinander stehen, oder dass sie orthogonal sind. Der nachfolgende Satz ist
nach der obigen Diskussion evident.

Satz 11.2 (Satz von Pythagoras) Stehen v und w senkrecht aufeinander, so
gilt
v+w 2 = v 2+ w 2.

Die obigen Eigenschaften gelten in Euklidschen und unit¨ren Vektorr¨umen.
a a
Fur Euklidsche Vektorr¨ume l¨sst sich ein Winkel zwischen zwei von Null ver-
a a
¨
schiedenen Vektoren de¬nieren. Sind v, w = 0, so ist nach der Schwarzschen
Ungleichung
v, w
∈ [’1, 1] .
vw
Es existiert daher ein eindeutig bestimmter Winkel ± ∈ [0, π] mit

v, w
cos ± = .
vw

Wir bezeichnen ± als den Winkel zwischen v und w. (Man beachte, dass im
unit¨ren Fall v, w im allgemeinen komplex ist, sodass ein solcher Zwischenwinkel
a
nicht de¬niert werden kann).

11.2 Orthogonale Projektion
(V, , ) sei ein Euklidscher oder unit¨rer Vektorraum. Wir sagen, dass zwei
a
Unterr¨ume U1 und U2 senkrecht aufeinander stehen, wenn u1 , u2 = 0 ist
a
fur alle u1 ∈ U1 und u2 ∈ U2 . Zur Erinnerung aus dem letzten Kapitel: Ist U
¨
ein Unterraum von V, so ist U ⊥ die Menge der Vektoren, die auf allen Vektoren
in U senkrecht stehen. Da U nichtdegeneriert ist (ein Skalarprodukt ist positiv
de¬nit), gilt V = U • U ⊥ (Lemma 10.3).


215
Satz 11.3 Sei U ein Unterraum von V. Es existiert ein eindeutiger Endomor-
phismus πU von V mit den folgenden Eigenschaften:
a) πU ist eine Projektion von V auf U, d.h. es gilt πU —¦πU = πU und im πU = U
b) ker πU steht senkrecht auf U.

Bemerkung 11.2 Fur einen Endomorphismus f besagt f —¦ f = f einfach, dass
¨
im f unter f ein invarianter Unterraum ist. a) besagt daher, dass jeder Vektor
unter πU auf U abgebildet wird und die Vektoren in U unter πU invariant sind.

Beweis. Existenz: Es gilt, wie oben bemerkt

V = U • U⊥ (11.1)

Jeder Vektor v ∈ V hat also eine eindeutige Darstellung v = u + u mit u ∈ U,
u ∈ U ⊥ . Wir de¬nieren πU (v) := u. Dann ist im πU = U und ker πU = U ⊥ , und
die Eigenschaften a) und b) folgen unmittelbar.
Eindeutigkeit: Ist f eine beliebige Projektion (d.h. ein Endomorphismus mit
f —¦ f = f ) so gilt stets V = im f • ker f. Dies sieht man wie folgt ein: Ist
v ∈ V, so ist f (v ’ f (v)) = f (v) ’ f (v) = 0, d.h. v ’ f (v) ∈ ker f. Somit
folgt V = im f + ker f. Ist v ∈ (im f ) © ker f, so gilt v = f (v) = 0. Damit ist
V = im f • ker f allgemein fur Projektionen gezeigt.
¨
Ist nun πU ein Endomorphismus, der a) und b) erfullt, so gilt also
¨

V = im πU • ker πU = U • ker πU (11.2)

wegen a). Andererseits folgt wegen b): ker πU ‚ U ⊥ . Da die beiden Zerlegungen
(11.1) und (11.2) gelten, folgt dim (ker πU ) = dim U ⊥ . Somit folgt ker πU = U ⊥ .
Ist nun v ∈ V mit der Zerlegung v = u + u , u ∈ U, u ∈ U ⊥ , so ergibt sich
πU (v) = πU (u) + πU (u ) = u. Damit ist πU genau die Abbildung, wie wir sie
oben konstruiert haben, und wir haben also gezeigt, dass jede Abbildung, die die
Eigenschaften a) und b) hat so gegeben sein muss.
Die orthogonale Projektion hat eine sehr einfache geometrische Deutung:

Satz 11.4 Sei U ein Unterraum eines Euklidschen oder unit¨ren Vektorraums.
a
Fur v ∈ V ist πU (v) der eindeutige Vektor in U mit dem kleinsten Abstand zu v,
¨
d.h. mit der Eigenschaft

v ’ πU (v) = min v ’ u .
u∈U


Beweis. Ist u ein beliebiger Vektor in U , so ist
2 2
v’u = v ’ πU (v) + πU (v) ’ u
2 2
= v ’ πU (v) + πU (v) ’ u ,


216
die letzte Gleichung wegen Pythagoras, denn v ’ πU (v) ∈ U ⊥ und πU (v) ’ u ∈ U.
Wir sehen also, dass fur alle u ∈ U die Ungleichung
¨
2 2
v ’ πU (v) ¤ v’u
gilt, mit Gleichheit genau dann, wenn u = πU (v) ist. Fur die Ungleichungen
¨
spielt es jedoch keine Rolle, ob die Ausdrucke auf der linken und rechten Seite
¨
quadriert sind. Damit ist der Satz bewiesen.
Rechnerische Bestimmung der orthogonalen Projektion:
Wir diskutieren den Euklidschen Fall und geben die Modi¬kationen fur den ¨
unit¨ren Fall danach. Sei U aufgespannt durch die Vektoren u1 , . . . , um . Ist v ∈ V ,
a
so ist πU (v) eindeutig festgelegt durch die Bedingungen
• Es existieren ±1 , . . . , ±m ∈ R mit
m
πU (v) = ±i ui . (11.3)
i=1

• v ’ πU (v) steht senkrecht auf U. Das ist gleichbedeutend damit, dass v ’
πU (v) senkrecht auf allen ui steht, d.h.
v ’ πU (v) , uj = 0, j = 1, . . . , m.

Aus diesen beiden Eigenschaften k¨nnen wir πU (v) sehr einfach ausrechnen:
o
Wir erhalten n¨mlich das folgende Gleichungssystem fur die ±™s:
a ¨
m
v, uj ’ ±i ui , uj = 0, j = 1, . . . , m. (11.4)
i=1

Wir fuhren die (symmetrische, positiv de¬nite) Grammatrix “ des Skalarproduk-
¨
tes auf U bezuglich der Basis (u1 , . . . , um ) ein, “ := ( ui , uj )1¤i,j¤m , die (wegen
¨
der Positivde¬nitheit) naturlich regul¨r ist. Dann erhalten wir die ± s einfach
a
¨
durch
«  «  « 
±1 v, u1 v, u1
± =  .  = “T . .
’1 ¬ ’1 ¬
¬.· . .
=“  , (11.5)
· ·
. . .

±m v, um v, um
wegen der Symmetrie der “-Matrix. Ein besonders bequemer Spezialfall liegt
vor, wenn die ui orthonormiert sind, d.h. wenn ui , uj = δij gilt. Dann ist “ die
Einheitsmatrix und wir erhalten
m
πU (v) = v, ui ui . (11.6)
i=1

Fur U = V ist naturlich πU = idV . Die obige Gleichung ergibt dann das
¨ ¨
folgende Resultat:

217
Satz 11.5 Ist U = (u1 , . . . , un ) eine orthonormierte Basis in V , so gilt fur jeden
¨
Vektor v ∈ V
n
v= v, ui ui .
i=1

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. 50
( 60 .)



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