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. 51
( 60 .)



>>

Die Zahlen v, ui sind also genau die Koordinaten von v bezuglich der Basis U.
¨

Wir diskutieren nun noch die Modi¬kationen im unit¨ren Fall.
a
Sei wieder u1 , . . . , um eine Basis des Unterraumes U. Fur v ∈ V existieren
¨
±1 , . . . , ±m ∈ C, die Gleichung (11.3) erfullen. Nun schreiben wir Gleichung (11.4)
¨
(um zu vermeiden, dass wir “ konjugieren mussen) besser mit Zeilenvektoren:
¨

( v, u1 , . . . , v, um ) = (±1 , . . . , ±m ) “,
(±1 , . . . , ±m ) = ( v, u1 , . . . , v, um ) “’1 .

Fur den Fall, dass die ui orthonormiert sind, ist “ wieder die Einheitsmatrix, und
¨
wir bekommen die Gleichung (11.6) auch im unit¨ren Fall.
a

Beispiel 11.2 Wir betrachten C3 mit dem Skalarprodukt
3
x, y := gij xi yj ,
i,j=1
« 
1 i1
G = (gij ) =  ’i 2 0  .
1 03
Sei U = L [u1 , u2 ] , wobei u1 , u2 die ersten zwei Vektoren der Standardbasis seien.
Dann ist die Matrix “ einfach die entsprechende Einschr¨nkung von G :
a

2 ’i
1i
, “’1 =
“= .
’i 2 i1

Wir wollen πU (u3 ) berechnen, wobei u3 = (0, 0, 1) ist. Dazu brauchen wir die
Skalarprodukte von u3 mit u1 und u2 :

( u3 , u1 , u3 , u2 ) = (1, 0) ,

und somit
2 ’i
= (2, ’i) .
(±1 , ±2 ) = (1, 0)
i1
Somit ist « 
2
πU (u3 ) =  ’i  .
0

218
Wir konnen das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren unter die-
¨
sen Gesichtspunkten noch etwas anders interpretieren: Wir setzen dazu voraus,
dass (V, , ) ein Euklidscher oder unitarer Vektorraum ist. V = (v1 , . . . , vn ) sei
¨
eine beliebige Basis, Ui := L [v1 , . . . , vi ] . Um die Basis nach dem Gram-Schmidt-
Verfahren zu orthogonalisieren, mussen wir ui ∈ Ui \Ui’1 so bestimmen, dass
¨
ui , u = 0 fur alle u ∈ Ui’1 gilt. Nun ist vi ’ πUi’1 (vi ) ein derartiger Vektor.
¨
Bis auf Streckung ist er daher genau der Vektor, den wir im Gram-Schmidt-
Verfahren gefunden haben. Wenn wir noch die Bedingung stellen, dass die neue
Basis U = (u1 , . . . , un ) orthonormiert ist, k¨nnen wir
o
vi ’ πUi’1 (vi )
ui =
vi ’ πUi’1 (vi )

setzen (u1 := v1 / v1 ). Die so gewonnene U-Basis ist nicht ganz eindeutig durch
die Gram-Schmidt-Bedingung L [v1 , . . . , vi ] = L [u1 , . . . , ui ] und die Bedingung
der Orthonormiertheit festgelegt: Wir k¨nnen die ui noch mit K¨rperelementen
o o
vom Betrag 1 multiplizieren, in R also mit ±1 und in C mit Zahlen der Form ei• .
Wenn wir die ui rekursiv bestimmen, so berechnet sich die Projektion einfach
durch
i’1
πUi’1 (vi ) = vi , uj uj .
j=1


Beispiel 11.3 Wir nehmen das Skalarprodukt in C3 von Beispiel 11.2 oben und
orthonormieren die Standardbasis. Wegen v1 = 1 ist u1 = v1 . Es ist nun
«
i
v2 ’ v2 , u1 u1 =  1  .
0

Dieser Vektor hat (bezuglich dem durch G gegebenen Skalarprodukt) L¨nge 1,
a
¨
somit brauchen wir nicht mehr zu normieren und setzen
«
i
u2 =  1  .
0
Nun berechnen wir u3 mit
v3 ’ v3 , u1 u1 ’ v3 , u2 u2
u3 = .
v3 ’ v3 , u1 u1 ’ v3 , u2 u2
Es ist v3 , u1 = 1 und v3 , u2 = ’i. Damit ist
« 
’2
v3 ’ v3 , u1 u1 ’ v3 , u2 u3 =  i  ,
1

219
wiederum mit L¨nge 1. Somit ist der dritte orthonormierte Basisvektor
a
« 
’2
u3 =  i  .
1

Satz 11.6 (Plancherel-Identit¨t) Sei V ein Euklidscher oder unit¨rer Vek-
a a
torraum mit orthonormierter Basis U = (u1 , . . . , un ) . Dann gilt
n
2
| v, ui |2 .
v =
i=1

Beweis. Wir beweisen zur Abwechslung den unitaren Fall. Wegen
¨
n
v= v, ui ui
i=1

folgt
n n
2
v = v, v = v, ui ui , v, uj uj
i=1 j=1
n n n
| v, ui |2 .
= v, ui v, uj ui , uj = v, ui v, uj δij =
i,j=1 i,j=1 i=1



Die Plancherel-Identit¨t ist naturlich nichts anderes als ein etwas aufgem¨bel-
a o
¨
ter Pythagoras.

11.3 Methode der kleinsten Quadrate
Wir betrachten eine Anwendung, die in der Statistik (und vor allem auch in der
Physik) eine grosse Rolle spielt. Zun¨chst ein Spezialfall. Wir stellen uns vor,
a
dass wir im zeitlichen Verlauf eine Gr¨sse y messen, von der wir wissen, dass die
o
zeitliche Abh¨ngigkeit durch y (t) = a + bt gegeben ist, wobei wir a, b ∈ R nicht
a
kennen. t sei die Zeitvariable. Man bezeichnet das auch als die Regressionsgerade.
Um a und b zu bestimmen, mussen wir o¬ensichtlich die Gr¨sse y nur an zwei
o
¨
Zeitpunkten messen.
Nun sind jedoch Messungen stets mit Fehlern behaftet (Messfehler, Run-
dungsfehler etc.), und es emp¬elt sich daher (falls die Messung nicht zu teuer
ist), zur Sicherheit“ ein paar mehr Messungen vorzunehmen. Nehmen wir an,

wir messen y an n Zeitpunkten t1 < t2 < . . . < tn . Die Messergebnisse seien
y1 , . . . , yn . Nun suchen wir a, b mit yi = a + bti , 1 ¤ i ¤ n. Es ist o¬ensicht-
lich, dass im Allgemeinen derartige Zahlen a, b nicht existieren. Eine beliebte

220
Methode, die von Gauss eingefuhrt wurde, besteht darin, dass man a und b so
¨
bestimmt, dass die Summe der Residuenquadrate“ minimal ist: Die Residuen

sind de¬niert durch ri = yi ’ a ’ bti , und wir bestimmen a und b so, dass
n
2
ri
i=1

minimal ist. (Man kann sich naturlich fragen, wieso man nicht die Summe der
¨
Absolutbetr¨ge minimiert. Dafur gibt es eine etwas wacklige theoretische Er-
a ¨
kl¨rung, auf die wir hier nicht eingehen k¨nnen, und eine praktische, dass n¨mlich
a o a
die Summe der Quadrate sehr viel einfacher zu minimieren ist als die Summe der
Absolutbetrage. Also: Gauss wird sich schon etwas dabei gedacht haben, und
¨
wir minimieren der Bequemlichkeit halber die Summe der Quadrate). Nun sehen
wir, dass wir das sehr einfach als Projektionsproblem au¬assen konnen. Im Vek-
¨
n
torraum R betrachten wir den zweidimensionalen Unterraum, der aufgespannt
wird von den beiden Vektoren
« « 
1 t1
¬.· ¬.·
1 :=  .  , v :=  .  .
. .
1 tn

Man beachte, dass 1 und v linear unabh¨ngig sind. Nach der Diskussion des
a
letzten Abschnitts mussen wir also nur den Messvektor
¨
« 
y1
y :=  . 
¬.·
.
yn

auf den Unterraum U = L [1,v] orthogonal projizieren und dann die Projektion
πU (y) eindeutig als a1+bv darstellen. Im letzten Abschnitt haben wir das schon
berechnet:
a y, 1
= “’1 ,
b y, v
wobei “ die Grammatrix des Standardskalarprodukts auf U bezuglich der Basis
¨
(1,v) ist:
n
n i=1 ti
“= .
n n 2
i=1 ti i=1 ti

Das Beispiel l¨sst sich naturlich noch viel komplizierter machen: Statt anzu-
a ¨
nehmen, dass sich die y-Werte aus den t-Werten (bis auf die Messfehler) durch
die Beziehung t ’ y = a + bt, ergibt, k¨nnen wir einen allgemeineren Regressi-
o
onsansatz machen, z.B. ein Polynom von Grad k in t :

t ’ a0 + a1 t + . . . + ak tk . (11.7)

221
Wir messen die y-Werte wieder zu Zeitpunkten t1 < . . . < tn . Ist n > k +1, so hat
man wieder zuviele Messungen fur die Bestimmung der ai und wir minimimieren
¨
wieder n
2
yi ’ a0 + a1 ti + . . . + ak tk .
i
i=1

Hier projizieren wir den Vektor y auf den (k + 1)-dimensionalen Unterraum, der
aufgespannt wird von den Vektoren v0 , . . . , vk , mit
« j
t1
¬.·
vj :=  .  .
.
tjn

Das Ergebnis dieser Projektion ist wieder
«  « 
a0 y, v0
¬ a1 ¬ y, v1
· ·
· = “’1 ¬ ·, (11.8)
¬ · ¬ ·
¬. .
. .
. .
  
ak y, vk

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. 51
( 60 .)



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