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. 52
( 60 .)



>>

mit “ = (γij )0¤i,j¤k ,
n
ti+j .
γij = vi , vj = r
r=1

In der statistischen Theorie bezeichnet man die rechte Seite von (11.8) als die
Sch¨tzung der Regressionskoe¬zienten. Die Philosphie hinter dem Verfahren
a
ist etwa die folgende: Wir gehen davon aus, dass wir ein Gesetz kennen“, das

die y-Werte in Abh¨ngigkeit der t-Werte in der Form (11.7) angibt, wobei wir
a
jedoch die Koe¬zienten ai nicht kennen und uber Messungen bestimmen mussen.
¨ ¨
Naturlich wird vernunftigerweise niemand davon ausgehen, dass die Beziehung
¨ ¨
wegen der unvermeidlichen Messfehler ganz genau stimmt. Wir sch¨tzen daher
a
die ai aus den Messungen mit dem obigen Verfahren. Bei dem ganzen Verfahren
zweifeln wir jedoch das Naturgesetz“ (11.7) nicht an und interpretieren alle

Unstimmigkeiten als Messfehler.
Nun ist o¬ensichtlich, dass die Messungen uns zum Schluss fuhren k¨nnen,o
¨
dass unser Naturgesetz gar nicht stimmt, dies insbesondere dann, wenn die Sum-
me der Residuenquadrate auch nach Minimierung noch sehr gross“ bleibt. Die

Diskussion dieses Aspektes geh¨rt in die statistische Testtheorie und kann hier
o
nicht diskutiert werden.1
1
Evidenterweise ist hier sehr viel Philosophie“ mit im Spiel, denn wenn wir fest von einem

Naturgesetz uberzeugt sind, werden uns ein paar lumpige Messungen nicht aus der Ruhe brin-
¨
gen. Solche Aspekte spielen naturlich fur alle unsere Erkenntnisse eine Rolle, ausser fur die
¨ ¨ ¨
mathematisch und theologisch erworbenen.


222
11.4 Fourierkoe¬zienten
Wir betrachten reellwertige Funktionen auf dem abgeschlossenen Intervall [0, 2π).
Dass das Intervall die L¨nge 2π hat, spielt keine grosse Rolle, ist jedoch fur die
a ¨
Notation in der nachfolgenden Diskussion bequem. Es geht hier einfach um die
Diskussion von periodischen Funktionen. Eine Funktion f : R ’ R heisst T -
periodisch (T > 0), wenn f (x + T ) = f (x) fur alle x ∈ R gilt. Es ist o¬ensicht-
¨
lich (der Leser m¨ge das selbst beweisen), dass eine T -periodische Funktion durch
o
ihre Werte auf einem Intervall [0, T ) eindeutig festgelegt ist. Jede T -periodische
Funktion f kann in sehr einfacher Weise in eine 2π-periodische umgewandelt
werden: f (x) := f (T x/2π) . Es reicht daher aus (modulo einer trivialen Trans-
formation), 2π-periodische Funktionen zu betrachten. Schr¨nken wir uns weiter
a
auf stetige Funktionen ein, so mussen wir nur stetige Funktionen [0, 2π) ’ R be-
¨
trachten. Jede stetige Funktion f : [0, 2π) ’ R, die f (0) = limx’2π f (x) erfullt,
¨
kann sehr einfach zu einer 2π-periodischen Funktion auf der ganzen rellen Achse
erweitert werden.
Periodische Funktionen sind fur viele Vorgange von grosser Bedeutung, z.B.
¨ ¨
fur alle Schwingungsvorgange.
¨ ¨
Die obige Diskussion spielt fur das folgende keine Rolle. Wir betrachten
¨
einfach den Vektorraum C ([0, 2π], R) der reellwertigen stetigen Funktionen auf
diesem Intervall und de¬nieren darauf das Skalarprodukt

f, g := f (x) g (x) dx. (11.9)
0

Die folgenden Funktionen spielen eine besondere Rolle in vielen Bereichen der
Mathematik:
1 1
f0 (x) = √ , fk (x) = √ cos (kx) , k ∈ N,
π

1
gk (x) = √ sin (kx) , k ∈ N.
π
Proposition 11.1 Die obigen Funktionen sind orthonormiert bezuglich des Ska-
¨
larproduktes (11.9).
Beweis.

1
f0 , fk = √ cos (kx) dx = 0, k ≥ 1,
2π 0
und f0 , gk = 0 ergibt sich gleich. Unter Verwendung der ublichen Additions-
¨
theoreme fur trigonometrische Funktionen erhalten wir:
¨

1
fk , gl := cos (kx) sin (lx) dx
π 0

1 1 1
sin ((k + l) x) + sin ((l ’ k) x) = 0.
=
π 2 2
0


223

1
gk , gl := sin (kx) sin (lx) dx
π 0

1 1 1
cos ((k ’ l) x) + cos ((k + l) x) = δkl , k, l ≥ 1.
=
π 2 2
0

fk , fl = δkl , k, l ≥ 0, folgt analog.
Wir betrachten den (2N + 1)-dimensionalen Unterraum UN von C ([0, 2π], R) ,
der aufgespannt wird von den Funktionen fk , 0 ¤ k ¤ N, gk , 1 ¤ k ¤ N. Die
orthogonale Projektion einer Funktion • ∈ C ([0, 2π], R) ist dann gegeben durch
N
πUN (•) = •, f0 f0 + [ •, fk fk + •, gk gk ] .
k=1

De¬nition 11.2 Die Zahlen

1
a• =√
:= •, f0 • (x) dx,
0
2π 0

1
a• := •, fk =√ • (x) cos (kx) dx, k ≥ 1,
k
π 0

1
b• =√ • (x) sin (kx) dx, k ≥ 1,
:= •, gk
k
π 0

heissen die Fourierkoe¬zienten der Funktion •.

Da • ’ πUN (•) orthogonal auf allen Vektoren in UN steht, folgt sofort

2
• (x)2 dx = πUN (•) 2 2
+ • ’ πUN (•)
• =
0
N
2
a2 a2 + b2 + • ’ πUN (•)
= + .
0 k k
k=1

(Wir lassen • in den Notationen jeweils weg). Aus der obigen Gleichung folgt
insbesondere, dass die Fourierkoe¬zienten quadratisch summierbar sind:

Lemma 11.3 ∞
a2 + a2 + b2 < ∞.
0 k k
k=1


Eine naheliegende und richtige Vermutung ist, dass πUN (•) die Funktion •
approximiert, wenn N ’ ∞ geht. Wir k¨nnen das hier nicht beweisen, for-
o
mulieren aber die entsprechenden S¨tze. Die Art der Approximation ist in der
a
Formulierung sehr wichtig.


224
Satz 11.7 (ohne Beweis)
a)
• ’ πUN (•) = 0.
lim
N ’∞

b) (folgt sofort aus a))

2
= a2 + a2 + b 2 .
• 0 k k
k=1

c) Ist • einmal stetig di¬erenzierbar, und gilt • (0) = limx’2π • (x) , so gilt
fur jedes x ∈ [0, 2π] :
¨
• (x) = lim πUN (•) (x) ,
N ’∞

d.h. es gilt

a0 1
• (x) = √ + √ [ak cos (kx) + bk sin (kx)] . (11.10)
π
2π k=1


De¬nition 11.3 Die Reihe (11.10) nennt man die Fourierreihe der Funktion
•.

Der Satz enth¨lt einige Subtilit¨ten: a) besagt, dass fur jede stetige Funktion
a a ¨
die Fourier-Reihe im quadratischen Mittel konvergiert. Es ist nicht richtig, dass
fur jede stetige Funktion die Fourierreihe punktweise, d.h. fur jedes x ∈ [0, 2π]
¨ ¨
konvergiert. Die Voraussetzungen, wie sie im obigen Satz formuliert sind, sind
jedoch st¨rker als sie notwendig w¨ren.
a a

11.5 Orthogonale und unit¨re Matrizen
a
Zur Erinnerung: Im Abschnitt 10.5 uber Isometrien hatten wir orthogonale und
¨
unit¨re Matrizen eingefuhrt. Orthogonale Matrizen sind reelle quadratische Ma-
a ¨
trizen A, die
AT A = En (11.11)
erfullen. Orthogonale Matrizen sind die darstellenden Matrizen von Isometrien
¨
eines Euklidschen Vektorraums bezuglich orthonormierten Basen. Unit¨re Ma-
a
¨
trizen sind komplexe quadratische Matrizen, fur die
¨

AT A = En

gilt. Unit¨re Matrizen sind die darstellenden Matrizen von Isometrien eines
a
unit¨ren Vektorraums bezuglich orthonormierten Basen. Die Menge der orthogo-
a ¨
nalen n—n-Matrizen hatten wir mit O (n) bezeichnet und die Menge der unit¨ren
a
Matrizen mit U (n) . Wie wir gesehen hatten, sind O (n) und U (n) Gruppen.
Hier einige Eigenschaften:

225
Lemma 11.4 a) Ist A ∈ O (n) so gilt det A ∈ {’1, 1} .
b) Ist A ∈ U (n) so gilt |det A| = 1.
c) Ist A ∈ O (n) [bzw. ∈ U (n)], so ist AT ∈ O (n) [bzw. ∈ U (n)].
d) Eine reelle quadratische Matrix ist genau dann orthogonal, wenn die Spalten
bezuglich des Standardskalarproduktes in Rn orthonormiert sind. Dies ist genau
¨
dann der Fall, wenn die Zeilen orthonormiert sind.
e) Eine komplexe quadratische Matrix ist genau dann unit¨r, wenn die Spalten
a
n
bezuglich des Standardskalarproduktes in C orthonormiert sind. Dies ist wieder
¨
genau dann der Fall, wenn die Zeilen orthonormiert sind.

Beweis. a) Ist A ∈ O (n) so gilt

1 = det En = det AT A
= det AT det A = (det A)2 .

b) Ist A ∈ U (n) so gilt

1 = det En = det AT A

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( 60 .)



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