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. 58
( 60 .)



>>

’c a
Somit ist U genau dann in SU (2), wenn U von der Form
ab
mit |a|2 + |b|2 = 1 ist.
’b a

246
Schreiben wir a, b in Real- und Imaginarteil, so erhalten wir
¨
4
x1 + ix2 x3 + ix4
x2 = 1 .
: xj ∈ R,
SU (2) = j
’x3 + ix4 x1 ’ ix2
j=1


SU (2) kann als Punktmenge also einfach als dreidimensionale Sph¨re in einem
a
vierdimensionalen Euklidschen Raum aufgefasst werden. Man bezeichnet diese
als S 3 . Dies ist etwas unpr¨zise: SU (2) hat als Punktmenge auch die gleiche
a
M¨chtigkeit wie R, das Intervall [0, 1] oder R100 , d.h. es gibt bijektive Abbildun-
a
gen von SU (2) nach R, nach [0, 1], bzw. nach R100 . Das ist nicht sehr schwer zu
sehen, ist jedoch hier nicht gemeint: SU (2) kann nicht unter Erhalt der Stetig-

keitsstruktur“ mit R oder R100 identi¬ziert werden, wohl aber mit S 3 , d.h. es gibt
eine bijektive Abbildung φ : SU (2) ’ S 3 , sodass φ und φ’1 stetig sind. Man
nennt eine derartige Abbildung einen Hom¨omorphismus. Der Leser m¨ge
o o
sich uberlegen, dass wir genau einen derartigen Hom¨omorphismus konstruiert
o
¨
haben. Man sagt, dass SU (2) topologisch“ mit der dreidimensionalen Sph¨re a

identi¬ziert werden kann.
Topologisch erh¨lt man SO (3) , indem man in S 3 die Antipoden identi¬ziert.
a
(Man kann sich jedoch zun¨chst nur schwer vorstellen, wie das gehen soll. Wir
a
k¨nnen auf eine formal exakte Konstruktion hier nicht eingehen.) Das ist der
o
sogenannte dreidimensionale reelle projektive Raum RP 3 . SO (3) ist also topolo-
gisch ¨quivalent zu RP 3 .
a
Die obige Identi¬kation l¨sst jedoch die Gruppenstruktur ausser Betracht.
a
Fur SU (2) lassen sich mit Hilfe der Pauli-Matrizen Erzeuger angeben.
¨

De¬nition 11.9 G sei eine Gruppe mit Neutralelement e. Eine nichtleere Men-
ge E ‚ G, e ∈ E heisst Erzeugendensystem von G, wenn sich jedes Element
/
von G als Produkt von Elementen in E und Inversen von Elementen in E dar-
stellen l¨sst. Man sagt dann auch einfach, dass E die Gruppe G erzeugt. (Per
a
Konvention erzeugt … die Gruppe {e} .)

Lemma 11.14 Sei A eine Hermitesche n — n-Matrix. Dann gilt
a) exp (iA) ∈ U (n)
b) Jedes Element von U (n) l¨sst sich auf diese Weise darstellen
a
c) trace (A) = 0 impliziert exp (iA) ∈ SU (n).

¨
Beweis. Das waren alles (ho¬entlich geloste) Ubungsaufgaben.
¨
Da die Pauli-Matrizen alle Hermitesch mit Spur 0 sind, erhalten wir mit Hil-
fe von ihnen und der Exponentialabbildung Matrizen in SU (2) . Eine einfache
Rechnung (bitte nachprufen) ergibt:
¨
t t
t cos 2 i sin 2
exp i σ1 = , (11.25)
t t
i sin 2 cos 2
2

247
t t
t cos 2 sin 2
exp i σ2 = , (11.26)
t t
’ sin 2 cos 2
2
t
ei 2
t 0
exp i σ3 = . (11.27)
t
0 e’i 2
2
(Der Faktor 1/2 ist nur aus historischen Grunden da.) Nun l¨sst sich jede Her-
a
¨
mitesche 2 — 2-Matrix mit Spur 0 als Linearkombination der Pauli-Matrizen dar-
3
stellen: A = j=1 aj σj . Man k¨nnte dann auf den Gedanken kommen, dass
o
exp i 3 aj σj = 3 exp (iaj σj ) ist, sodass dann gezeigt ware, dass sich
¨
j=1 j=1
jede Matrix in SU (2) mit Matrizen der obigen Gestalt darstellen l¨sst. Da die
a
Pauli-Matrizen nicht kommutieren, stimmt diese Gleichung jedoch nicht. Den-
noch l¨sst sich durch eine direkte Rechnung leicht nachweisen, dass sich jede
a
ab
mit |a|2 + |b|2 = 1 hat, als Produkt
Matrix ∈ SU (2) , die ja die Form
’b a
von Matrizen der Form (11.25) und (11.27) darstellen lasst. Es gilt namlich
¨ ¨
φ+ψ φ’ψ
θ θ
cos 2 ei 2 i sin 2 ei 2
iφ iθ iψ
exp σ3 exp σ1 exp σ3 = . (11.28)
θ ψ’φ φ+ψ
i sin 2 ei 2 cos 2 e’i 2
θ
2 2 2

ab
∈ SU (2) so darstellen: Sind a und b = 0,
Nun l¨sst sich jede Matrix
a
’b a
θ
so w¨hlen wir 0 ¤ φ < 2π, 0 < θ < π, und ’2π ¤ ψ < 2π so, dass |a| = cos 2 ,
a
arg a = φ+ψ , arg b = φ’ψ+π ist. In diesem Fall sind diese Winkel eindeutig durch
2 2
a und b festgelegt. Fur den Fall b = 0 w¨hlen wir θ = 0. Dann sind φ, ψ nicht
a
¨
eindeutig bestimmt; wir k¨nnen jedoch einfach ψ = 0 nehmen. Im Fall a = 0
o
nehmen wir θ = π und wieder ψ = 0. Dann ist φ eindeutig bestimmt. Wir sehen
also, dass die Matrizen (11.25) und (11.27) SU (2) erzeugen. Die obigen Winkel
θ, φ, ψ nennt man die Euler-Winkel.
Wir k¨nnen die Euler-Winkel nun auch fur SO (3) bestimmen. Dazu berech-
o ¨
t
nen wir erst ¦ exp i 2 σ1 :

t t
exp i σ1 σ1 exp ’i σ1 = σ1 ,
2 2
t t
exp i σ1 σ2 exp ’i σ1 = σ2 cos t ’ σ3 sin t,
2 2
t t
exp i σ1 σ3 exp ’i σ1 = σ2 sin t + σ3 cos t.
2 2

Damit ist « 
1 0 0
t
=  0 cos t ’ sin t  ,
¦ exp i σ1
2
0 sin t cos t

248
d.h. einfach eine Drehung um σ1 (dem ersten Vektor unserer orthonormierten Ba-
sis in H, d.h. im dreidimensionalen Euklidschen Raum) um den Winkel t. Analog
t
zeigt man sofort, dass ¦ exp i 2 σk , k = 2, 3, ebenfalls einfach Rotationen um
σk um den Winkel t sind. Aus (11.28) und Proposition 11.2 a) ergibt sich dann
sehr einfach, dass sich jedes Element von SO (3) als Komposition einer Drehung
um σ3 um den Winkel ψ, dann einer Drehung um σ1 um den Winkel θ, und wieder
einer Drehung um σ3 um den Winkel φ darstellen l¨sst. Wegen der Identi¬kati-
a
on der Antipoden unter ¦ kann man sich bei der Wahl von ψ auf das Intervall
[0, 2π) einschr¨nken (was ohnehin klar ist, da man sich bei einer Drehung immer
a
auf Winkel in [0, 2π) einschr¨nken kann).
a
Die Darstellung einer Drehung in SO (3) kann man naturlich auch einfacher
¨
haben: Wir wissen ja schon, dass jedes Element in SO (3) eine Drehung um
¨
eine Achse ist. Daraus kann man mit etwas geometrischen Uberlegungen die
Eulerschen Winkel ebenfalls ablesen. Das obige Argument streicht jedoch den
Zusammenhang mit der Gruppe SU (2) deutlich heraus.

11.8 Hamiltonsche Quaternionen
Der Raum H der Hermiteschen 2 — 2-Matrizen mit Spur 0, der so eine inter-
essante Darstellung des 3-dimensionalen Euklidschen Raumes lieferte, ist nicht
2
abgeschlossen unter Multiplikation: σ1 σ2 = iσ3 ist nicht Hermitesch, und σ1 = E2
hat nicht Spur 0. Aber durch eine einfache Erweiterung erhalten wir einen Raum,
in dem die Multiplikation de¬niert ist:

H := RE2 + iH

ist abgeschlossen unter Multiplikation. Fur die folgende klassische Wahl einer
¨
Basis in H,
0 ’i
I := ’iσ1 =
E := σ0 := E2 , ,
’i 0
0 ’1 ’i 0
J := ’iσ2 = K := ’iσ3 =
,
10 0i
ergibt sich die Multiplikationstabelle
I 2 = J 2 = K 2 = ’E, IJ = ’JI = K,
(11.29)
JK = ’KJ = I, KI = ’IK = J.
Beachte, dass die Multiplikation nichtkommutativ ist! Damit ist
± ’ iδ ’γ ’ iβ
H = L[E, I, J, K] = , ±, β, γ, δ ∈ R
γ ’ iβ ± + iδ
w ’z
, w, z ∈ C
=
zw

249
eine assoziative R-Algebra, vgl. Bemerkung 4.1. Es gilt sogar: In H gelten alle
Korperaxiome bis auf die Kommutativitat der Multiplikation:
¨ ¨

Satz 11.13 H ist ein Schiefk¨rper.
o

Beweis. Vgl. De¬nition 2.5: Es ist nur zu zeigen, dass jedes Element h ∈ H \{0}
ein multiplikatives Inverses hat. h ist invertierbar ” det h = 0; det h = |w|2 +|z|2 ;
also gilt det h = 0 ” h = 0.

De¬nition 11.10 Ein 4-dimensionaler reeller Vektorraum H, in dem eine Basis
(E, I, J, K) ausgezeichnet ist und in dem durch die folgende Tabelle

E I J K
EE I J K
I I ’E ’J
K
J J ’K ’E I
’I ’E
KK J
eine bilineare Multiplikation de¬niert ist, heisst eine Quaternionenalgebra.

Wir schreiben die Elemente von H als Koordinatenvektoren bezuglich der Basis
¨
(E, I, J, K): Fur q ∈ H, q = ±E + βI + γJ + δK, schreiben wir q = (±, β, γ, δ).
¨

Lemma 11.15 Die Abbildung

± ’ iδ ’γ ’ iβ
F : H ’ H, (±, β, γ, δ) ’ ,
γ ’ iβ ± + iδ

ist ein R-Algebra-Isomorphismus, d.h. F ist ein Isomorphismus mit F (qq ) =
F (q)F (q ) fur alle q, q ∈ H, und es gilt F (E) = E, F (I) = I, F (J) = J,
¨
F (K) = K.

Beweis. F ist o¬ensichtlich linear und bijektiv, und wegen der Linearit¨t genugt
a ¨
es, F (qq ) = F (q)F (q ) fur die Basisvektoren von H zu zeigen. Dort sind die
¨
Relationen aber klar, denn die Multiplikation in H entspricht genau der in H
gem¨ss (11.29).
a

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