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. 59
( 60 .)



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Korollar 11.3 H ist eine assoziative R-Algebra und ein Schiefk¨rper.
o

H erweitert R und C: RE ist eine zu R isomorphe Unteralgebra, und RE + RI
oder RE + RJ oder allgemein jede Ebene in H, die RE enth¨lt, ist eine zu C
a
isomorphe Unteralgebra.
Man kann in H das kanonische Skalarprodukt einfuhren: fur q = (±, β, γ, δ)
¨ ¨
und q = (± , β , γ , δ ) ist

q, q := ±± + ββ + γγ + δδ .


250
q, q = ±2 + β 2 + γ 2 + δ 2 . Man hat auch
Die Norm von q ∈ H ist |q| :=
analog wie in C eine Konjugation, q := (±, ’β, ’γ, ’δ), fur die gilt
¨

qq = qq = |q|2 E,
q = q, qq = q q.

Damit ist das Inverse von q = 0 gegeben durch q ’1 = q/|q|2 . Fur q = (±, β, γ, δ)
¨
nennt man ±E den Realteil“ (oder skalaren Anteil“) von q und βI + γJ + δK
” ”
den Imagin¨rteil“ (oder vektoriellen Anteil“) von q.
a
” ”
Der Unterraum der rein imagin¨ren oder vektoriellen Quaternionen L[I, J, K]
a
ist isometrisch zum 3-dimensionalen Euklidschen Raum. Was ist nun das qua-

ternionische Produkt“ von zwei Vektoren des R3 ? Man rechnet nach:

(0, x1 , x2 , x3 )(0, y1 , y2 , y3 ) = (x1 I + x2 J + x3 K)(y1 I + y2 J + y3 K)
= ’(x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 )E + (x2 y3 ’ x3 y2 )I
+(x3 y1 ’ x1 y3 )J + (x1 y2 ’ x2 y1 )K
= (’ x, y , (x — y)1 , (x — y)2 , (x — y)3 ).

Das Euklidsche Skalarprodukt erscheint in der skalaren Komponente, und das
Vektorprodukt in den vektoriellen Komponenten. In physikalischer Notation“

mit den Pauli-Matrizen liest sich diese Gleichung wie folgt:

(x · σ)(y · σ) = (x · y)σ0 + i(x — y) · σ

mit σ = (σ1 , σ2 , σ3 ) und x · σ = x1 σ1 + x2 σ2 + x3 σ3 . Mit dieser Darstellung lassen
sich viele Rechenregeln fur das Vektorprodukt sehr elegant beweisen. (Dies und
¨
viele weitere interessante Eigenschaften der Quaternionen und viel zur Geschichte
der Quaternionen kann man z.B. nachlesen in Ebbinghaus et al., Zahlen, Springer,
1992.)




251
12 Quadratische Funktionen
und a¬ne Quadriken
V sei ein endlichdimensionaler K-Vektorraum, K ein K¨rper mit Charakteristik
o
ungleich 2.

12.1 A¬ne R¨ume
a
De¬nition 12.1 Eine nichtleere Teilmenge A ‚ V der Form A = a0 + U :=
{a0 + u : u ∈ U }, wobei a0 ∈ V und U ein Unterraum von V ist, heisst a¬ner
Teilraum von V . Die Dimension von A ist gleich der Dimension von U .

Bemerkung 12.1 a) U ist durch A eindeutig bestimmt, d.h. fur Unterr¨ume a
¨
U1 , U2 mit U1 = U2 gilt a1 + U1 = a2 + U2 fur beliebige a1 , a2 ∈ V .
¨
b) a0 ∈ A (wegen 0 ∈ U ).
c) Fur beliebige a ∈ A gilt a0 + U = a + U .
¨
d) A¬ne Teilr¨ume sind L¨sungsmengen von inhomogenen Gleichungssystemen:
a o
Genau dann, wenn A ein a¬ner Teilraum der Dimension k < n := dim(V ) ist,
existieren linear unabh¨ngige Elemente l1 , . . . , ln’k ∈ V — und a1 , . . . , an’k ∈ K
a
mit
A = {v ∈ V : l1 (v) = a1 , . . . , ln’k (v) = an’k }.

¨
Die Beweise sind einfache Ubungsaufgaben.
Eine nutzliche Charakterisierung a¬ner Teilr¨ume liefert das folgende Lem-
a
¨
ma:

Lemma 12.1 Eine nichtleere Teilmenge A ‚ V ist genau dann ein a¬ner Teil-
raum von V , wenn fur je zwei Punkte a, b ∈ A die gesamte Gerade durch a und
¨
b in A enthalten ist.

Beweis. Seien a, b ∈ A und A = a0 + U = a + U . Dann ist b ’ a ∈ U , folglich
auch »(b ’ a) ∈ U fur alle » ∈ K. Damit liegt die Gerade durch a und b,
¨
{a + »(b ’ a) : » ∈ K}, in A. Fur die Umkehrung w¨hle einen Punkt a ∈ A und
a
¨
betrachte U := {b ’ a : b ∈ A}. Dann ist a + U = A. Zu zeigen ist also lediglich,
dass U ein Unterraum von V ist. (i) Seien u = b ’ a ∈ U und » ∈ K. Wir zeigen
»u ∈ U . Weil die Gerade durch a und b in A liegt, ist c = a + »(b ’ a) ∈ A
und damit ist »u = »(b ’ a) = c ’ a ∈ U . (ii) Seien u = b ’ a ∈ U und
v = c ’ a ∈ U . Wir zeigen u + v ∈ U . Weil die Gerade durch b und c in A liegt,
ist b+ 2 (c’b) = 1 b+ 1 c ∈ A, und damit ist u+v = b’a+c’a = 2( 1 b+ 1 c’a) ∈ U
1
2 2 2 2
wegen (i).

Bemerkung 12.2 Das abstrakte Konzept eines a¬nen Raumes ist das folgende:
Ein a¬ner Raum ist ein Tripel (A, V, +), wobei A eine Menge von Punkten“,

V ein K-Vektorraum und + eine Verknupfung A — V ’ A, (a, v) ’ a + v ist,
¨

252
die die folgenden Eigenschaften hat:
a) a + (v + w) = (a + v) + w fur alle a ∈ A und v, w ∈ V ,
¨
b) a + 0 = a fur alle a ∈ A,
¨
c) fur alle a, b ∈ A existiert genau ein Vektor v ∈ V mit a + v = b.
¨

Beispiel 12.1 Das Tripel (V, V, +), wobei V ein Vektorraum und + die Vektor-
raumaddition ist, ist ein a¬ner Raum.

Bemerkung 12.3 Das Beispiel 12.1 ist typisch: Jeder a¬ne Raum (A, V, +) ist
durch Festlegung eines Ursprungs“ a0 ∈ A mit (V, V, +) identi¬zierbar via die

Bijektion
V v ’ a0 + v ∈ A.

Beispiel 12.2 Ist A ein a¬ner Teilraum von V , A = a0 + U , so ist (A, U, +)
ein a¬ner Raum (wobei + die Vektorraumaddition in V ist).

De¬nition 12.2 Ein a¬nes Koordinatensystem in einem n-dimensionalen
Vektorraum V ist ein n + 1-Tupel von Vektoren (v0 , v1 , . . . , vn ), wobei v0 ∈ V
und (v1 , . . . , vn ) eine Basis von V ist. Die a¬nen Koordinaten eines Vektors
v ∈ V bilden das n-Tupel (x1 , . . . , xn ) ∈ K n , und sind eindeutig bestimmt durch
n
v = v0 + x i vi .
i=1


12.2 Quadratische Funktionen
De¬nition 12.3 Eine Abbildung Q : V ’ K heisst quadratische Funktion,
falls sie von der Form

Q(v) = q(v ’ v0 ) + l(v ’ v0 ) + c

ist, wobei v0 ∈ V , q eine quadratische Form, l ∈ V — und c ∈ K ist.

q nennt man den quadratischen Teil und l den linearen Teil von Q bezuglich v0 .
¨
O¬enbar ist c = Q(v0 ). Wie sieht die Darstellung von Q bezuglich eines anderen
¨
Punktes v0 aus? Man rechnet nach:

Lemma 12.2 Sei Q wie oben und v0 ∈ V , dann ist

Q(v) = q(v ’ v0 ) + l (v ’ v0 ) + c

mit
l = l + 2•( . , v0 ’ v0 ).
c = Q(v0 ) und



253
Hierbei ist • die zu q gehorende symmetrische Bilinearform:
¨
1
q(v) = •(v, v) und •(v, w) = [q(v + w) ’ q(v) ’ q(w)].
2
Der quadratische Teil von Q ist also unabh¨ngig von der Wahl von v0 , w¨hrend
a a
der lineare und der konstante Teil transformiert werden. Punkte, bezuglich denen
¨
der lineare Teil verschwindet, sind o¬ensichtlich ausgezeichnet:
De¬nition 12.4 Q sei eine quadratische Funktion mit quadratischem Teil q.
v0 ∈ V heisst Zentralpunkt von Q, falls

Q(v) = q(v ’ v0 ) + Q(v0 ) fur alle v ∈ V
¨

ist. Die Menge aller Zentralpunkte von Q heisst das Zentrum von Q.

Bemerkung 12.4 v0 ist genau dann ein Zentralpunkt von Q, wenn Q(v) =
Q(v0 ’ (v ’ v0 )) fur alle v ∈ V ist. Denn Q(v) ’ Q(v0 ’ (v ’ v0 )) = 2l(v ’ v0 )
¨
(weil q(v ’ v0 ) = q(v0 ’ v)), und das verschwindet genau dann, wenn v0 ein
Zentralpunkt ist. Die Gleichung Q(v) = Q(v0 ’ (v ’ v0 )) fur alle v ∈ V bedeutet,
¨
dass Q symmetrisch bezuglich Punktspiegelung an v0 ist.
¨

Wir untersuchen nun, wie das Zentrum einer quadratischen Funktion aussehen
kann. Zur Erinnerung: Eine quadratische Form q ist nichtdegeneriert genau
dann, wenn die zugeh¨rige symmetrische Bilinearform • nichtdegeneriert ist, d.h.
o
ker • = {0}, d.h. •(v, w) = 0 fur alle v ∈ V impliziert w = 0. Es ist ker q :=
¨
ker • = ker(G) und rang q := rang(G) (= dim(V ) ’ dim(ker(G))), wobei G die
Grammatrix von • ist.
Satz 12.1 Q sei eine quadratische Funktion mit quadratischem Teil q.
a) Falls q nichtdegeneriert ist, gibt es genau einen Zentralpunkt von Q.
b) Falls q degeneriert ist, ist das Zentrum von Q entweder leer oder ein a¬ner
Teilraum v0 + U von V mit U = ker q.
Beweis. Sei zun¨chst v0 ein beliebiger Punkt von V und Q(v) = q(v ’ v0 ) + l(v ’
a
v0 ) + c. Gem¨ss Lemma 12.2 ist v0 genau dann ein Zentralpunkt von Q, wenn
a
¨
l = ’2•( . , v0 ’ v0 ) ist. In der Aufgabe 3 vom Ubungsblatt 8 haben wir gezeigt,
dass die Abbildung h• : V ’ V — , h• (v) = •( . , v) genau dann ein Isomorphismus
ist, wenn • nichtdegeneriert ist.
a) Wenn • nichtdegeneriert ist, gibt es genau ein u0 ∈ V mit •( . , u0 ) = ’l/2.
v0 = u0 + v0 ist also der eindeutige Zentralpunkt.
b) Wenn • degeneriert ist, ist h• nicht bijektiv, und es gibt zwei F¨lle: Ent-
a
weder ’l/2 ∈ im(h• ), dann gibt es keinen Zentralpunkt, oder ’l/2 ∈ im(h• ).
Dann gibt es u ∈ V mit •( . , u) = ’l/2, und v0 = u + v0 ist ein Zentralpunkt.
Seien v0 und v0 Zentralpunkte, d.h. ’l/2 = •( . , v0 ’ v0 ) = •( . , v0 ’ v0 ). Dann
ist •( . , v0 ’ v0 ) = 0 und folglich v0 ’ v0 ∈ ker •. Und umgekehrt, wenn v0

254
Zentralpunkt und v0 ∈ v0 + ker • ist, dann ist •( . , v0 ’ v0 ) = •( . , v0 + k ’ v0 ) =
•( . , k) + •( . , v0 ’ v0 ) = 0 ’ l/2 mit k = v0 ’ v0 ∈ ker •, also ist auch v0 ein
Zentralpunkt. Folglich ist das Zentrum von Q ein a¬ner Teilraum v0 + ker •.
Wir untersuchen als nachstes das Problem der Normalformen“ oder der ka-
¨
” ”
nonischen Formen“ fur quadratische Funktionen: Es geht dabei darum, ein af-
¨
¬nes Koordinatensystem (v0 , v1 . . . , vn ) zu ¬nden, bezuglich dem eine quadrati-
¨
sche Funktion eine m¨glichst einfache Form hat. Sind (x1 , . . . , xn ) ∈ K n die
o
a¬nen Koordinaten von v ∈ V , d.h. v = v0 + n xi vi , so schreiben wir auch
i=1
Q(x1 , . . . , xn ) fur Q(v).
¨

Satz 12.2 Q sei eine quadratische Funktion. Dann gibt es ein a¬nes Koordina-
tensystem, in dem Q eine der folgenden Formen annimmt:
a) Wenn der quadratische Teil q nichtdegeneriert ist, ist
n
»i x2 + c, »i ∈ K \ {0}, i = 1, . . . , n, c ∈ K.
Q(x1 , . . . , xn ) = i
i=1

b) Wenn q degeneriert, rang q = r und das Zentrum von Q nichtleer ist, ist
r
»i x2 + c, »i ∈ K \ {0}, i = 1, . . . , r, c ∈ K.
Q(x1 , . . . , xn ) = i
i=1

c) Wenn q degeneriert, rang q = r und das Zentrum von Q leer ist, ist
r
»i x2 + xr+1 , »i ∈ K \ {0}, i = 1, . . . , r.
Q(x1 , . . . , xn ) = i
i=1

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