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auch als ’a im abelschen Fall, sofern man die Verknupfung mit + bezeichnet.
¨

Beispiel 2.1 a) (N0 , +) ist eine abelsche Halbgruppe (0 ist das Neutralelement)
b) (Z, +) ist eine abelsche Gruppe.
c) Z mit der ublichen Multiplikation · ist eine abelsche Halbgruppe.
¨
d) (R\ {0} , ·) ist eine abelsche Gruppe.

Bisher haben wir nur Beispiele abelscher Gruppen oder Halbgruppen gesehen.
Hier eine nicht abelsche Gruppe:

Beispiel 2.2 M sei eine beliebige, nicht leere Menge. A sei die Menge der bijek-
tiven Selbstabbildungen f : M ’ M. Auf A ist die zweistellige Verknupfung der
¨
Komposition de¬niert: Fur f, g ∈ A ist g —¦ f die Komposition. Dann ist (A, —¦)
¨
eine Gruppe. Das Neutralelement ist idM . Das Inverse von f ist einfach die in-
verse Abbildung f ’1 . Wir hatten alle Gruppeneigenschaften schon im Abschnitt
1.2 gezeigt. Wie wir auch dort am Beispiel einer endlichen Menge M gezeigt
hatten, ist die Verknupfung —¦ nicht kommutativ. Ist M eine endliche Menge mit
¨
n Elementen, so bezeichnet man diese Gruppe als die symmetrische Gruppe
oder die Permutationsgruppe von n Elementen.

Wir kommen nun zu einer anderen wichtigen (abelschen) Gruppe: (Zn , +) .
Zur Erinnerung: In Beispiel 1.7 hatten wir Zn fur n ∈ N beschrieben als die
¨
¨ ¨
Menge der Aquivalenzklassen in Z unter der Aquivalenzrelation

a ∼ b ⇐’ ∃k mit a = b + kn. (2.3)

Wir konnten Zn auch einfach mit der Menge {0, 1, . . . , n ’ 1} identi¬zieren. Wir
·
de¬nieren nun eine Addition + auf dieser Menge: Sind a, b ∈ {0, 1, . . . , n ’ 1} , so
ist a + b, in den ganzen Zahlen addiert, in {0, 1, . . . , n ’ 1} oder in {n, n + 1, . . . ,

25
· ·
2n’1}. Im ersten Fall setzen wir a +b := a+b und im zweiten a +b := a+b’n. In
· ·
jedem Fall erhalten wir a + b ∈ {0, 1, . . . , n ’ 1} . Zn , + ist dann eine abelsche
Gruppe, wie man leicht nachpruft. Das Neutralelement ist naturlich 0.
¨ ¨
Wir wollen nun dieselbe Addition auf etwas umstandlichere Weise erklaren,
¨ ¨
die jedoch spater in sehr vielen Fallen wichtig sein wird. Wie oben erwahnt, kann
¨ ¨ ¨
Zn auch also Z/ ∼ beschrieben werden, wobei ∼ durch (2.3) gegeben ist. Zn ist
¨ ¨
also die Menge der Aquivalenzklassen unter dieser Aquivalenzrelation:

Zn = {[a] : a ∈ Z} .
·
Wir versuchen nun die Addition + auf Zn einfach wie folgt zu beschreiben:
·
[a] + [b] := [a + b] . (2.4)

Ein Moment des Nachdenkens zeigt jedoch, dass es nicht ganz klar ist, ob die
rechte Seite eine Verknupfung von [a] und [b] uberhaupt de¬niert. Man muss sich
¨ ¨
¨
folgendes uberlegen: Wenn a und a ∈ Z dieselbe Aquivalenzklasse reprasentieren,
¨ ¨
d.h. wenn [a] = [a ] gilt und auch [b] = [b ] , so gilt [a + b] = [a + b ] . Ware dies
¨
nicht richtig, so w¨re (2.4) eine unsinnige Festsetzung, die gar keine Verknupfung
a ¨
auf Zn de¬niert.

Lemma 2.2 Sind a, a , b, b ∈ Z mit a ∼ a und b ∼ b , so gilt a + b ∼ a + b .

Beweis. Wegen a ∼ a existiert k ∈ Z mit a = a + k n. Dasselbe mit den b™s:
Es exisitiert l ∈ Z mit b = b + l n. Daraus ergibt sich a + b = a + b + (k + l) n.
Dies impliziert a + b ∼ a + b .
Die Aussage dieses Lemmas impliziert, dass (2.4) eine Verknupfung auf Zn de-
¨
¬niert. Was man mit dem Lemma zeigt, ist dass die gewunschte Festlegung durch
¨
(2.4) unabh¨ngig von den Repr¨sentanten auf der linken Seite ist. Man sagt dann
a a
auch, dass durch (2.4) die Verknupfung wohlde¬niert sei. Dies ist sprachlich
¨
etwas unsinnig, denn wenn die Aussage des Lemmas nicht gelten wurde, so wurde
¨ ¨
(2.4) gar nichts de¬nieren, auch nicht “unwohl”.
Auf dieselbe Weise k¨nnen wir auch eine Multiplikation auf Zn festlegen. Dazu
o
ben¨tigen wir das folgende
o

Lemma 2.3 Sind a, a , b, b ∈ Z mit a ∼ a und b ∼ b , so gilt ab ∼ a b .

Beweis. Wegen a ∼ a existiert k ∈ Z mit a = a + k n. Dasselbe mit den b™s:
Es exisitiert l ∈ Z mit b = b + l n. Daraus folgt ab = a b + knb + lna + lkn2 =
a b + (kb + la + lkn) n. Dies impliziert ab ∼ a b .
Mit Hilfe dieses Lemmas wird mit

[a] — [b] := [ab]

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eine Verknupfung auf Zn de¬niert.
¨
Es ist leicht zu sehen, dass diese Verknupfung assoziativ und kommutativ ist.
¨
Ferner existiert ein Neutralelement, namlich [1] (1, wenn wir Zn mit {0, 1, 2, . . . ,
¨
n ’ 1} identi¬zieren). Somit gilt
·
Satz 2.2 a) Zn , + ist eine abelsche Gruppe.
b) (Zn , —) ist eine abelsche Halbgruppe. Das Neutralelement ist [1]

Es stellt sich die naheliegende Frage, ob (Zn , —) eine Gruppe ist. Es ist leicht
ersichtlich, dass das nicht der Fall ist. [0] — [a] = [0] fur alle [a] ∈ Zn . Demzufolge
¨
kann [0] kein inverses Element haben, denn es gilt [1] = [0] (sofern n ≥ 2 ist).
Eine interessantere Frage ist jedoch, ob Zn unter der Multiplikation eine Gruppe
ist, wenn man die Null wegl¨sst. Wir setzen
a

Z— := Zn \ {[0]} .
n

Nun ergibt sich jedoch das Problem, dass — auf Z— gar nicht immer de¬niert
n
ist, dann z.B. fur n = 6 gilt [2] — [3] = [6] = [0] .
¨

Lemma 2.4 Ist n eine Primzahl, so ist [a] — [b] = [0] fur alle [a] , [b] ∈ Z— .
¨ n


Beweis. Wir k¨nnen annehmen, dass a und b in {1, 2, . . . , n ’ 1} sind. W¨re
o a
[a] — [b] = [0] , so w¨re ab ein Vielfaches von n. Also w¨re n in der Primfaktorzer-
a a
legung von ab, was o¬ensichtlich nicht m¨glich ist.
o

Satz 2.3 Ist n eine Primzahl, so ist (Z— , —) eine Gruppe.
n


Beweis. Wir mussen nachweisen, dass jedes Element [a] ∈ Z— ein multipli-
¨ n
katives Inverses hat. Dazu weisen wir einfach nach, dass die Elemente [a] — [b] fur ¨

b = 1, 2, . . . , n ’ 1 alle verschieden sind. Da Zn genau n ’ 1 Elemente enth¨lt, a
folgt dann, dass ein b existiert mit [a] — [b] = [1] .
Wir k¨nnen den Repr¨sentanten a in {1, 2, . . . , n ’ 1} w¨hlen. Der Rest des
o a a
Beweises geht analog zu dem von Lemma 2.4. Wir fuhren ihn indirekt. Wir
¨
nehmen an, dass zwei verschiedene Elemente b, b ∈ {1, 2, . . . , n ’ 1} existieren
mit [a]—[b] = [a]—[b ] . Wir k¨nnen annehmen, dass b > b gilt. Aus [a]—[b] = [a]—[b ]
o
folgt, dass ein k ∈ Z existiert mit ab = ab + kn, d.h. a (b ’ b ) ist ein Vielfaches
von n. Das ist o¬ensichtlich nicht m¨glich, wenn n eine Primzahl ist.
o
·
Wir werden von nun an + anstelle von + und · anstelle von — schreiben fur ¨
die beiden Operationen auf Zn . Statt [a] + [b] = [c] mit a, b, c ∈ {1, 2, . . . , n ’ 1}
schreibt man dann oft auch
a + b = c mod n
oder auch einfach a + b = c wenn aus dem Kontext klar ist, dass es sich um die
Addition in Zn handelt, und entsprechend auch fur die Multiplikation.
¨

27
2.2 Ringe und Korper
¨
Es gibt viele wichtige algebraische Strukturen, die zwei zweistellige Verknupfun-
¨
gen besitzen. Das Paradebeispiel dafur ist Z, auf dem man addieren und multi-
¨
plizieren kann.

De¬nition 2.3 Eine Menge A mit zwei zweistelligen Verknupfungen + und ·
¨
heisst Ring (mit Eins), wenn die folgenden Bedingungen erfullt sind:
¨
a) (A, +) ist eine abelsche Gruppe.
b) (A, ·) ist eine Halbgruppe
c) Es gelten die beiden Distributivgesetze: Fur alle a, b, c ∈ A gilt
¨

a · (b + c) = a · b + a · c
(b + c) · a = b · a + c · a.

Ist die Verknupfung · kommutativ, d.h. ist (A, ·) eine abelsche Halbgruppe, so
¨
heisst der Ring kommutativ.

Das Neutralelement der Addition bezeichnet man stets mit 0. Das zu a ∈ A
bezuglich der Addition inverse Element bezeichnet man mit ’a. Das Neutralele-
¨
ment der Multiplikation wird mit 1 bezeichnet. Das mag unter Umst¨nden etwas
a
verwirren, denn mit 1 bezeichnen wir ja auch stets die naturliche Zahl “Eins”.
¨
Aus dem Kontext sollte immer klar sein, um welche “Eins” es sich jeweilen han-
delt. Gew¨hnen Sie sich jedoch an, sich das immer ganz genau zu uberlegen.
o ¨
Ist der Ring kommutativ, so braucht man naturlich nur eines der Distributiv-
¨
gesetzte zu fordern; das andere folgt dann wegen der Kommutativit¨t.
a

Lemma 2.5 Ist (A, +, ·) ein Ring, so gilt

a·0=0·a=0

fur alle a ∈ A.
¨

Beweis.
a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0.
Addiert man auf der linken und der rechten Seite dieser Gleichung ’(a · 0), so
folgt 0 = a · 0. Analog folgt 0 · a = 0.
Eine einfach Folgerung aus dem Lemma ist, dass 1 = 0 ist, sofern A mehr als
ein Element enth¨lt. W¨re n¨mlich 1 = 0, so wurde fur jedes a ∈ A die Gleichung
a a a ¨ ¨
a = 1 · a = 0 · a = 0 gelten. Der Ring, der nur die 0 enth¨lt, ist naturlich v¨llig
a o
¨
trivial. Wir setzen von nun an stets voraus, dass 1 = 0 gilt.

Beispiel 2.3 a) (Z, +, ·) ist ein kommutativer Ring mit Eins.
b) (Zn , +, ·) ist ein kommutativer Ring mit Eins. Das Distributivgesetz folgt
ganz leicht aus dem Distributivgesetz in Z.

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Wir werden noch viele wichtige Ringe kennenlernen. Zu den in der Mathe-
matik wichtigsten gehoren die sogenannten Polynomringe. Wir betrachten
¨
zunachst reelle Polynome; dies lasst sich jedoch spater sehr leicht verallgemei-
¨ ¨ ¨
nern.

De¬nition 2.4 Ein reelles Polynom in einer Variablen x ist ein Ausdruck
der Form
p (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn ,
mit a0 , a1 , . . . , an ∈ R. Diese Zahlen heissen die Koe¬zienten des Polynoms.
Das Polynom mit allen Koe¬zienten 0 heisst das Nullpolynom. Wir bezeichnen
es auch einfach mit 0.

Man setzt ublicherweise fur ein Polynom, das nicht das Nullpolynom ist, vor-
¨ ¨
aus, dass an = 0 ist. Ist an = 0 so lasst man an xn einfach weg. Reduziert
¨
man das Polynom auf diese Weise, so gelangt man schliesslich zu einem Polynom
mit hochstem Koe¬zienten = 0. n heisst dann der Grad des Polynoms. Man
¨
kann jedoch ein Polynom vom Grad n fur jedes m ∈ N auch mit Koe¬zienten
¨
an+1 = 0, . . . , an+m = 0 erganzen.
¨
Polynome kann man addieren und multiplizieren. Sind p(x) und q(x) zwei
Polynome, so de¬niert man die Addition p(x) + q(x), indem man einfach die
Koe¬zienten addiert:

p(x) + q(x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 ) x + . . . + (an + bn ) xn .

In dieser Schreibweise haben wir das Polynom von eventuell niedrigerem Grad
durch Nullen erganzt. Die Multiplikation ist etwas komplizierter de¬niert. Die
¨
Multiplikation mit dem Nullpolynom ist stets das Nullpolynom. Sind p(x) =
a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn und q (x) = b0 + b1 x + . . . + bm xm zwei Polynome,
beide = 0, so de¬niert man

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