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. 60
( 60 .)



Beweis. a) und b): W¨hle fur v0 den bzw. einen Zentralpunkt von Q, dann ist
a ¨
Q(v) = q(v ’ v0 ) + c. W¨hle fur (v1 . . . , vn ) eine Basis von V , die q diagonalisiert
a ¨
gem¨ss Satz 10.2 und Korollar 10.3.
a
c) W¨hle fur v0 zun¨chst einen beliebigen Punkt in V und die Basis (v1 . . . , vn )
a a
¨
so, dass der quadratische Teil von Q diagonal ist:
r n
»i x 2
Q(x1 , . . . , xn ) = + µi xi + c mit µi = l(vi ).
i
i=1 i=1

Es gibt dann mindestens ein j > r mit µj = 0, denn sonst w¨re Q(x1 , . . . , xn ) =
a
r r
µi 2 µi
i=1 »i (xi + 2»i ) + c , und der Punkt v0 ’ i=1 2»i vi w¨re ein Zentralpunkt im
a
Widerspruch zur Voraussetzung, dass das Zentrum von Q leer ist. Folglich ist
(v1 , . . . , vr , l) linear unabh¨ngig in V — . Erg¨nze das zu einer Basis von V — und
— —
a a
betrachte die duale Basis (v1 , . . . , vn ) von V .
In dem a¬nen Koordinatensystem (v0 , v1 , . . . , vn ) hat v ∈ V die Darstellung
v = v0 + n xi vi . Es gilt l(vi ) = 0 fur i = r + 1 und l(vr+1 ) = 1. Folglich ist
¨
i=1


255
l(v ’ v0 ) = xr+1 . Fur den quadratischen Teil gilt
¨
n
q(v ’ v0 ) = xi xj •(vi , vj ).
i,j=1

n
Stelle die Vektoren vi in der alten Basis dar: vi = aji vj . Dann ist
j=1

n
— —
fur 1 ¤ k ¤ r und 1 ¤ i ¤ n.
vk (vi ) = δki = aji vk (vj ) = aki ¨
j=1


Also ist fur 1 ¤ i ¤ r vi = vi + n j=r+1 aji vj und fur r < i ¤ n ist vi =
¨ ¨
n n
j=r+1 aji vj ∈ ker • ist, gilt •(vi , vj ) = •(vi , vj ) = »i δij fur
j=r+1 aji vj . Weil ¨
1 ¤ i, j ¤ r und •(vi , vj ) = 0 fur i > r oder j > r. Insgesamt haben wir nun
¨
r
»i xi 2 + xr+1 + c.
Q(x1 , . . . , xn ) =
i=1

Es gibt einen Punkt mit Q = 0, z.B. den Punkt (0, . . . , 0, ’c, 0, . . . 0). Wenn man
die Konstruktion an diesem Punkt beginnt, erh¨lt man die gewunschte Form mit
a ¨
c = 0.
Zur Eindeutigkeit der kanonischen Form gilt in den verschiedenen F¨llen: a
a) (0, . . . , 0) ist der eindeutige Zentralpunkt von Q, c ist eindeutig bestimmt
als der Wert von Q im Zentrum. Die Willkur in der Wahl der Basis, die q
¨
diagonalisiert, sowie der Koe¬zienten »i ist genau wie in Abschnitt 10.2 fur ¨
die Normalform einer symmetrischen Bilinearform diskutiert. Insbesondere kann
man fur K = R die »i in {±1} w¨hlen, und die Anzahl der +1 und der ’1 ist
a
¨
eine Invariante. Fur K = C kann man »i = 1 setzen.
¨
b) Der Koordinatenursprung kann irgendwo ins (mindestens eindimensionale)
Zentrum gelegt werden, aber c ist immer noch eindeutig bestimmt: Seien v0 und
v0 Zentralpunkte, dann gilt Q(v) = q(v ’ v0 ) + c, c = Q(v0 ), und Q(v0 ) =
q(v0 ’ v0 ) + c = c, weil v0 ’ v0 ∈ ker q liegt. Fur den quadratischen Teil gilt
¨
dasselbe wie im Fall a) mit »i = 0 fur i > r.
¨
c) Jeder Punkt, an dem Q verschwindet, kann als Koordinatenursprung ge-
w¨hlt werden, und fur den quadratischen Teil gilt dasselbe wie bei b).
a ¨

12.3 A¬ne Quadriken
De¬nition 12.5 Eine a¬ne Quadrik ist eine Menge {v ∈ V : Q(v) = 0},
wobei Q eine quadratische Funktion auf V ist.

Beispiel 12.3 Die Normalformen von nichtleeren a¬nen Quadriken im R2 las-
sen sich folgendermassen aufgliedern:


256
x2 + y 2 = 0
a) Punkt
x2 + y 2 = 1 Kreis
x2 ’ y 2 = 0 2 sich schneidende Geraden
x2 ’ y 2 = 1 Hyperbel
x2 = 0
b) r = 1 Gerade
x2 = 1 2 parallele Geraden
Ebene R2
r=0 0=0
x2 + y = 0
c) r = 1 Parabel
r=0 x=0 Gerade

Wir untersuchen nun die Frage, ob verschiedene quadratische Funktionen Q die-
selbe Quadrik de¬nieren k¨nnen. Naturlich ist Q immer nur bis auf Multipli-
o ¨
kation mit einem K¨rperelement = 0 eindeutig: Q(v) = 0 ” »Q(v) = 0 fur
o ¨
» ∈ K \ {0}. Wir haben in Beispiel 12.3 aber auch schon F¨lle, wo quadrati-
a
sche Funktionen, die nicht skalare Vielfache voneinander sind, dieselbe Quadrik
erzeugen: {(x, y) ∈ R2 : x2 = 0} = {(x, y) ∈ R2 : x = 0}. Noch so ein Beispiel:
Die Gleichung r x2 = 0 im Rn ist ¨quivalent zu x1 = · · · = xr = 0, und fur
a ¨
i=1 i
r > 1 gibt es viele quadratische Funktionen, die dieselbe Quadrik erzeugen, aber
nicht proportional zueinander sind, z.B. r »i x2 = 0 fur beliebige »i > 0, die
¨
i
i=1
nicht alle gleich sind. In all diesen F¨llen ist die Quadrik ein a¬ner Teilraum.
a
Tats¨chlich ist fur K = R Q bis auf Multiplikation mit » = 0 eindeutig, wenn
a ¨
die Quadrik kein a¬ner Teilraum ist:

Satz 12.3 Eine a¬ne Quadrik X in einem reellen Vektorraum V sei gegeben
durch quadratische Funktionen Q1 und Q2 :

X = {v ∈ V : Q1 (v) = 0} = {v ∈ V : Q2 (v) = 0}.

X sei kein a¬ner Teilraum von V . Dann gibt es ein » ∈ R mit Q1 = »Q2 .

Beweis. X ist kein a¬ner Teilraum von V , also gibt es gem¨ss Lemma 12.1
a
zwei verschiedene Punkte a, b ∈ X mit der Eigenschaft, dass die Gerade durch a
und b nicht vollstandig in X enthalten ist. Fuhre ein a¬nes Koordinatensystem
¨ ¨
(a, v1 , . . . , vn ) mit vn = b ’ a ein. Damit ist
n n
Q1 (x1 , . . . , xn ) = q1 xi vi + l1 xi vi
i=1 i=1
»x2
= + f1 (x1 , . . . , xn’1 )xn + g1 (x1 , . . . , xn’1 ),
n

(c = Q1 (a) = 0), wobei » = q1 (vn ), f1 ein Polynom in x1 , . . . , xn’1 vom Grad
¤ 1 und g1 ein Polynom in x1 , . . . , xn’1 vom Grad ¤ 2 ist. a hat die a¬nen
Koordinaten (0, . . . , 0), b hat die a¬nen Koordinaten (0, . . . , 0, 1), und die Gerade
durch a und b ist die Menge der Punkte mit den a¬nen Koordinaten (0, . . . , 0, t),
t ∈ R. Q1 (a) = 0 impliziert g1 (0) = 0, und Q1 (b) = 0 impliziert f1 (0) = ’». Auf

257
der Geraden durch a und b nimmt Q1 die Werte Q1 (0, . . . , 0, t) = »t2 ’ »t an.
Dies ist nicht fur alle t ∈ R gleich 0, also muss » = 0 sein, und wir konnen » = 1
¨ ¨
setzen. Analog ist

Q2 (x1 , . . . , xn ) = x2 + f2 (x1 , . . . , xn’1 )xn + g2 (x1 , . . . , xn’1 ),
n

wobei f2 ein Polynom vom Grad ¤ 1 und g2 ein Polynom vom Grad ¤ 2 ist mit
f2 (0) = ’1 und g2 (0) = 0.
Q1 und Q2 de¬nieren dieselbe a¬ne Quadrik, haben also dieselben Nullstel-
lenmengen. Wir wollen zeigen, dass Q1 = Q2 ist. Die L¨sungen der quadratischen
o
Gleichungen Q1 = 0 bzw. Q2 = 0 sind
1 1
fi2 (x1 , . . . , xn’1 ) ’ 4gi (x1 , . . . , xn’1 ),
xn = ’ fi (x1 , . . . , xn’1 ) ± i = 1, 2.
2 2
Bei (x1 , . . . , xn’1 ) = (0, . . . , 0) sind xn = 0 und xn = 1 die beiden L¨sungen
o
dieser Gleichungen, die in einer Umgebung von (0, . . . , 0) stetig von (x1 , . . . , xn’1 )
abh¨ngen. Folglich gilt in einer Umgebung von (0, . . . , 0):
a

2 2
’f1 + f1 ’ 4g1 = ’f2 + f2 ’ 4g2

und
2 2
’f1 ’ f1 ’ 4g1 = ’f2 ’ f2 ’ 4g2 .
Addition dieser Gleichungen ergibt f1 = f2 , und Subtraktion liefert dann g1 = g2 .
Dies gilt zun¨chst nur in einer Umgebung von (0, . . . , 0). Indem man nun in die
a
allgemeine Form von fi , fi (x1 , . . . , xn’1 ) = ai0 + n’1 aij xj spezielle Punkte
j=1
aus dieser Umgebung einsetzt, erh¨lt man die Gleichheit aller Koe¬zienten aij
a
und damit f1 = f2 auf ganz Rn’1 . Z.B. x = (0, . . . , 0) ’ a10 = a20 ; x =
(0, . . . , 0, , 0, . . . , 0) mit xi = klein genug ’ a1i = a2i . Analog zeigt man
g1 = g2 auf ganz Rn’1 und damit gilt Q1 = Q2 auf V .




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