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. 7
( 60 .)



>>


p(x) · q (x) = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 ) x + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 ) x2 + . . . + an bm xm+n .

Es sollte aus dem Gymnasium bekannt sein, dass die Polynommultiplikation kom-
mutativ und assoziativ ist. Das Neutralelement ist das Polynom p(x) = 1. Man
bezeichnet mit R [x] die Menge aller Polynome (mit reellen Koe¬zienten). R [x]
versehen mit der Addition ist o¬enbar eine abelsche Gruppe. Das Neutralelement
ist das Nullpolynom 0. Ferner ist R [x] versehen mit der Multiplikation · eine abel-
sche Halbgruppe. Es sollte ebenfalls bekannt sein, dass das Distributivgesetz gilt.
Demzufolge gilt

Satz 2.4 (R [x] , +, ·) ist ein kommutativer Ring mit Eins.

Bemerkung 2.2 Eine Bemerkung, die etwas an Haarspalterei grenzt: Die “Va-
riable” x spielt eigentlich in der obigen Diskussion keine richtige Rolle. Wir

29
k¨nnen ein Polynom auch einfach durch das (n + 1)-Tupel seiner Koe¬zienten
o
(a0 , a1 , . . . , an ) beschreiben. Dann ist

R [x] := {(a0 , a1 , . . . , an ) : n ∈ N0 , ai ∈ R f¨r 0 ¤ i ¤ n, an = 0 falls n = 0} .
u

Die Addition und die Multiplikation kann dann aufgrund dieser Koe¬zienten
de¬niert werden. Eine “Variable” x kommt so gar nicht mehr vor.
Andererseits wissen Sie naturlich, dass ein Polynom eine Abbildung R ’ R
¨
de¬niert, einfach durch R t ’ a0 + a1 t + . . . + an tn und Addition und Multipli-
kation von Polynomen entspricht dann einfach der Addition und Multiplikation
der Funktionswerte. Man sollte jedoch zwischen einem Polynom, aufgefasst als
formales Tupel (a0 , a1 , . . . , an ) der Koe¬zienten, und aufgefasst als Abbildung
R ’ R unterscheiden. Der Grund fur diese Haarspalterei ist im Moment nicht
¨
richtig ersichtlich. Es wird sich jedoch sp¨ter herausstellen, dass in allgemeine-
a
ren Situation zwei verschiedene (formale) Polynome durchaus dieselbe Abbildung
de¬nieren k¨nnen.
o

Ist (A, +, ·) ein Ring mit Eins (kommutativ oder nicht), so kann man sich
fragen, welche Elemente ein Inverses bezuglich der Multiplikation haben. 0 kann
¨
o¬enbar kein Inverses haben, denn wir hatten schon gesehen, dass a · 0 = 0 · a = 0
fur alle a ∈ A gilt, und demzufolge kann es kein Element 0’1 geben mit 0’1 · 0 =
¨
0 · 0’1 = 1 (wegen 1 = 0). Das N¨chstbeste, was man haben kann, ist wenn jedes
a
Element = 0 ein Inverses besitzt.

De¬nition 2.5 a) Ein kommutativer Ringe mit Eins, in dem jedes Element = 0
ein multiplikatives Inverses besitzt, heisst K¨rper.
o
b) Ein nicht-kommutativer Ring (mit Eins), in dem jedes Element = 0 ein
multiplikatives Inverses besitzt, heisst Schiefk¨rper.
o

Die Namensgebung hat sich so eingeburgert, ist linguistisch aber ganz un-
¨
sinnig. Nach ublichem Sprachverst¨ndnis w¨re ein Schiefk¨rper ein K¨rper, der
a a o o
¨
noch die zus¨tzliche Eigenschaft “Schiefe” hat. Das ist aber genau nicht der
a
Fall: Eine zus¨tzliche Eigenschaft hat ein K¨rper, n¨mlich die Kommutativit¨t.
a o a a
Schiefk¨rper machen sich ubrigens ziemlich rar. W¨hrend wir gleich eine Reihe
o a
¨
von Beispielen von K¨rpern kennen lernen werden, k¨nnen wir im Moment kein
o o
Beispiel eines Schiefk¨rpers angeben. Das einzige (konkrete) Beispiele, das wir
o
kennen lernen werden, ist der Quaternionen-Schiefk¨rper, den wir im n¨chsten
o a
Semester diskutieren werden.
Das multiplikative Inverse eines Elements a bezeichnet man ublicherweise mit
¨
’1 1
a oder a (im Gegensatz zum additiven Inversen ’a).

Beispiel 2.4 a) Q, R, C sind Beispiele von K¨rpern.
o
b) Ist n eine Primzahl, so ist (Zn , +, ·) ein K¨rper (wegen Satz 2.3).
o


30
Ist n keine Primzahl, so ist (Zn , +, ·) kein Korper. Das konnen wir wie folgt
¨ ¨
einsehen. Ist n keine Primzahl, so existieren Zahlen 1 ¤ p, q < n mit pq = n.
Demzufolge gilt in Zn die Gleichung pq = 0. Man sagt, dass Zn Nullteiler hat.
Dass (Zn , +, ·) kein Korper sein kann, folgt dann aus
¨

Lemma 2.6 Ein K¨rper (K, +, ·) hat keine Nullteiler, d.h. fur a, b = 0, a, b ∈ K
o ¨
gilt a · b = 0.

Beweis. Aus a · b = 0 und a = 0 folgt

b = 1 · b = a’1 · a · b = a’1 · (a · b) = a’1 · 0 = 0.


Die Umkehrung der Aussage des Lemmas gilt ubrigens nicht: Ein kommuta-
¨
tiver Ring (mit Eins), der keine Nullteiler besitzt, ist deswegen noch lange kein
K¨rper. Ein Beispiel ist R [x] . R [x] hat o¬ensichtlich keine Nullteiler, das Po-
o
lynom p (x) = x hat jedoch kein Inverses, d.h. es gibt kein Polynom q (x) mit
p (x) · q (x) = 1.
Wir werden im weiteren Verlauf der Vorlesung den Punkt · fur die Multipli-
¨
kation auch weglassen, wenn dies nicht zu Verwechslungen fuhren kann, so wie
¨
das auch in R ublich ist.
¨
K¨rper haben also die Eigenschaft, dass man in ihnen “wie in R” rechnen
o
kann: Man kann addieren, subtrahieren, multiplizieren und durch Elemente = 0
dividieren. Es gibt jedoch durchaus grosse Unterschiede. Z.B. gilt im K¨rper Z2
o
die Eigenschaft 1+1 = 0, was vielleicht etwas ungewohnt ist. Sei K ein beliebiger
K¨rper. Wir de¬nieren rekursiv fur n ∈ N ein Element n ∈ K :
o ¨


1 := 1
(n + 1) := n + 1.

Hier ist etwas Vorsicht geboten: Die 1 auf den rechten Seiten meint die Eins im
K¨rper, also das Neutralelement der Multiplikation. Ebenfalls ist + die Addition
o
im K¨rper. Hingegen ist die 1 auf der linken Seite die Eins in N und die Addition
o
ist die Addition in N.

De¬nition 2.6 Gilt in einem K¨rper n = 0 fur alle n ∈ N, so sagt man,
o ¨
der K¨rper habe Charakteristik 0. Anderenfalls ist die Charakteristik de¬niert
o
durch
char (K) := min {n ∈ N : n = 0} .

Satz 2.5 Ist char (K) = 0, so ist char (K) eine Primzahl.



31
Beweis. Wir zeigen, dass fur m, n ∈ N die Gleichung
¨
(mn) = mn (2.5)
gilt. Zunachst zeigen wir die Gleichung
¨
(m + n) = m + n. (2.6)
Dies folgt mit Induktion nach n : Fur n = 1 ist es die De¬nition und der Induk-
¨
tionsschluss geht wie folgt:
(m + (n + 1)) = ((m + n) + 1) = (m + n) + 1
= m + n + 1 = m + n + 1.
¨ ¨
(Ubungsaufgabe: Uberlegen Sie sich bei jeder der Gleichungen ganz genau, wieso
sie gilt). Damit ist (2.6) bewiesen. Wir zeigen nun (2.5) ebenfalls mit Induktion
nach n. Fur n = 1 folgt die Aussage wegen 1 = 1. Nun wieder der Induktions-
¨
schritt:
(m (n + 1)) = (mn + m)
= mn + m (nach (2.6))
= mn + m (nach Induktionsvoraussetzung)
= m (n + 1) (Distributivgesetz in K)
= m(n + 1) (nach De¬nition).
Damit ist (2.5) bewiesen.
Aus dieser Gleichung folgt nun sofort, dass die Charakteristik von K eine
Primzahl ist (falls sie = 0 ist): Sei n ∈ N die Charakteristik. Zun¨chst ist wegen
a
1 = 0 (im K¨rper) die Charakteristik = 1. Wir nehmen an, die Charakteristik
o
sei keine Primzahl. Dann existieren Zahlen p, q ∈ N, p, q < n mit n = pq. Wegen
(2.5) folgt
0 = n = pq = pq.
Da ein K¨rper keine Nullteiler hat, folgt dass p oder q gleich 0 ist. Dies steht je-
o
doch im Widerspruch zur De¬nition der Charakteristik als die kleinste naturliche
¨
Zahl n mit n = 0.
Beispiel 2.5 Der K¨rper (Zp , +, ·) (p Primzahl) hat Charakteristik p.
o
Bemerkung 2.3 Es gibt viele andere K¨rper, die Charakteristik p haben. Es gibt
o
jedoch nicht sehr viele K¨rper mit endlich vielen Elementen. Man weiss, dass es
o
fur jede Zahl m ∈ N und jede Primzahl p im Wesentlichen genau einen K¨rper o
¨
m
mit p Elementen gibt. Diese K¨rper heissen Galois-Felder. Der K¨rper kann
o o
fur m ≥ 2 jedoch nicht (Zpm , +, ·) sein, da dieser Ring Nullteiler hat, wie wir
¨
gesehen hatten. Die Konstruktion der Galois-Felder ist nicht ganz einfach. Man
kann jedoch leicht nachweisen, dass ein K¨rper mit pm Elementen Charakteristik
o
¨
p hat. (Ubungsaufgabe).


32
3 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen
3.1 Das Gaußsche Eliminationsverfahren
Die einfachste lineare Gleichung fur die Unbekannte x ∈ R ist die Gleichung der
¨
Form
ax = b, (3.1)
wobei a und b ∈ R sind. Schon fur diese einfache Gleichung mussen wir eini-
¨ ¨
ge Fallunterscheidungen machen. Der “Standardfall” ist a = 0. Dann hat die
Gleichung die eindeutige L¨sung x = b/a. Ist hingegen a = 0, so gibt es zwei
o
Unterf¨lle: Ist auch b = 0, so ist jede Zahl eine L¨sung dieser Gleichung. Ist aber
a o
b = 0 (aber immer noch a = 0), so hat die Gleichung keine L¨sung. Bezeichnen
o
wir mit L die L¨sungsmenge
o
L := {x ∈ R : ax = b} , (3.2)
so gilt also ±
 {b/a} , falls a = 0,
falls a = 0 und b = 0,
L= R,
…, falls a = 0 und b = 0.


Wir wollen diese Diskussion nun auf mehrere Gleichungen mit mehreren Unbe-
kannten verallgemeinern. Das Endergebnis wird eine v¨llig analoge Fallunter-
o
scheidung sein. Zun¨chst sei jedoch bemerkt, dass wir, statt nur Gleichungen fur
a ¨
Unbekannte in R zu betrachten, in jedem beliebigen K¨rper arbeiten k¨nnen. K
o o
sei also ein K¨rper (z.B. R, C oder Zp , p Primzahl). Wir betrachten dann die
o
Gleichung (3.2) fur Koe¬zienten a, b ∈ K und suchen L¨sungen x in K. Alles
o
¨
geht naturlich genauso wie oben, denn wir k¨nnen in K wie in R durch Zahlen
o
¨
= 0 dividieren.
Nun zu Systemen von Gleichungen. Wir betrachten m Gleichungen fur die n
¨
Unbekannten x1 , x2 , . . . , xn ∈ K :
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 ,
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 ,
(3.3)
. . . .
. . . .
. . . .
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm .
Dabei sind die Koe¬zienten aij ∈ K fur 1 ¤ i ¤ m und 1 ¤ j ¤ n und bi ∈ K
¨
fur 1 ¤ i ¤ m. Man kann das Gleichungssystem auch kurz wie folgt schreiben:
¨
n
aij xj = bi , i = 1, . . . , m.
j=1

Die L¨sungsmenge ist de¬niert als
o
n
(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ K n :
L := aij xj = bi f¨r i = 1, . . . , m .

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. 7
( 60 .)



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