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. 9
( 60 .)



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o
chen, dass fur 2 ¤ j ¤ k in der nj -ten Spalte oberhalb von aj,nj = 1 nur Nullen
¨
stehen. Die Matrix sieht dann wie folgt aus:
« 
0 . . . 0 1 a1,n1 +1 . . . a1,n2 ’1 0 a1,n2 +1 . . . 0 . . . a1n b1
¬ 0 ... ... ... ... ... 0 1 a2,n2 +1 . . . 0 . . . a2n b2 ·
¬ ·
¬. . . .·
¬. . . .·
¬. . . .·
0 1 . . . akn bk · .
¬ 0 ... ... ... ... ... ... ... ...
¬ ·
¬ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 bk+1 ·
¬ ·
¬. . .·
. . .
. . .
0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 bm

37
Wenn wir das Gleichungssystem auf diese Form gebracht haben
n
aij xj = bi , 1 ¤ i ¤ m,
j=1

so lasst sich die Losungsmenge einfach ablesen:
¨ ¨
Fall 1: Es gilt k < m und mindestens eine der Zahlen bk+1 , . . . , bm ist = 0.
In diesem Fall hat das System o¬enbar keine L¨sung. Es gilt also L = …, denn
o
wenn j ∈ {k + 1, . . . , m} ein Zeilenindex ist mit bj = 0, so ist die j-te Gleichung
auf keine Weise erfullbar.
¨
Fall 2: Es gilt k = m oder bk+1 = . . . = bm = 0.
In letzterem Fall k¨nnen wir die Gleichungen Nr. k + 1 bis Nr. m einfach
o
weglassen, denn sie sind automatisch bei jeder Wahl der x-Werte erfullt. Wir¨
teilen unseren Fall nun in zwei Unterf¨lle auf:
a
Fall 2a: Es gilt k = n.
In diesem Fall muss A in der obigen Matrix nach dem Weglassen eventueller
Zeilen k + 1 bis m die sogenannte n — n Einheitsmatrix En sein:

1, falls i = j,
aij = δij := (3.7)
0, falls i = j,

oder als Matrix geschrieben
« 
10 0 ... 0


01 0 .
¬
¬
..
def ¬ ·
En = ¬ ·. (3.8)
.
0 0
¬ ·
. . ...
. .
¬ ·
. . 0

00 ... 0 1

Wir haben oben das sogenannte Kronecker Deltasymbol δij verwendet, das durch
die zweite Gleichung in (3.7) de¬niert ist. Das Gleichungssystem ist damit ganz
einfach geworden:
xi = bi fur i = 1, 2, . . . , k (= n) .
¨
Es gibt also in diesem Fall genau eine Losung, d.h.
¨

L= b1 , b2 , . . . , bk .

Fall 2b: k < n. In diesem Fall k¨nnen die Variablen xj mit j ∈ {n1 , n2 ,
o /
. . . , nk } frei gew¨hlt werden, und xn1 , xn2 , . . . , xnk ergeben sich daraus durch die
a
Gleichungen
n
xni = bi ’ aij xj .
j=ni +1
j ∈{ni+1 ,...,nk }
/


38
Es gibt in diesem Fall unendlich viele Losungen (falls K unendlich ist, wie z.B.
¨
K = R), denn n ’ k der x-Variablen, namlich xj mit j ∈ {n1 , n2 , . . . , nk } konnen
/
¨ ¨
nach Belieben gewahlt werden. Auch im Fall, wo K endlich ist (z.B. K = Z2 ) gibt
¨
es mehr als eine Losung. Wir sehen also, dass in diesem Fall das Gleichungssystem
¨
zwar l¨sbar, aber nicht eindeutig l¨sbar ist.
o o
Wir machen ein Zahlenbeispiel (mit K = R):

x1 + 2x2 ’ x3 = 1,
2x1 + x2 + x3 = 0,
3x1 + 2x3 = 4.

Nach Elimination der x1 -Variablen aus der zweiten und der dritten Gleichung
ergibt sich

x1 + 2x2 ’ x3 = 1,
’3x2 + 3x3 = ’2,
’6x2 + 5x3 = 1.

Nun eliminieren wir x2 aus der dritten Gleichung:

x1 + 2x2 ’ x3 = 1,
’3x2 + 3x3 = ’2,
’x3 = 5.

Auf die weitere Reduktion k¨nnen wir verzichten: Die eindeutige L¨sung l¨sst
o o a
sich nun sofort ablesen: x3 = ’5, x2 = ’13/3, x1 = 14/3. Wir modi¬zieren das
erste Gleichungssystem nun ein wenig:

x1 + 2x2 ’ x3 = 1,
2x1 + x2 + x3 = 0,
3x1 + 3x3 = ’1.

Nach der Elimination von x1 haben wir

x1 + 2x2 ’ x3 = 1,
’3x2 + 3x3 = ’2,
’6x2 + 6x3 = ’4.

Nun sieht man, dass die dritte Gleichung das zweifache der zweiten Gleichung
ist. Nach Elimination von x2 aus der dritten Gleichung f¨llt die letzte Gleichung
a
daher einfach weg und wir erhalten:

x1 + 2x2 ’ x3 = 1,
’3x2 + 3x3 = ’2.

39
Nun dividieren wir die zweite Gleichung noch durch ’3 und eliminieren x2 aus
der ersten Gleichung. Wir erhalten dann

x1 + 0x2 + x3 = ’1/3,
x2 ’ x3 = 2/3.

Wir sind damit im Fall 2a und erhalten als Losungsmenge
¨

L = {(’1/3 ’ t, 2/3 + t, t) : t ∈ R} .

Man beachte, dass der Fall 2a nicht auftreten kann, wenn das System weniger
Gleichungen als Unbekannte hat. Wir erhalten daher den folgenden

Satz 3.2 Hat ein Gleichungssystem (3.3) weniger Gleichungen als Unbekannte,
d.h. gilt m < n, so hat das System entweder gar keine L¨sung oder mehr als eine
o
L¨sung.
o

Wir betrachten noch etwas genauer den besonders wichtigen Spezialfall von
gleich vielen Gleichungen wie Unbekannten, also m = n. In diesem Fall ist die
Matrix A, wie man sagt, quadratisch, d.h. sie hat gleich viele Zeilen wie Spalten.
Im Fall 2a l¨sst sich diese Matrix durch elementare Zeilenoperationen auf die
a
Einheitsmatrix En transformieren, und das Gleichungssystem hat fur jede Wahl
¨
der bi genau eine Losung. Diese Situation ist wichtig genug fur eine De¬nition:
¨ ¨

De¬nition 3.1 Eine quadratische n — n-Matrix A heisst regul¨r, falls sie sich
a
durch elementare Zeilenoperationen auf die Einheitsmatrix En transformieren
l¨sst. Ist A nicht regul¨r, so heisst sie singul¨r.
a a a

Aus der obigen Diskussion ergibt sich der folgende

Satz 3.3 Wir betrachten das Gleichungssystem (3.3) mit m = n. Ist A regul¨r,a
so hat das Gleichungssystem fur jede Wahl der bi , 1 ¤ i ¤ n genau eine L¨sung.
o
¨
Ist A singul¨r, so hat das System entweder gar keine L¨sung oder mehr als eine
a o
L¨sung.
o

Der Satz hat die folgende interessante Konsequenz:

Korollar 3.1 Hat das Gleichungssystem (3.3) mit m = n fur irgend eine spe-
¨
zielle Wahl der bi genau eine L¨sung, so ist A regul¨r und demzufolge hat das
o a
System fur jede Wahl der bi genau eine L¨sung.
o
¨

Ein wichtiger Spezialfall ist bi = 0, ∀i.




40
De¬nition 3.2 Ein Gleichungssystem der Form
n
aij xj = 0, i = 1, . . . , m (3.9)
j=1

heisst homogen. Ist (3.3) ein Gleichungssystem mit beliebigen bi , so heisst (3.9)
das zu (3.3) geh¨rende homogene System.
o

Ein homogenes Gleichungssystem hat o¬ensichtlich immer mindestens eine
Losung, namlich die sogenannte triviale L¨sung xj = 0, 1 ¤ j ¤ n. Als Korollar
o
¨ ¨
aus Satz 3.2 erhalten wir im Fall von weniger Gleichungen als Unbekannte:

Korollar 3.2 Ein homogenes Gleichungssystem mit m < n hat mehr als eine
L¨sung.
o

Beweis. Nach Satz 3.2 tritt der Fall einer eindeutigen L¨sung nicht auf.
o
Da aber ein homogenes System immer mindestens eine L¨sung hat, n¨mlich die
o a
triviale, so bleibt nur der Fall ubrig, dass das System mehr also eine L¨sung hat
o
¨
(naturlich dann unendlich viele, wenn K unendlich ist).
¨
Betrachten wir nochmals den Fall m = n, also gleich viele Gleichungen wie
Unbekannte. Ein Spezialfall von Korollar 3.1 ist:

Korollar 3.3 Wir betrachten das System (3.3) mit m = n. Dieses Gleichungs-
system ist dann und nur dann eindeutig l¨sbar, wenn das zugeh¨rige homogene
o o
System nur die triviale L¨sung hat.
o

Falls das zugeh¨rige homogene System nicht nur die Triviall¨sung hat, so
o o
weiss man, dass (3.3) nicht eindeutig l¨sbar ist. Es sind dann aber immer noch
o
zwei F¨lle m¨glich, n¨mlich, dass es gar keine L¨sung hat, oder dass es mehr als
a o a o
eine L¨sung hat.
o
Es ist interessant, dass man von der Tatsache, dass das homogene System
h¨chstens eine L¨sung hat (n¨mlich die Triviall¨ sung), auf die (eindeutige) Exi-
o o a o
stenz einer L¨sung des inhomogenen Systems schliessen kann. Es gibt viele wich-
o
tige Beispiele von linearen Gleichungssystemen, bei denen man fur das homogene
¨
System nachweisen kann, dass es nur die triviale Losung besitzt, ohne dass man
¨
die Gauss-Elimination durchfuhrt. In diesem Fall hat man also die Existenz einer
¨
Losung des inhomogenen Systems nachgewiesen ohne deren explizite Berechnung.
¨
¨
Mehr dazu in den Ubungen.

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