<<

. 10
( 23 .)



>>

n
ó ê ø ©  » ° « è © ï ô ó ö © ø « © ý ¬ ü è « ¬ § ö ¬ è ° ï ® ¬ « ¡ 2 £ ¢ ¬ µ » ò ê ¬  ¢ ¬ § § © ù © ô ó ê ø °«
X = (x1 + . . . + xn )/n
üèï ô¬¨ü µ¬ ø«¬ô ó è數 ê¥ï ü è ó µ« ó ö ¡ ô ¬ § ö ¬ èïè« ¬ ˆ
n
£ ó § © ø © è « ¢  ° § ê ¬ ® ò © ó § © ö © µ ô ¨ ó ò ó  » ù© µ« ¬ ø « © ó § © ¬ § ò © ê © ø © ¬® ò © ¬ ù
n
 » ê è ü è ó ù ¬ ô ¨ ó ¬ ê ø ó è « ¬ ò ó ù¬ © ý ¬ © § è © § ò ¬ ú ü µ ¬ ý ó ê ø ò ¬ ¨ ï ê ý ¬ ò ó ® ï B γ
£
ï è § ï è « § ¬ ® A © ù¥
n
, x1 . . . xn = γ n
x1 + . . . + xn √
n
¡ ¥
¡¨ E £ 
n
¨ ¥ ¡ © F
òï¬ úóüêµø¬ ýµ©¬«§óöö¬ èï©è¬«®¬«ù© öó óê êø èí ©°ò«¬è¬ô©©èï«ô©§©©§ôïùﮩêê°« «üòè謩󮰵«§«©µóö¬öóøè©ôôò¬¬ò§óóöêù¬ï¬èò¬ý©§¬§©ùù§¬© êü»«è«üò»µ¬¬§®§«ï ù
ˆ
˜ ‘ †  †„  Q … z — †„ Q R ‘  I k ‡ 
ˆ ˆ ’
”  y Q I ‡ g i I m ‡ — P ‘   I mI I ‚  ƒ„ ‡ k Q y Q  h ƒQ f ‡ ‡ ˜ …  º I „ H
Ü efd o df S q V„ R h W I P Y T sc p xH c V d q d sf T Hf V — R s P f U e c n
`g
V P q P T s T P Y f ˜ r c P T  Y f V T H e YQ d c f S q U I X T T s c S c Q P I e f d P I h
 r U V I d S  P T d Q q X I ƒ F Y f V T H e d c pq h c „ c H „ f H { F q e S I d r q V c U q s
„ c H c S — c ˜ Y pI kI H X  r o d Q I e Q I U X — I s o U f e T d H c V e T – f H W c c P c S c Q
z = •(x, y)
Q f n F k R s s c P c H c X k q V p Y T • e s q – Y f H I d I e c s YQ d c c P w
ã â 0 ' – Ï • ™ ãá ‘ Ï Î % ËÌ Ú
F r o d Q I s H Y Uq X I X — I t o U I h Y Q d r q „ o U I X c e T d f P c d f P V
T S f p f „ c R s o U f P c H d Q e s c s T S T H X — I d s I X  I P T p T { Fš Y T s c x f H d I
q U W q s c V f H Y T s c p f X U I W q ™ P f d I d  — I e f e c s f  c T s c H I V d c U V I pq
d c Y U V f d Q I p I d S d I V – š T d q X q P c t — f S d f H e T f s I X YQ d c Y s f H d Q
 I H X Q f H d c V ”™ F c pI H T H X V r T • f „ T P T d X I d c f V T e Q T R V T d c f S c P
 pI X P c T V d Q o U I V I pq Q T I s d cq H T „ T P T d X I P f Q I e o U I d c s e c V
 I U c ˜ F T T W I U I k T Q X V d T p T Q I e I h q UW T T • f „ T P T d X I e I S Y V H c ˜
g„nŽ ‚ ƒ
F oQ Td—IhI
P c x I P Q c s I W c S „ c h  P I d I f  YQ o d T p I W T H X
d c xI P I d S  P I d I c s o d f P q p R s x U I p R g
%%§!% %£q•
¤ % ’ # ¤ $ “• " “• ‘
™ Ÿ   Ÿ ž
…g
z<0
F ÛEF u F Q T HÚ T dQ f U h I — I s s f V I k T H d t f „ V I d S  I s Q Y f pq e d I
z = (y ’ x2 )(y ’ 2x2 ),
z
c pTV V VfQ T Xf„
 I e W c U o d Y s I X q s T S T H i F P q P T s T P o d c P T d c x I P c s f s I c Uq s
1<c<2 cx
2
V q P I d s I i F f s o U c d f • T H d I Û E F E F pÚ Y T • e s q –  c pW 
y= xy
r T V I U Q q k T ˜ r Y H I V d c U V I pq   k R V c U q s c s Y U p I e f s p „
x=0
z = y2
F PqP TsTP odYXI –  f U I hf Hf X – T T sc S cQ {
a=0
z = 2x4 a2 x2
F P q P T s T P c xI d – P c c P T T H i F I ds oQ c pˆ
F P I s c U S P T t H f d Q Y Q d c Y U c p c H X I c Uq s V T T • e s q – c T s c p c V I X q e
 o U I e Q I X  c T s c S f s „ c I s o U f P T s T P I s o U f e I U c Uq s V d c f P T s T H X
z = 2x4 ’ 3ax3 + a2 x2
y = ax
YT•esq – — I P YH X — I h r U f b
z = 2x4 ’ 3x2 y + y 2 .
ÛEF EF pÚ
rT•fqdTQ rqdQIH X Pc P o„I {
F — R s o Uc df • T H d I – dc V d I — R s o U T V f H i Fdc V d I — R s o Uc d T x
 I UI X dcf p  kf H c P T H X k R dQ I H X f s Yf s s fd T XQ I V  Y T • T q d s w
‡ c Uq s V P q P T s T P o d c P T c x
•(x, y)
Id Y T • e s q – c f S q U Q P I d s V T U f s f „ Y h „ F c e S I d — I V c Uq s
W ¯ ½¯ µ º p ´ ± »´ ® º ¶ º Ê ­ ¸ Ã Æ " Æ Û Æ ® º ¸
gg
z = •(x, y)
o d Q c T UQ Ž F k Rs sc Pc HcX kqV p T T•esq – eT –f HW efe
o d f V T H d f P Q Q f H I s xI P H I W o d Q I s k H c V I i F H c P T H X s T pI c ˜ Ž
F f H I V I W „ f H I W I s o U c pd I
Y U p f P c d Y f t o U I h I d t F T e S I U f X — I s h c t U I V P c U c d f p f U h I YQ U T V
 I s f d Q W c H c h — I W q H p f s — T ˜ q p c V  d Q I P U T pI k f s c x T U T o „ Y V Q
r q s V T d e q p I H X U f V R X q ˜ f s I d e  d Im F T U c p I P c R s p Y U W f s o Q T U f V
 R P q p T H X I e pc H c s P c U h I H X k T eQ c S T d f P c d f P Y T s c t c H Y U ƒ
F f d s c P q H d Q s T T pf H f  T Sf pf „ T pf H c s –
„ f H c ˜ c o d f V I h I H X I X d T I dQ  o Q I U T S q U I X c s T UQ c  q P I d s I i F Y T s
 c U t R P I W I e Q c S T H d c P I c W d s c P q H d Q s T — R s h I pq  T d f d Q e  I d t
F ce s T d H fe f s
e f e o Q I U T S q U I X R h I d S  e f d P c ˜ h I V  q b FFF o d f V T U V f pI H X P c p
 q h T P f H q s t e cc P T c U e T H X q e sc U X r q e h T W q kHc VQ P TQ I H hf s
 R H q s t P T X c H e f ˆ F E Y s V I H q P Y T s T U I X k T P c s Yd R V T f H q s t
k R s S c s I e Q c h f V p P c P o „ I { F o U c pI P r q e Q c S T „ T – o d c H d I P Q Q f H I s
 „ c U I X  T T • e s q – — I d s e T – f H W o d T V f dQ pc H X I s s c UQ R P R h I d ˜
F ec S I d k R V I U pcQ T s  V I P q P TQ ef P T s  V I P q P T s
T P Ts  ecSId k R so Uf PcHdQes kTWqH p kTefeT s dc s TT•e sq – q
P I d s T H i F — R s o U f h I UW c s s I I s  P q P T s T P — R s o U f e I U — R s s c V d Q
 s T pc d c c P T Y T • e s q – oQ c pˆ F ÛFFF F Q T HÚ d s f T H f V — I W q H p d I {
F F F F Q T H f s e f e f e s T d H f e YQ o d T S q U I X d c x I P
(x, y)
 o dQ Ie Q I U X f s o d f V I H T d e c I H X Q k T T UQ Ž F Y s V I H q I W I s s YI dQ µ, 2µ, 3µ
 I X T T s T U Y Q o d f S q U I X d q pq h k Y T s c S c Q { F c c U f p e f d T
z
k f e S I d V o Q I d r f e c Q c H c X c R H I d I e  T P Yd Q I e Q I U X T P R s o U f d
z = •(x, y)
sI„T HIW e T – f H W o d f „ c H P c f s T S f b F o Uq s P c x f e Q
•(x, y)
 c T s c S f s „ c I s o U f P T s T P c Uq s V d c f P T s T H X  Hc P T HXf s
 o d Q q i F Y s V I H q — T s T U k f s T P H c d V o d T U Q R P I s h I pq o Q c p ˆ
‡ kRs
 s c P c H c X k q V p T T • e s q – I o d f „ f eQ c I P f Q c x I d T U I s xI g
F P Rs
 o U f h I U W YQ d c f V R „ f e I T e Q c S T d f P I d V f P q P T s T P d I d s I d  R P q P T Q
 ef P c R s o Uf e I U d r q V dQ d qQ d I T P q P T s T P — R s o Uf e I U — R s sc V dQ
 s T p c YQ d c c P T I W I s s c P c H c X I W I s p I T T • e s q – — I s V R H c H X c s q T U Q Ž
” ” ” ã y ” • ã ' y ” – Ð à ” Î % ÞÌ Ú
™g
F R pI U X T I V Q d c f p I d s T
 k f X T • s T H X k R s s I T • f T H f V f s d T I d Q f e T „ T – YQ V T d S I X c x q I s
 c S f s T T U T e fm F T T • f „ T P T d X I c P H I – V o d T V f d Q R V  V q s H c V c H c X
 R h I U R h Y„ o Uc s I d S  c H T P V IW c S T s dc b Fq P I W q H p I X T o df „f eQ
R h I U R h I s xI g F q P c s t R V c Q { f UQ R P f „ q s T h q UW Y f V R Q T X T H X
 H c U — t U T H I V I W e f m F f P q P T s T P T U T f P q P T Q e f P o pq h T s  I W I e f e
U Q R P Q s c p T V U R h c s R h P c S V  I W c S T s d T p I kQ T I H X c s c H T P {
ÁÛ
Æ Æ®º ¸ mg
x
ã ” Î Ï – « ” â – Ï á Ï — ã y à ” ) 0 ã Ð Ï x $Ì Ú
F o d f H h q c s I s  s T t H c V d I o d T U f pd I
I s x I P I W Ž F f pq e c s o d f V c p I U p c ” F Y f s T Y T • f q d T Q Û T U P c ˆ Ú f H f t
T dQ I s kHc V I X f b F o dQ I s Sc s IeQ c h V sc ˜ fd q s „ Fdc s f Uf V c Hc i
F R s T t Hc V c V p P T S q XQ V P Yf H e I X f  e IQ IeQ T
 f s c c P T V f pI H X c Q I U I X — c s pc H Q { F q e s c U X P T c U e T H X P f H q s t
P R s o Uc U U f H f X P q V p ‡ F Û …F u F Q T HÚ H c P T H X d I { Fd c s T f p T  I s
 s f H d Q T s e f e  o Q c p„ d c V d I — R s o U T V f H i F s c Uc d f „ Yh I U f V c H c X
k f s T t H c V k q V p T H X I d S  T UQ R P e d c f V T e U f d pI X Y T • T q d s w
F T e S I d — I V I U pcQ Y U p Y s V I H q I W I s
 s YI dQ I X T T s T U R s c xf H h I „ T `F u F Q T H f b F Û I U pcQÚ Uf V c H c X – I s
 S R h I T P T s q p x c P  Û f P q P TQ e f P k R s o Uf e I U f V pÚ R s T t H c V c V p
pg
 T t H c V Q f H d c P T H c X I W I s o U f P T s T P e T s o U I W q c H d o d f Q T X V I pf s
e T s o U I W q c H d — R s o U I W q I H dQ I V  P T d Q q X I ƒ F Sf pf „ k T eQ c S T d f P c d
 f P I dQ T S T T T s c t c H V o d fW I P I X d c xI P T T W H c s s c T d Y s I i
ÊÛÆ Æ®º ¸
A
C G
D
E
B
kx = 2mg U (x) = 0
F YQ d c f S q U I X q „ f H Q „w
2
’ 2mgx + const. U (x) =
kx2
TTWHcss —I so Uf T•scdIX
r T • f „ T P T s T P f s YQ o d T xI U I X I W c Q V c ˜ I H i ‡ gF u F Q T H f s R s T x
 q H X c T s c x Yd f s I s V f H  H c P T H X f s q P c ˜ F c e T d fd Q V c x q d r fd
 I hf H I s V T d ec – – s T s I ce T sf kc P c x — I d { F c s V I H q P I s Hfd sc P
 c U s P I P f Q f s I s H I V d I pI U X T T • f „ T P T d X I — c p T c T s c p x q h I H i
F T xfds c T e IQ R V
c c U I h f s q e T s f k c P c T ˜ YQ I s „ I V  Y T s c U t R P T T H I W c d f e c R V I s
d r f e T s „ I V c d f d o Uq „ c H { F Y T s c x T V p Y T s c s V f H q c R s p I k Q T R h
T U R h k R H I d I e P c T s c t c H  T S f p f „ c R s s I T • f T H f V YQ d r f V R P q p
 T H X T  e I S f e Q — T e Q c S T W I U — R H I d I e c s YQ d c f t H c V I Q P c d f ˆ F F F f s
 I d o U T P f † P I d I X  f x s f H W f Š Y T s c s V f H Œ F R P H I – c R s h I pq c c U I h
V YQ d r q H T P H I – Q s f H d f s I d r o b R s I e f „ P I W f t f „ W f  F — T s f V
I „f H h I c H X k R s d s c Uf V T V es T d q X I X d c pT P f V T d I P P R s s I T •f
 T H f V e T e T s f k c P  P c x f e Q  – — c H p I d S  YQ d c x f e q U f S f s I i
ug
 T T • e s q – — I V c Uc • — I e d Q c x c T s f pf „ k Y T V I UQ q k T d s { F f s o U c d T „
 T U h T H X T f s S I d c s T s c X c d Q — I s T T U T — I d V f pW c Q V f S f p f „ Y f s
 p I kQ w F f U Q R P f „ I W I s s c V d Q h I Q s f e X f e V d c f p f X I X I e p c H c s o U c d
 f V I pc UQ Q T  P c T H c d T H e oQ Y f V f pf ˆ F XFd T T T H I d e c f H d  Y T s f Q T X
Q f H  fd q H t H f P f H I h R { F f H I h R V q P c U h I H X o df tc H I s sc UQ R PQ I
I d  e f e T d Q I P T pI kh I c s „ T d c f e c d Q T I H X f s I I d Q f S I s o U I V I ƒ F — I V
 I e f d YQ d c Y U V Y f pW c Q V c s T T • f „ T P T d X I V o d Q I s h c H d I X Y f P T p
 T V I d S  P I d V I Uc ƒ F T dQ I s sf P q pf s T T dQ I s sc V dQ Qq eQ T — I H I d
 I e c s I X o d T S T Ud I I e W c U I s S R h I k w F P f Q U f P q p T H X q W I j oQ Y Y U
 h I pI X q  e c V I U c S c R H I d I e  T T • f „ T P T d X I Sf pf „ o d Q c I W I s g
F R P IQ
 c V c c U I h R d f d o Uq „ c H T P f d I s  f d Q c P c t o U I h Y T s f Q T X I I W c I V Q
Y U p d r q h c H d T Sf pf „ c T eQ c S T P f s T p q k q p I X c R s S T W I U f s i
ABC
F sf T pc P Y T sc S cQ c Hc X
O O
— Ie S I d o d R h f s x UI p q P I ds I X  — Ie S I d Q o df pf X V IQ sc x UI p
f „ fW Y T sc U Vf p H d sc • T TQ c V I s Vf H V  R s I H I dQ — I W q H p ” F s c Uf P
SABC
TsTP – P c › h I  sc Uf P TQ e f P f „fW P c › h I T TQ c V I s V f H {
SABC
F PqqefV – T H d q s { F P I „ fW — R s s c s U I X f „  pq Q I Q — R s S T d
ABC
 c P H c W V P T d Q c P I X o U c pI P r Q V T  o d Q I e Q I U X P T X c H e f „
O
I s H T s H f t ce S I d { F T T W Hc ss — I s o Uf T • sc d I X Y T •f „ T P T s T P
T c T s f V I H T U c pI P c I e Q c S T „ T – d c f p o d Y X I c T s c t c H c I d Q I H i
F Û pF u F Q T HÚ f P c › h I I W c t o s c P T f s
q p T P f H T X f UW q I W I s s f H W k c H d d I f U e c Q d I R h Y f H I d I e  o d Q I e Q I U X
O
T d Q c V I H X I pf s q e S I d „ c H c ˜ F f Sf pf „ Yf s xI UQ c c U I h d I {
ABC DEG
F d I Q R V — T s f V I s Q I P c T s c s T p c I Q YQ d c f S q U I X
e T s o U I W q c H d Ü I s dQ c V „ T c T s c t c H c c T  f Sf pf „ YfW q H p c x q I d t
ABC
F c s I H I dQ — c ˜ r q V dQ d c V d I IQ f s o Uf s IW I d H I o d R h f s x UI p
D, E, G
c e S I d — I p x f e V Y T s c x Yd Q f H U T Q Y f ˜ r q V d Q — c pI s V f H
DEG
I d S  I s p T V c S I Y TQ c V I s V f H — T V I UQ q „ T f  f Hdc P THcX Pq P
 T s T P F cFd  Û aF hF pÚ P q P T s T P YQ d c fW T dQ I p T T Q c V I s V f H { F T e Q c S
 T d f P I d V f q Sf pf „ d c f t c H  c h c Q f P f Q Y f s s c U V f d Q I p c H X  o U c pI g
U = f (DE + EG + GD).
Û aF hF pÚ
f pW I d Y T W H c s s Y f s o U f T • s c d I i F Y T s c x Y d Q f H R s T S T U c V d I
f
d T Q T V f „ c s T I s V f H o d Q q X e I s T „ c H c T s c x Yd f b F T P f e s T „ c H P T s
DEG
 T pc I Q c R H I d I e    f • o U I e c T ˜ Y „ o U I e Q I s pI h I V Q P c s c pI
AB BC AC ABC
  f b F Û ™F u F Q T HÚ o U c pI P r q s S I U I V I H X P c f U
 c p ” F Û  ˜ ˆ – ¬  k  •  “Ú I W I s pI kQ T kf s I H I dQ f s T P T ˜ f xc U  T P f s
|™
F R s p Y UW f s e f d c s Y T d T V „ f H š I W c t S q U
 T f s™ R s f U X c T e Q c S T P I s I e s d I V f  f s p T V c S I  q W I h f V f U Q  Y T s
 c t c H I W I s Q q Q e q o d Q I X c U c b Fš R d c T p — I s o U f P T d X I c V d Q c S f e V f Q
 q Q e q H c pc V k q V p™ f X T d Y T s c t c H YQ d r f S q U I X c d f do Uq „ c H {
F T T • f „ T P T d X I P I d H I h f „ YQ d r f d Q I c ˜ h I I V  T U c p I P
T T s f Q T X I V o d T „ f H d I o Q I U f pq c s c R H I d I e  R H I d e f – c R s s c V d Q c ˜
 q Q d I H I h I f s w F Y T s c t I s d I I W Ie f e T s d r c P T c s I s S R h I c Sf pf „
— I s o Uf c H e c R H I d Ie  — c Ufd c p k T e Uc P k R s „f H fdc S q dcq hc H d I s
 T Uc • o d Q I s s c U c pc H X I d c f p — T H c d T H ‡ F I s S T W I Uc s  YH I V I W I e W Y P
ÜÛÆ Æ®º ¸
C
A
B
S
E™
F Q I s„ f H V dc pT f P c dQ TQ Yf V T S — I dQ q T – cc Vc U
o d q S  o d q ˜ F — T s c S f s „ k T e Q c S T d T H e T d Q I s d Q c H e I V YQ d c f V T V „ f H
f p W c Q V f e S f e Q I W I s s c V d Q c S f e d c x r Q I d S  q P I d I X I d s I s š k Y T s
 c ˜ q P „ I V k R U f P™ I d Y H I V I W I s S R h „ F V I H d c P f H f X T T s c ˜ q P „ I V
T H X R P c d Q TQ Y T s c pc V I X Y T s c s c P „ T I W I s s c V dQ c Sf e  ‡ ‡ ˜  … ˆ’ º ‡ f
H c P T H X I d t F I W c s k H c V I U I e I YQ o d f h c U I e d c f s T S f s T – Y T Q c V
 I s V f H c T s c x I U I X c c s x T s d c f Q I H j Fš f P q Q d T p I k Q W q H p V™ e T s
 d Y f P – f Q c V pI X T e S I d T T • f H h T V R d I d Q f S T T s c S T U c V q T H i
mg
w vu
F f s pI P c S  c t o s c P
d r f p x c h q s T S T H X o d YQ c ƒ
¤ • ’ £” !£!¦
% % % §!¦ ’ š % Þ
Ý Ÿ   Ÿ ž
a™
»1 »2
o d c P T d c pq h c T s c s V f H q c I e Q c S T h q e  k f H d c P f H f X k R s S T U
 „ f H T H i F ‡ … ˆQ f„ ‘ ºQ ˆ† „  †  …  — I P c f V R „ f s e f d  c T s c s V f H q I d t
dx
= x3 + »2 x + »1 = 0.
d•»
P c T V I U Q q YQ d c Y U c p c H X I
2
4
•» (x) =
x + »2 x2 + »1 x
Û aF EF uÚ 14 1
x
TT•esq – IX P q P TsT P  Pc xfe”
F – I H d Q f d f e Y T H I c d YQ d c f P T s f „ k R H I d I e P c T s c S q „ T  f X T d I W I V I s
T T • f q d TQ d r f e T s „ I V V I H d c P f H f X f UQ T S I W c t o U I h c f S q UQ {

<<

. 10
( 23 .)



>>