<<

. 12
( 23 .)



>>

‡ ƒ ‡­ h † „ Q  k I  Q … „ I f – † j• Q P j mI – I Q  k I  Q …  “ j ‡  I  I
Ü I s p I W q I d S o d R h d c x I P I d t Fš f e S I X P f U Y f s o U f s W T Q ™ o d f W T P
µ
d c f s T Sf s W q H pV T T s c s c P „ T T H i F f P c d Q TQ Yf s o Uf c H Yh cQ T d Q c V
¯ à ¯ ½± ¯ Ç ® ¶ ´¿ ­ ¸­ Ç Æ †Æ å " Æ ® º ¸
mg
mg
x
u™
£ ó ® ö¬è © ó ®«© ö óè ó ê® © ¡ô óö
 ¢ ¬ è « » ¬ § ê » è ® » ê è « è  ï ô ¡ ø ê © ö « ó © ¡ ê ¬ è ¬ ® í º » ­ ½ ¿ ¯ ® º » º ¶ ® Ã ´ ® ¸´ » ° « è  ï ô ¡ ¨
á4
 ï § 8 6£ 6£ ï ù ó ô ó ó C ® § »  ï í ï « ê ¬ c ï ò ò © µ ® ï ® § © è « © ô ¨ ó è ï è ü µ» ¨ © ê è ¬ è  
f (0) = 0
£ ¬ è ö í ó ó ô ¬ µ«» ó ê ø í ¬ § ö© § ¬®
á4 f = z1 + . . . + zk ’ zk+1 . . . ’ zn ,
2
2
2
2
8 6£ 6£
ù ó ô è © © ò ó ° µ» §
f
ó諬 §è« ó
f (x1 , . . . , xn )
í ó©óêC®®¬§ô»  »©ó¡®êö¬¬è謮¢ ¬ô®«í ©¡öèóïè§óóêù®ê ¬¢¬¬®§ §©©¡ù§¢¬©ê§¡µô©© §§ ©èïö»»ôµè««ò© © »ý« ¬ï2ù¥©« ô
£ © öï § ó ó µ ó ® ï è ó ® ö ¬ è ¢ ¬® « © ö ó è
 ®
f1
 ¨
©óµêô®ï ýêó© èê®Fï ê£ ï © ©ü§è©°µ§ö©¬ò¥ ¬è§©ò¬òò¬ ôïꮩùø°¬ê ¬üøèﬨ¥ï¬®®«¬«°¡üôµ©©©§µ¬¬¥ý¬ §ô ¬ý§¬ ©ùµ¬ öø ¬»¥ò©©ö§ó ¤ © ó §
f [x(u, v), y(u, v)] = u2 ’ v2 .
uv
° µ» § ó è « ¬ § è « © ê ® ¬ ô ¬ è ö í © ó ® ï è í ¡ è ï § ó ù ê ¬ ¬ ® © ¡ § ¢ © § ó µ © § è  » ô è «
•(x, y)
B
í¬©¥©»ü«è©¬ê§èü©µ©©§è©ïò¨ °©ý§¬ ïò®©ùö°óêê¬F ô£»¬®§ö© µ¬ èö « °»«®è«©©ïö§óóèöóïꧮ  »ô ¬ µ ùï©ê«¬ µè¢©© ò óù °© ê ®©ïùè¥
ø
f (x, y) = x2 ’ y 2 + •(x, y),
ý
í ó ò ï ô ¬ µ« ó ò ó ¥ » ê ˆ £ © ú ¡ ô ó ï ® ù °ê ¬ ø ¬¥© ü è© ê è ô ¬ §© µö ò © ó §°©óµCô®ï§ý»¬ù §°©ïú»êµ
ï § ü è ¡ ý è © ¬ ò © § ó ® ö ¬ è ¢ ¬® « © ö ó è ó ê ® ê © è ® ï ê ï © ¢ ¬ ô ¬ µ ù© « ó í ¬ µ ù © « è © ° µ
f2
 © ù © ê ø ¬ ° ó C ® § » ’ £ ï C ó § ¨ ï ê ° ï § ü µ ï ó ø ó C § ó ê ø °« è © © ò ó ó ò ó § » ù  © c
x = ’y x=y
x=y
ó ê ø ®ï® A ¢ ¬ ê ¬ è ô í ó ê ø ü µ» § ô °« è©ï ï ê£ý ¬ ¢ ¡ ô êó© êFø £ó¡ §®©ïùè í ¬ ê ¡ ô
f2 (x, y) = x2 ’ y 2
f1 (x, y) = x2 ’ 2xy + y 2 ,
ï §© µö¬¥¬ § ò ï ý E T x 0  (  2 3 w 3 ) 0 x 0  @ €( ‘ 0 ' &
|p
f (x) = c1 •1 (x) + . . . + cn •n (x) + . . .
f p YH I W I s
ei xi
 o U f s I T • e s q – Œ F R H I d e c V c R s Q T „ f h –  R d f s T p H I I e – c pW
x = x1 e1 + . . . + xn en ,
P c f S q U Q P R s H c P I s S c s I e Q Y T W I U f s f f UW c U q V I s Q I {
F — T • e s q – c pI H T H X — I s H c P
 I s S c s I eQ c h I T UQ R P e V I e T d f P c d f P I Uc V T H X I H d Q R h I s o U I V I p
k=1
k
x ∈ (’π, π), , x=2
(’1)k+1
sin kx

TUT
5!
3!
1!
’ ...
+
’ sin x =
x x5
x3
f X T d R p YH c R s S c s Ie Q c h V — T • e s q – c T s c xI U„ f n
n„j F b
F F F Uq P H I – I W I s P d c t
 T X s I  R P c U h I H X d c f P T s I X c s e c V I Uc S T UQ Ž
s £” • $ t# $ •¦” # ¥
" " ¤ ’ • ’ q $ % “• # ê ©
è ¡ Ÿ   Ÿ ž
Ep
{ F — T s c s V f H q T d Q I P T t c H „ f H I V I d f d o Uq „ c H Y U p — I V I s Q I d T x
 q U Q I d S  q e S I d V c h c Q I X o d q s Yd Q — c T • f P H I – c p — I s V R H c H X c s I s
Rn
 xI P „ I V c s q H c – Q { F c T S T Ud I c I s o U f T X T • s T H X I s pI c ˜ Ž
yn (x) = x + sin2 nπx.
YUp
Jn ’ 0 J >0
I s  q e o UIeQ I X  Y T s c t c H d cc P T c s q e I d I X q P I V I„
fW P c T s c UV T d I H X IQ P T t o s c P Tf s Q Y T s c ˜ f H V f Uc d f eQ T I X Y U p
0
1 + (y )2
y(1) = 1 y(0) = 0, , J=
xdx
1
f Uf s I T •
 e s q – T T • f „ T P T s T P f s I d r o b f Sf pf „ Y f s s I T • f T H f V  H c P T H X f b
F o U I h Y f s V I U I W Yf s „ c o H c Q I d s – k f Sf pf „ k R s H c P I s S c s I e Q c h
{ F Y T s c t c H Y T s f V I V d Q c ˜ q Q q P c U h I H X V YQ d c f H T X q c s f pW I e T s
x∈X
max f (x)
Rn
Y T s c Uc pc H X I f Sf pf „ V q P I d s I X I s s c P w F T T • f „
 T P T d X I Y U p I V dQ — I VQ c I s xf V o sc S I I d t F f P q P T s T P T f P q P TQ
X
Rn
 ef P IW c I VQ dcfW T dQ I p V T dQ f U h I — I d q s e P f „ — I s sc S T sf HW I
f s Y T • e s q – Yf s V R H c H X c b F P c ˜ r q pc UQ V f U R h YH c d I X Yf s V f U†
’ – á Î à ¬ ËÌ «Ë
F T P YH c d I X
T P R s o U c d T S f s „ I Q s c x Y H X I Q U R h š o d Q I s S c s I e Q c h V W f t™ — R s
R3 ’ Rn (n > 3)
 o Uf s I T • e s q –  f pI k c H c X d I c T S T Ud I {
F — T • e s q – T P f V d Q c x I s P Q k Y T • Y Uq X T s f P T H X Y Q o d Y s c P T H X
I s V T d e c – – s T UfdQ Y T d Y s I X c T efd – RQq s Ie  R H f t  T dQ IeQ I U i
F Y T s c U t R P o U T dQ — T e Q c S T H d c P I c W s c pc V V U R h — T • e s q – Y T s c S
 q „ T pI k T h I V c Sf s T T U T e f d I b F q e T H d c P f  Q T „ f h c s  H c P T H X f s
 Y f V f pf „  f • s I e I W I W q H p Q P c Q V IQ I s xI P o d f s T Sf s I d S  oQ I U T s
 Q Y R V  YQ d T p I V e f e  c Q Q c • I H X { F f „ T U f s f I W I s o U f s I T • e s q – r T s
 f p„ IQ e I U c V T H X c W I d T P I s S c s Ie V c T s c x f H h I I Q c I s V T f b
F RHIdecV c RsQ T„fh f„ –
•i (x) ci
T T • e s q – f  R d f s T pH I I e f „ o d Y s T H X I s xI P R s T S T Uc V
ap
2
f1 (x) f2 (x)
0, 1
c RVf HX f  f s P Ie T – f HW Q d cf pf X V IQ e T – f H †
f2 (x) f1 (x)
F T T • e s q – V YQ d r q H T P H I – c p c Q V c W f t P I H I d V f b „
F a I p E dI TT scsc P„T THX
„ 
 f (1)
x ∈ 1,1

YUp 
h(„, x) =
„ 

 f („ x)
x ∈ 0, 1

YUp ±
T T • f P H I – c p r o ˜ I P I X Q ®E F E E
F Q T H f s r T • e s q – V d T p I k c H c X fE F E E F Q T H f s Y T • e s q – P I d s T H X
2 
 f (1)
x ∈ 1, 1 ,

YUp 
f1 (x) =
2 

 f (2x)
x ∈ 0, 1

YUp ± f (x)
V
P c q H T P H I – c p – P I V H c X f b F fW f t T H d V P c pc V I H X r T • f P H I – c ƒ
x∈[0,1]
max |f (x)| = 1.
² ¸¯ Ê® W ´ ± ¸¯ »´ ± „ ¯ ±´ ¶®¯ … °º É ­ » ¸´ ʯ í Æ "Æ " " Æ ® º ¸
b) a)
1
1 O
O
x
x
f(x)
f1(x)
y
y
f (x)
IdS  kTefd —T •esq – k Rs
C[0, 1]
 V R H c H X c s „ T r q ˜ YI d Q IQ  V qHc –Q  Hc P THXf s  P THdI PQ
Q f n F s c xI P „ I V Q q e I – — I e fd c V d Q s f H dQ I H X P I s H c P I s S c s I e Q c h
hp
T dQ I s o U c d f V I pc UQ I X c R s o Uf s I T • f H I s o Uc d T S r U e Q T o d f V T H d f P Q
 Q f H c x f p T UQ Ž F q W I H I p r q s t I U X Q f s f U T pI kI X Y f P Y H X R h I d S
 I s s c V d Q c ˜ q Q I W c S Y U p  f U c p c H X T T d Y s I X f s YQ d c q H T „ f h „ T U
 f s f o Q c V I d S  o d f „ f eQ I s xI P  r T • f q d T Q Yf ˜ I H X q I e o U I eQ c b
sin x
F X Fd T  e f e  — T • e s q – k T e fd c T s f V
 I„ o UI XQ T  c T s f V I H T H Wc d s T  c T sf V I H T • sc Hc – – T p dcf V T S c XQ c h I
I d S  P f pI k c H c X P R s o U c pc H X T d Q I s s I e f „ c T s f p T H X I d s – c s V I H q
P I e I h q UW P I P f Q f b F R d s c P q H d Q s T c T e Q c S T d f P c d f P c T W I s P T P
 R s h I Q I X Q I d I h f H d r f U c p T s I I d S  P I d V o U I H Y f s V f UW k w F — T s c U
 Q T S R V Y U p c s c Q V I V R P T pI kh I c s f U Q T S c R s o U c d T V d Q — c p I b
F f e T d ef H X Yf s S R h I
d I V – — I d Y X f „ c UQ I X V I e f s „ I e o U I eQ c b F — T s c UQ T S R V T dQ I s S I d
— I s S c s Ie Q c h V R p x q s d c s q e o U I eQ I X  oQ T d — I h I I s xI P U cQ T S
k R s o U f s I T • f H H T „ c h I d S  YQ d c x f e p Y U W „ V — R V H c X f s I e o U I d
I d t F q e T d f P c d f P d r Y U V T xI T d r f xf H h I c H X T s I I s  c V dQ c S T U Ie
P Iefd V R s x q s c s q P Ie T s c h cQ I X T P fQ c R H I d Ie  UcQ T S k R s o Uc d
 T V d Q — c p T U I H f s h I pI X V d Q s f H d Q I H X k R s o U f s I T • e s q – o U I n
F • c H I V p s c I H d Q I X I d S  YQ d c Y s Q Y R V I s s f p T x I c b F e I S f e Q — R s s I
 T • r U I V s d c f e T s „ I V T  YQ d r f V T U X f e f s f V d Q c ˜ q P T c H X q U f P I X
 I Uf P I b F V IQ r U X P c S  V IQ q s T P c t o UI h c„ I – H I P fdc P — I d s V
I d S  YQ d c x f e Y P c H V c I V H c i F Y T s c H „ P I U W q P R s T I e o U I e Q c s p I X
I d S c V „ f H  kf Sf pf „ k T s xc H X I d c p T o S c H  q e o U I eQ I X  R s d c P
 f „ c s P c Q V I Q f p Y UW „ V I W I s d Q I s kH c V I X Y U p s T U X T • Q T p k R s S qf s
T T d T V „ f H V R d s c P I P c R s d I H I V I X f d H I Q I W I e fm F T T s c U V f H X f s
P I V I s V q„ T Uf s f e I S U I d I Uf p T R d s c • e f I U T dQ c P Q f V dQ s f H dQ
 I H X IW I s o Uf s I T • e s q – Y T d Y s I X sf U X — T s pc Hc X f s c T sc x T V p R {
y ” • ã ) ã – ’ ) ² • ã ) Ï ” ” â ) ' ï ÞÌ « Ë
» ∈ [0, 1]. H(x, ») = »f0 (x) + (1 ’ ») f2 (x),
o d T x q UQ dc x
f0 (1) = 1 f0 (x)
I P —cT•f P HI –c ƒ F T UQ c  q e S I d r q h r U V c Hc –Q
f2 (x)
I X YQ d r f V T W YdQ T T • e s q – c Q V Û W f t — T s pc UQ I XÚ o H c X cm f2 (1) = 1
F Û ®EF E E F Q T H f s H T d e s q X — R s s I U e f sÚ
R h I d S  e f d š f e U I d I X™ I W c s k H c V I p Y Q d r f P T s p I X I s V f U X R • s I e
`p
F cIWqH p cIWI s P T
qeT„ T – rqeQcSTdf Pcdf P  YTsc UVf HXq rTHIcd  YTscsVf Hq c Rs
 o Uf T • s c H c – – T p T c R s o U f H W c d s T o d T V f h I p I s xI P q e Q T X Q ‡
F oQf UT„f H
 h I c H X P I e T U c • Y T H I cm F F F o d f V T H d f P Q Q f H k f V d Q s f H d Q I H X k T e f e
V  T Sf pf „ c T e fd o d T V f d Q I s o U T V f H X I s x q s e f e  I W I d c T s f P T s
 I X Uf p „ T Uf sf — R s o Uf s I T • e s q ƒ F Y T sc U t R P f e dcQ Yf s d f s T p
 H I I e T d s c P q H d Q s T U f V I V d Q d q Q d I – r T s c S q „ T o Q f U f V f p pI X c s
YTsc tcH YT sfVIVdQc ˜qQ f Pc UhIH i F —T •esq – š k Rso UcdTH„I p
 I X™ f e Q T I X R p I d c P c R s V T f s T U T H f • T d Q f U h I — I d s V p f „ f s d c U
e I H I Q o pq h T s  k T e f ‡ F H c P T H X f s  c T s c U Q T S Q T c I s s I T • f T H f {
F R s T U X T •Q T p c R s S qf s c R s X q H e –
š V I d s c T • f X™ T p c H ” F c H T t I e o U I e Q c s k f P „ f H d q m F S f p f „ k q V p
T T s c t c H V q d s c T H q d T h f q P I s pI o ˜ I P I X d T I d Q T P f H I V I W „ f H T P
 T ˜ h I f „ f p W I s T I d S q P I d I X š T d Q I s o U c d T H I V d I W f U h™ k f h f d t
 Q f P I o d f „ f e Q I p f s  I s S c s I ‡ F f d Q c P T I V Q f s YQ d T V I s f d Q c Q V
T  q Sf pf „ o d f V T H d f P Q Q f H I pf s P I H I d I e V  I V d Q s f H dQ I H X d c f V R „
 f e q „ T U f s f — R s o Uf s I T • e s q ƒ F f s c U V fd Q I X I s o U T V f H X c s f Sf pf „
I d S  P I d V YQ d c f S r U e f „  I U T V f H X e f e  f p c j F c c U f p e f d T  I s Q Y c s
– c T s c t c H T U d c q V d Q c ˜ q ” F I kI U X s I V e q H „ T cQ V  P T xI U I X
 pc H i F T T s c s V f H q P I s o U f T • s c H c – – T p I d c p T o S c H  P T dQ q X I ƒ
F q d I H T t q d s f s I s s c P T YQ d c f H T X I T ˜ I P I X Y T s f „ f e I — T H f s c • Q
— R s d H f p s f dQ q e o U I eQ I X  o U I H r q s o Uc d T xI U I X d c f H W T c f S q UQ
P I s s f p V f d s c P T d H I Q Q f f d I H T t I e f s p „ F T U H q S Q c H c S c s  YQ d c
 f P q p T  YQ d r f W c h „ f H f „ f U W I d S  I e o U I d Q V d Q s f H d Q I H X k R s o U f s
 I T • e s q – – c d f d o Uq „ c H { F R Q q s T P T R Q r U X T I V Q I W I p x f e Œ
F V I d s f T H f V T s d IQ d r f e T s „ I { F k Y T s c U V f H X f s k R s „ f H V I s xI P
— T • e s q – Y U p c U I X c I V I H W T o d Y H T t Q f H I d S  YQ d c Y s Q Y R { F — I W q H p
I s o U f e T p f H YQ d c f V R „ f e I Y T • f q d T Q I d S q P I d I X  d r f „ c S Q T I H
 d Q R h oQ c p„ c T V d Q c t c d q X c I e W c U f s R p xc pf b F — c dQ I s o U c d f V I pc UQ
 I X k R s o U f s I T • e s q – V I U c pc H X c T s c S q „ T – W f t — T ˜ r q pc U ”
F P I H p f e f „ o Q T U f d Q I R pI k c H c X c R s o U c p c H X E c V f UW { F o d Q I e Q I U X
r q s Q e c U X P Ie d c f p  f p YH I W I s o U f H q d f s Q c I d f Sf s  Y U I X I W I V I H
 W T c T s c H T t Q f H I d  f pI k c H c X I W I s o U c p c H X T — T • f H c X I k T e Q c S T d
 c P – T H f o d Q I P T s U I X R V o d f V I h c H d I X T U Q c  P I „ f H h I P T e fm
F P f Uf X t I X UfW R H X c s „ I V I Hf X
R h I d S  — c h I H p I V d Q c xI s P o d f d f U f „ I s x f V c f S q UQ P I d s V T I d
2
2
+ ... + n, an =
1
1
fXTd
…p
δ
 f s I T • e s q – o Q f U f „ f e I P I d s T H X Y T • e s q –   T d Q I s d Q f S { Fš — T •
D
 e s q – k T t I H I k™ c V dQ s f H d Q I H X P I s s f pf „ P I H I d I e c s f s R U
 f s I T • e s q – c R s — c s T U e f e  R s c Uc pc H X I T U R h T T • e s q – c R s s c ˜
h I h „ F V dQ s f H dQ I H X k R s o Uf s I T • e s q – T T H Ic d — T • T„ I X Q — R s sc V dQ
 c d Q c I s  — R s d H f p s f d Q c s s c p — f s U R h Y T s c xI U I X „ T pI k R {
F r T s c U c pc H X I q P I s P q „ f H T eQ c S T d
 f P c d f P o Q f U f V f p pI X c s e f e T s I s  f e T s S I d Q T I W I s S c S I d T d Q I s
δ

<<

. 12
( 23 .)



>>