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. 112
( 136 .)



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that are useful in transforming derivatives. The ¬rst is for general f (x); the later tables are
for a variety of important special mappings. For example, the ODE

(E.2)
a2 (y) uyy + a1 (y) uy + a0 (y) u = g(y)

becomes
f1 (x) uxx ’ f2 (x) ux ux
(E.3)
a2 (f [x]) + a1 (f [x]) + a0 (f [x]) = g(f [x])
3
f1 (x) f1 (x)

where, in a notation used throughout the tables,

dn f
fn (x) ≡ (E.4)
dxn




Transformation of Orthogonality Integral
f (π)
π
φm (y) φn (y)
cos(mx) cos(nx) dx ≡ (E.5)
dy;
f1 (f ’1 [y])
0 f (0)




550
551


Table E.1: Transformation of derivatives under a general mapping y = f (x).
1
{bn,n un,x + bn,n’1 un’1,x + · · · }
un,y = 2n+1
f1
where fn is the n-th derivative of the map f (x); the bn,k are below.

1
uy = ux
f1 (x)


1
{f1 uxx ’ f2 ux }
uyy =
f1 (x)3



—1/f1
5
uyyy

ux uxx uxxx

’f3 f1 + 3 f2 ’3 f2 f1
2 2
f1



—1/f1
7
uyyyy

ux uxx uxxx uxxxx

’f4 f1 + 10 f3 f2 f1 ’ 15 f2 ’4 f3 f1 + 15 f2 f1 ’6 f2 f1
2 3 2 2 2 3
f1



—1/f1
9
uyyyyy

ux uxx uxxx uxxxx uxxxxx

’f5 f1 + 15 f4 f2 f1 ’5 f4 f1 ’10 f3 f1 ’10 f2 f1
3 2 3 3 3 4
f1
+10 f3 f1 ’ 105 f3 f2 f1
22 2 2 22
+60 f3 f2 f1 +45 f2 f1
’105 f2 f1
4 3
+105 f2
APPENDIX E. CHANGE-OF-COORDINATE DERIVATIVE TRANSFORMATIONS
552


Table E.1: Transformation of derivatives under a general mapping y = f (x) [CONTIN-
UED]


—1/f1
11
uyyyyyy

ux uxx uxxx uxxxx uxxxxx

’840 f3 f2 f1 ’15 f2 f1
3 22 3 23 4
+1260 f3 f2 f1 +210 f3 f2 f1 +105 f2 f1
’280 f3 f2 f1 ’420 f2 f1 ’20 f3 f1
2 2 4 32 4
+945 f2 f1
’210 f4 f2 f1 ’15 f4 f1
22 23 4
+70 f3 f1
3 3
+35 f4 f3 f1 +105 f4 f2 f1
’6 f5 f1
3 4
+21 f5 f2 f1
’945 f2 ’ f6 f1
5 4




uxxxxxx
5
f1




Table of Tables
Table # y-Interval Mapping

E.1: [General Map]
y = f (x)
Tn (y) ” cos(nx)
E.2: [’1, 1] y = cos(x)
cos(ny) ” Tn (x)
E.3: y = arccos(x)
[’∞, ∞] T Bn (y) ” cos(nx)
E.4: y = L cot(x)

[’∞, ∞] y = Lx/ 1 ’ x2 T Bn (y) ” Tn (x)
E.5:
[0, ∞] T Ln (y) ” cos(nx)
y = L cot2 (x/2)
E.6:
[0, ∞] y = L(1 + x)/(1 ’ x) T Ln (y) ” Tn (x)
E.7:
[’∞, ∞]
E.8: y = arctanh(x)
E.9: [General Two-Dimensional Map]
x = f (r), y = g(s)
553




Table E.2: Transformations of derivatives for the mapping y = cos(x) which converts a
Chebyshev series in Tn (y) into a Fourier cosine series in cos(nx).


1
uy = ’ ux
sin(x)


1
{sin(x) uxx ’ cos(x) ux }
uyy = 3
sin (x)



—1/ sin5 (x)
uyyy

ux uxx uxxx

’ sin2 ’3 cos2 ’ sin2
+3 cos sin



—1/ sin7 (x)
uyyyy

ux uxx uxxx uxxxx

’15 cos3 ’9 cos sin2 ’6 cos sin2
+4 sin3 +15 cos2 sin sin3



—1/ sin9 (x)
uyyyyy

ux uxx uxxx uxxxx uxxxxx

’9 sin4 ’105 cos4 ’10 sin4 ’ sin4
+10 cos sin3
+105 cos3 sin
’90 cos2 sin2 ’45 cos2 sin2
+55 cos sin3



—1/ sin11 (x)
uyyyyyy

ux uxx uxxx uxxxx uxxxxx

’225 cos sin4 ’420 cos3 sin2 105 cos2 sin3 ’15 cos sin4
+64 sin5
’1050 cos3 sin2 +735 cos2 sin3 ’195 cos sin4 +20 sin5 uxxxxxx
’945 cos sin5
5 4
+945 cos sin
APPENDIX E. CHANGE-OF-COORDINATE DERIVATIVE TRANSFORMATIONS
554




Table E.3: Transformations of derivatives for the mapping y = arccos(x) , which converts a
Fourier cosine series in y into a Chebyshev series in x. (This is the inverse of the mapping
of Table E.2.) To simplify the tables, we used the auxiliary parameter: Q(x) ≡ 1 ’ x2

uy = ’ Q ux


uyy = Q uxx ’ x ux


Q {’Q uxxx + 3 x uxx + ux }
uyyy =


uyyyy = Q2 uxxxx ’ 6 Q x uxxx + (3 ’ 7 Q) uxx + x ux


Q ’Q2 uxxxxx + 10 Q x uxxxx + (25 Q ’ 15) uxxx ’ 15 x uxx ’ ux
uyyyyy =


uyyyyyy = Q3 uxxxxxx ’ 15 x Q2 uxxxxx + (45 Q ’ 65 Q2 ) uxxxx
+(90 x Q ’ 15 x) uxxx + (31 Q ’ 15) uxx ’ x ux
555




Table E.4: Transformations of derivatives for the mapping y = L cot(x) which converts a
rational-Chebyshev series in T Bn (y) into a Fourier cosine series in cos(nx), y ∈ [’∞, ∞]
and x ∈ [0, π]. L is a constant, the “map parameter”.


sin2 (x)
uy = ’ ux
L


sin3 (x)

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