<< Предыдущая

стр. 10
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Исследование подсистем I и II может быть проведено тем же способом, что и
исследование системы (1.8) п.1, и при M3 ? 0 и M4 ? 0 соответствующие этим
2 2

подсистемам особые точки s и t — вещественны.
Особые точки, соответствующие подсистеме III, лежат на поверхности, уравне-
ние которой можно записать в виде равенства нулю следующего определителя

d11 d12
= As2 + 2Bst + Ct2 + 2Ds + 2Et + F = 0,
d21 d22
где

d11 = ??2 t + m2 ? ?1 M3 ,
2


??1 s ? ?2 t + m2 ? ?1 M3 2
?
d12 =
2
(1 ? ?1 ? ?2 ){??2 t + m2 ? ?1 M3 } ? ?1 s ? ?2 t + m2 ? ?1 M3
2 2
? ? ?1 s + m2 ?
2
2 ?1 (1 ? ?1 ? ?2 ) ? (1 ? 2?1 ? 2?2 )m ? ?1 ?2 M1 + ?2 (1 ? ?1 ? ?2 )M2
2 2 2
??2 M2 ,
2
(1 ? ?1 ? ?2 ){??2 t + m2 ? ?1 M3 }2
d21 = ? ,
2
?1 (1 ? ?1 ? ?2 )s ? (1 ? 2?1 ? 2?2 )m2 ? ?1 ?2 M1 + ?2 (1 ? ?1 ? ?2 )M2
2 2
?
d22 =
2
?(1 ? ?1 ? ?2 )[?1 ?2 M1 ? (?1 + ?2 )m2 ].
2
Аналитические свойства амплитуды рассеяния 45

Следует отметить, что это уравнение получено при следующих ограничениях на
массы частиц: m6 = m3 , M4 = 0. В плоскости вещественных значений переменных
s и t оно представляет гиперболу.
Исследование этого уравнения, которое проводится так же, как и исследование
системы (1.11) в п.1, показывает, что особые точки функции F 6 (s, t) являются
вещественными.
Следовательно, анализ системы уравнений показывает, что комплексные значе-
ния переменных s и t являются регулярными точками вклада в амплитуду рассея-
ния от диаграммы шестого порядка при m6 = m3 , M3 ? 0 и M4 = 0. По-видимому,
2 2

исключение оставшихся параметров ?1 , ?2 и ?4 позволило снять эти ограничения
на массы частиц. Однако этот вопрос в статье не рассмотрен, так как исследова-
ние спектральных кривых (являющихся в этом случае кривыми порядка выше 4)
осуществить затруднительно.
Отметим в заключение, что полученные для диаграммы шестого порядка ре-
зультаты без труда переносятся на произвольную диаграмму лестничного типа
с тем только лишь отличием, что необходимо исключать из уравнений большее
число параметров ? для доказательства соответствующих аналитических свойств
фейнмановских амплитуд. Возникающие при этом ограничения на массы частиц
(равенство внутренних масс и M3 ? 0, M4 = 0), по-видимому, могут быть сня-
2 2

ты путем исключения оставшихся неисключенными параметров ?, что приведет к
спектральным кривым высокого порядка. Мы надеемся осуществить исследование
этого случая в следующей работе.

1. Мandelstam S., Phys. Rev., 1958, 112, 1344.
2. Tодоров И.Т., Дисперсионные соотношения и спектральные представления в теории возмуще-
ний, препринт ОИЯИ, Р–1205, 1963.
3. Коломыцев В.И., Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физ.-мат.
наук, Изд-во АН УССР, Киев, 1963.
4. Tarski J., J. Math. Phys., 1960, 1, 154.
5. Сhisholm R., Proc. Cambridge Phil. Soc., 1952, 48, 300.
6. Wu T., Phys. Rev., 1961, 123, 1567.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 46–50.
Об аналитических свойствах некоторых
вершинных амплитуд в теории возмущений
В.И. ФУЩИЧ

1. Исходя из аксиом теории поля, Ямамота [1] показал, что вершинная амплитуда
как функция квадратов внешних импульсов p2 ? s и p2 ? t не имеет комплексных
?
?
1 3
?
особенностей (Im s = 0, Im t = 0), если квадрат третьего внешнего импульса
?
отрицателен (p2 ? u < 0). Более того, им доказано представление Мандельстама
2
?
относительно этих переменных для p2 < 0.
2
Представляет интерес исследование аналитических свойств вершинных ампли-
туд Фейнмана, поскольку знание аналитических свойств этих амплитуд, как будет
видно ниже, позволяет изучить аналитическую структуру амплитуд рассеяния и
рождения в произвольном порядке теории возмущений для определенного клас-
са диаграмм. К настоящему времени детально изучены особенности диаграммы
рис. 1 [2, 3].
Отметим, что уже амплитуда такой, сравнительно простой диаграммы не имеет
представления Мандельстама, когда u > 0? .
?
В разделе 2 и 3 показано, что амплитуды, соответствующие диаграммам рис. 2
?
и 3, не имеют комплексных особенностей относительно переменных s и t при
?
определенных ограничениях на массы виртуальных частиц и квадрат импульса p2 .
2
В четвертом разделе показано, как с помощью интегрального представления
для вершинной амплитуды (например, представления Мандельстама) можно ис-
следовать аналитические свойства амплитуд, соответствующих диаграммам типа
рис. 4, описывающих процессы рассеяния частиц.




2. Особенности амплитуды Фейнмана диаграммы рис. 2 находятся на поверх-
ности Ландау [4]
?3 = (1 ? 2? 2 ) ?1 ?2 ? (1 ? ?1 )(1 ? ?2 ) +
2 2

(1)
1? 1? 1?
2 2
?2
+2? ?1 ?1 + ?2 ?2 ,
где
s = m2 + m2 ? 2mm1 ?1 , u = m2 + m2 ? 2mm1 ?2 ,
? ?
1 1
t = 3m2 + 2m2 (?34 + ?45 ? ?3 ), ?34 = (1 ? ? 2 )(1 ? ?1 ) ? ??1 ,
? 2
1 1
m1
?45 = (1 ? ? 2 )(1 ? ?2 ) ? ??2 ,
2 ?= .
2m
Укр. мат. журнал, 1965, 17, № 3, С. 137–141.
? При определенных условиях на массы виртуальных частиц.
Об аналитических свойствах некоторых вершинных амплитуд 47




Рассмотрим случай, когда ? = 1, и, кроме того, ради простоты, положим u =
?
2
5m . Тогда уравнение (1) примет вид

? (3) = 4(5m2 ? s)2 + (22m2 ? 2? ? t)2 ? 64m2 = 0.
s? (2)
?

Далее, воспользуемся идеей работы [5], т.е. уравнение (2) представим следую-
щим образом:

Re ? (3) = 8(?2 ? s2 ) + 4(?1 t1 ? s2 t2 ) + t2 ? t2 ?
s? ?? ?1 ?2
s1 ?2
(3.1)
?128m2 s1 ? 44m2 t1 + 520m4 = 0,
?
?

Im ? (3) = 2(4?1 + t1 ? 32m2 )?2 + (t1 + 2?1 ? 22m2 )t2 = 0,
? ? ? (3.2)
s s s

где
? ? ? ?
s1 = Re s, s2 = Im s = 0, t1 = Re t, t2 = Im t = 0,
? ? ? ?

и решим эту систему уравнений относительно s2 . Тогда получим, что
?

s?
?(?1 , t1 )
s2 = ± (4)
? ,
(? + 2)2 + 4

?(?1 , t1 ) = 8?2 + 4?1 t1 + t2 ? 128m2 s1 ? 44m2 t1 + 520m4 ,
s? s? ?1 ?
s1 ?
(5)
2(4?1 + t1 ? 32m2 )
?
s
?= .
22m2 ? 2?1 ? t1
?
s

??
Из (4) следует, что только те s и t могут быть комплексными особыми точками
амплитуды, для которых ? > 0, т.е. точки, в которых действительные части (?1 иs
?1 ) лежат вне эллипса ? = 0 (рис. 3).
t
Теперь используем тот факт, что амплитуда Фейнмана диаграммы рис. 2 не
? ?
имеет особенностей в области, где s1 < 0, t1 < 0, а s2 = 0 и t2 = 0 (в дальнейшем
? ?
? ?? ?
обозначим эту область через C) [4, 6]. Поскольку точки s, t ? C удовлетворяют
уравнениям (3.1) и (3.2), то это означает, что они не являются на самом деле
особыми точками амплитуды (эти особенности лежат не на физическом листе).
Другими словами, это означает, что контур интегрирования по параметру ?, если
вклад в амплитуду от указанной диаграммы представить в виде интегралов Фейн-
???
мана, не защемляется, когда s и t ? C.
?
Итак, для аналитического продолжения амплитуды из области C на все другие
s?
точки пространства (?, t) достаточно использовать лемму Идена–Тарского [7] (см.
лемму 2а). Чтобы полностью закончить доказательство приведенного выше утвер-
ждения, необходимо еще показать, что амплитуды, соответствующие диаграммам,
48 В.И. Фущич

которые получаются из диаграммы рис. 2 “стягиванием” линий (1,4) или (2,4) в
точку, не имеют комплексных особенностей. Последнее станет очевидным, если
заметить, что при этом мы получим треугольные диаграммы, а, как известно, ам-
?
плитуды таких диаграмм не имеют особенностей в области, где s2 = 0 и t2 = 0. В
?
этом можно и непосредственно убедиться, если повторить только что приведенные
рассуждения для этих диаграмм.
3. Исследуем аналитические свойства амплитуды диаграммы рис. 4. Запишем
вклад в амплитуду от этой диаграммы в виде

22
V (q2 , q3 , u)
?
(3)
s?? (6)
T (?, t, u) = dq1 ,
3
?
2 m2
qi i
i=1

22
где V (q2 , q3 , u) — вершинная функция треугольника (4, 2, 5). Для этой функции
?
справедливо представление Мандельстама [2] (при u > 0):
?

? ?
?(µ2 , µ2 , u)
2?
1
22
dµ2 dµ2 (7)
V (q2 , q3 , u)
? = .
(q2 ? µ2 )(q3 ? µ2 )
1 2 2 2
1 2
a0 ?(m5 +m6 )2 b0 ?(m4 +m6 )2


Подставив (7) в (6) и при этом заменив порядок интегрирования (предполага-
s??
ем, что эта операция законна), в ?-представлении T (3) (?, t, u) можно представить
следующим образом:

5
?(µ2 , µ2 , u)? 1 ?

<< Предыдущая

стр. 10
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>