<< Предыдущая

стр. 101
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

coincides with the one obtained in [5] from the relativistic equations for arbitrary spin
particles without redundant components [4, 17, 20]. In the particular case k = ±2,
s = 1, equation (5.18) possesses all terms, predicted by the Kemmer–Duffin equation
[9], but additionally takes into account the quadrupole electric interaction of a particle
with a field. At least, if one puts into (5.18) k = 1/s, the coefficients in the terms
representing the spin-orbit, the Darwin and the quadrupole interactions are the same
as calculated in [14] starting from the Feynman–Gell–Mann relativistic equations.
Note, that equations (4.15) and equation (2.12) with the redundant components
lead to different physical consequences (see (5.9) and (5.18)). The analogous situation
takes place in the relativistic case [9, 14].

1. Case K.M., Phys. Rev., 1955, 100, 1513.
2. Eberlein E., Amer. Math. Monthly, 1962, 66, 587.
3. Foldy L.L., Wouthuysen S.A., Phys. Rev., 1950, 78, 29.
4. Fushchych W.I., Grishchenko A.L., Nikitin A.G., Teor. Math. Fiz., 1971, 8, № 2, 192–205.
5. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Rep. Math. Phys., 1975, 8, № 1, 33–48.
6. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Lett. Nuovo Cim., 1976, 16, № 3, 81–85.
7. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Salogub V.A., Lett. Nuovo Cim., 1975, 14, № 13, 483–488.
8. Galindo A., Sancher del Rio G., Amer. J. Phys., 1961, 29, 582.
9. Garrido L.M., Oliver L., Nuovo Cim. A, 1967, 52, 588.
10. Hagen C.R., Hurley W,J., Phys. Rev. Lett., 1970, 26, 1381.
11. Heitler W., Proc. Roy. Irich Acad. A, 1943, 49, 1.
12. Hurley W.J., Phys. Rev., 1971, 3, 2339.
13. Hurley W.J., Phys. Rev. D, 1974, 7„ 1185.
14. James K.R., Proc. Phys. Soc. London, 1968, 1, 334.
15. Kemmer N., Proc. Roy. Soc. A, 1939, 173, 91.
On the non-relativistic motion equations in the Hamiltonian form 441

16. Levi-Leblond J.-M., Comm. Math. Phys., 1967, 6, 286.
17. Mathews P.M., Phys. Rev., 1966, 143, 987.
18. Schr?dinger E., Proc. Roy. Soc. A, 1955, 229, 39.
o
19. Schr?dinger E., Proc. Roy. Soc. A, 1955, 232, 435.
o
20. Weaver D.L., Hammer C.L., Good R.H., Phys. Rev., 1964, 135, 241.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 442–487.

Пуанкаре-инвариантные уравнения
движения частиц произвольного спина
В.И. ФУЩИЧ, А.Г. НИКИТИН

“Физические явления, по-видимому, перестают под-
чиняться законам, которые можно выразить с помо-
щью дифференциальных уравнений, и это, вероятно,
самое большое и самое глубокое потрясение, которое
испытала физика со времен Ньютона”.
А. Пуанкаре

Получены и подробно исследованы три класса пуанкаре-инвариантных уравнений,
описывающих свободное движение частицы произвольного спина. На основе выве-
денных уравнений получено непротиворечивое описание поведения заряженной ча-
стицы во внешнем электромагнитном поле. Установлены трансформационные свой-
ства операторов координаты и спина.

The three classes of Poincar?-invariant equations, which describe a free motion of an
e
arbitrary spin particle, have been obtained and studied in detail. The consistent descri-
ption of the charged particle behavior in an external electromagnetic field have been
obtained in the frame of the equations derived. The transformation properties of the
position and of the spin operators have been established.

Введение
Полвека назад, в 1928 г., Дирак открыл уравнение для частицы со спином 1/2.
Э. Майорана [2] был первым, кто сформулировал и частично решил задачу о по-
строении релятивистских уравнений движения для частицы произвольного спина.
Решая эту задачу, Майорана “попутно” открыл, за 15 лет до математиков, унитар-
ные бесконечномерные представления однородной группы Лоренца O(1, 3). С тех
пор этой проблеме посвящено огромное число (около 1000) работ (наиболее пол-
ный список литературы по релятивистским уравнениям можно найти в работах
[3–17]). Такой большой поток статей на эту тему говорит о том, что исследова-
ния по уравнениям для частиц с высокими спинами в связи с экспериментальным
обнаружением резонансов со спинами 1, 3/2, 5/2, . . . , 11/2 вышли далеко за рамки
чисто академического интереса.
До работы Фолди [18] в основном исследовались — с использованием тен-
зорного и спинорного анализа и конечномерных представлений группы O(1, 3) —
явно ковариантные релятивистские уравнения для частиц с произвольным спином.
Обычно явно ковариантные уравнения представляют собой систему дифференци-
альных уравнений первого порядка относительно производных по пространствен-
ным и временной переменным. Особенностью этих уравнений является то, что
волновая функция для частицы и античастицы с фиксированной массой m и спи-
ном s > 1/2 с необходимостью имеет компонент больше, чем число возможных
состояний [равное 2(2s + 1)].
Физика элементарных частиц и атомного ядра, 1978, 9, вып. 3, С. 501–553.
Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного спина 443

Фолди [18], опираясь на результаты Вигнера по представлениям группы Пу-
анкаре P (1, 3) [19, 20], провел теоретико-групповой анализ уравнений Дирака и
Прока. Им же установлено, что уравнение для частицы произвольного спина мо-
жно представить в шредингеровской форме:

(1)
i??(t, x)/?t = Hs ?(t, x),

где

1(2s+1) 0(2s+1)
(s) (s)
(2)
Hs = ?0 E; ?0 = ;
0(2s+1) 1(2s+1)

1(2s+1) и 0(2s+1) — соответственно единичная и нулевая матрицы размерности
(2s + 1) ? (2s + 1);

pa = ?i?/?xa .
E = (p2 + m2 )1/2 ; (3)
a

Уравнение (1), в отличие от явно ковариантных, является интегро-дифферен-
циальным (или псевдодифференциальным), так как оператор E — квадратный
корень из дифференциального оператора. Грубо говоря, это — уравнение беско-
нечно высокого порядка по пространственным производным и в нем отсутствует
явная симметрия между пространственными и временными переменными.
В работах [21–24] было обнаружено, что если в явно ковариантные уравне-
ния для частиц со спинами 1 и 3/2 ввести релятивистски-инвариантным способом
взаимодействие с внешним электромагнитным полем, то частицы, описываемые
такими уравнениями, будут двигаться со сверхсветовой скоростью; энергия таких
частиц сможет принимать любые действительные и комплексные значения. Вай-
тман [73] показал, что даже пятикомпонентное уравнение Кеммера–Дэффина–
Петье для частицы со спином s = 0 обладает теми же свойствами. Некоторые
явно ковариантные уравнения для s > 1/2 после введения в них взаимодействия
минимальным способом становятся просто противоречивыми [26].
К настоящему времени единственным явно ковариантным уравнением, не имею-
щим указанных патологических свойств, является уравнение Дирака для частицы
со спином 1/2.
Основная причина возникновения указанных трудностей состоит в том, что
волновые функции в уравнениях первого порядка для частиц со спином 0, 1, 3/2
имеют лишние (нефизические) компоненты, что позволяет ввести такие взаимо-
действия, которые приводят к нежелательным физическим следствиям. Такими
же нефизическими свойствами обладают и релятивистские уравнения, в которые
входят производные по времени выше первого порядка [27].
Чтобы преодолеть упомянутые трудности, естественно попытаться найти такие
уравнения движения для свободной частицы, волновая функция которой имела
бы только 2(2s + 1) компонент. Чтобы функция, удовлетворяющая такому уравне-
нию, допускала стандартную вероятностную интерпретацию, уравнение движения
должно иметь шредингерову форму (1). При этом релятивистский гамильтониан
свободной частицы должен явно зависеть от спиновых матриц. В противном слу-
чае он не несет никакой информации о спиновых эффектах (спин-орбитальной
связи, дипольном и квадрупольном взаимодействии и т.п.), которые должны иметь
место при введении взаимодействия с электромагнитным полем.
444 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Построению уравнений движения для свободных частиц с фиксированной мас-
сой m и спином s, удовлетворяющих приведенным условиям, посвящены работы
[28–44]. Разные авторы, исходя из различных конкретных математических поста-
новок задачи, получили уравнения, отличающиеся друг от друга. Тем не менее
между уравнениями для свободных частиц, полученных во всех работах [28–44],
можно установить взаимно-однозначную связь. Однако физически эти уравнения
совершенно различны, так как при введении в них взаимодействия с помощью
стандартной замены pµ > ?µ = pµ ? eAµ они становятся неэквивалентными и
приводят к различным физическим следствиям.
Вивер, Хаммер и Гуд [28], а затем Метьюз с сотр. [30–35] вывели уравнения
вида (1) для частиц произвольного спина, инвариантные относительно локальных
преобразований из группы Пуанкаре P (1, 3). Гамильтонианы Hs Вивера, Хаммера,
Гуда и Метьюза (ВХГМ) явно зависят от спиновых матриц, а волновые функции
имеют простые правила преобразования. Все эти гамильтонианы представляют со-
бой интегро-дифференциальные операторы в гильбертовом пространстве волновых
функций {?(t, x)} со скалярным произведением

?+ (t, x)Ms ?2 (t, x) d3 x, (4)
(?1 , ?2 ) = 1

где Ms — некоторый метрический положительно определенный интегро-диффе-
ренциальный оператор. Зависимость метрического оператора от импульса и спина
сильно затрудняет задачу описания на основе теории ВХГМ поведения заряженной
частицы во внешних электромагнитных полях.
В настоящей статье, являющейся в основном обзором наших работ [36–41,
45–48], построены пуанкаре-инвариантные уравнения для свободных частиц, до-
пускающие непротиворечивое описание движения частиц во внешних полях. По-
лученные уравнения можно разделить на следующие три класса.
1. Интегро-дифференциальные уравнения в форме (1). В отличие от подхода
ВХГМ, гамильтонианы в уравнении (1) определены в гильбертовом пространстве
с обычно принятым в квантовой механике скалярным произведением

?+ (t, x)?2 (t, x) d3 x. (5)
(?1 , ?2 ) = 1

Этот факт позволил нам обобщить найденные уравнения на случай взаимодей-
ствия частиц с полем [38, 39] в предположении, что импульсы частиц малы по
сравнению с их массами, и вычислить электромагнитные моменты частиц с прои-
звольным спином. В работах Гуертина [43, 44] результаты работ [36–41] получили
интересное обобщение на случай гильбертова пространства с индефинитной ме-
трикой. При этом метрический оператор Ms является, как и для уравнений Тамма–
Сакаты–Такетани (ТСТ), матрицей, не зависящей от импульса и спина частицы.
2. Система 2(2s + 1) линейных дифференциальных уравнений второго поряд-
ка вида (1). Построены все возможные (с точностью до преобразований подобия,
задаваемых числовыми матрицами) пуанкаре-инвариантные уравнения второго по-
рядка, описывающие движение свободной частицы с произвольным спином и не
имеющие лишних компонент. В случае s = 1/2, 0, 1 полученные уравнения совпа-
дают с уравнениями Дирака и ТСТ [49, 50]. В качестве платы за дифференци-
альность гамильтонианов в этом подходе приходится иметь дело с индефинитной
метрикой или с метрикой (4).
Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного спина 445

3. Система дифференциальных уравнений первого порядка вида (1) для части-
цы произвольного спина. Эти уравнения представляют собой систему 8s уравнений
типа Дирака с ковариантным дополнительным условием, устраняющим лишние
компоненты волновой функции. Уравнения имеют достаточно простую форму, ко-
торая не усложняется с ростом спина, и не приводит к противоречиям при обоб-
щении на случай заряженных частиц во внешнем электромагнитном поле.
Для полноты изложения в рамках развиваемого подхода рассмотрены уравне-
ния для частицы с нулевой массой покоя. В [45, 46] показано, что для частицы
и античастицы с нулевой массой и произвольным спином s существует три типа
пуанкаре-инвариантных уравнений. Одно из таких нелокальных уравнений движе-
ния не инвариантно даже относительно P CT -преобразования [45]. За последние
годы было предложено большое число уравнений (не всегда неэквивалентных) для
частиц с нулевой массой [51–54]. Оказалось, что все они принадлежат к указан-
ным трем типам [47]. Во втором разделе, с использованием результатов работ
[45–48], найдены все возможные (с точностью до эквивалентности) пуанкаре-
инвариантные уравнения для безмассовых частиц и изучены их свойства относи-
тельно дискретных преобразований P , C и T .
При выводе релятивистских уравнений движения обычно используют такие по-
нятия, как тензор и спинор относительно группы Лоренца O(1, 3). В данной работе
для получения и анализа уравнений движения эти понятия нигде не использу-
ют. Все изложение ведется на алгебраическом языке, развитом в работах [30–43,
45–48, 55–57]. Теоретико-групповой анализ уравнений проведен не в традицион-
но используемых терминах представлений группы Лоренца O(1, 3), а в терминах
представлений группы Пуанкаре P (1, 3) [19, 20], содержащей в качестве подгруп-
пы группу Лоренца O(1, 3). Причина возникновения такого взгляда на уравнения
движения обусловлена тем, что к настоящему времени только инварианты группы
Пуанкаре P (1, 3) [а не инварианты ее подгруппы O(1, 3)] имеют четкую физиче-
скую интерпретацию. В связи со сказанным выше возникает естественный вопрос:
какие же представления группы Лоренца O(1, 3) реализуются на множестве реше-
ний {?} выведенных уравнений.
На этот вопрос можно дать такой ответ. Так как на множестве решений {?}
реализуется, как правило, прямая сумма нескольких неприводимых бесконечно-
мерных [но конечномерных относительной малой (спиновой) группы SU (2)] уни-
тарных представлений группы P (1, 3), это означает, что на этом же множестве
— из-за включения P (1, 3) ? O(1, 3) — реализуется бесконечная прямая сумма
(точнее прямой интеграл) неприводимых бесконечномерных унитарных представ-
лений группы Лоренца.
В заключение отметим, что изложенный метод исследования релятивистских
уравнений применим и для построения уравнений движения частиц произвольно-
го спина, инвариантных относительно группы движений нерелятивистской кван-
товой механики — группы Галилея [58, 59]. Отметим также, что если резонансы
с высокими спинами описывать как сложную систему, состоящую, например, из
двух элементарных стабильных частиц со спинами, то и в этом случае применима
наша методика [57].
446 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

1. Пуанкаре-инвариантные уравнения
без лишних компонент
Постановка задачи
Найдем уравнения движения свободной релятивистской частицы с произволь-
ным спином в гамильтоновой форме (1) в пространстве функций со скалярным
произведением (4) и (5).
Будем говорить, что уравнение вида (1) пуанкаре-инвариантно и описывает
частицы с массой m и спином s, если генераторы P (1, 3)-группы Pa , Jµ? и га-
мильтониан Hs удовлетворяют коммутационным соотношениям:
(6)
[Pa , Pb ]? = 0, [Pa , Hs ]? = 0, [Jab , Hs ]? = 0;
[Jab , Jcd ]? = i(?ac Jbd + ?bd Jac ? ?ad Jbc ? ?bc Jad ); (7)
[Jab , J0c ]? = i(?ac J0b ? ?bc J0a ); (8)
[Pa , Jbc ]? = i(?ac Pb ? ?ab Pc ); (9)
[Pa , J0b ]? = i?ab Hs ;
[J0a , J0b ]? = ?iJab ; (10)
(11)
[Hs , J0a ]? = iPa , a, b, c, d = 1, 2, 3;
P µ P µ = H s ? P a = m2 ;
2 2
(12)
Wµ W µ ?(t, x) = m2 s(s + 1)?(t, x), (13)
где введено обозначение [A, B]? = AB ? BA, а
Wµ = ?µ??? J ?? P ? /2 (14)
— вектор Любанского–Паули.
Задача построения пуанкаре-инвариантных уравнений движения частицы про-
извольного спина будет решена в трех различных подходах. Уравнения, получен-
ные в первом и третьем подходах, оказываются удобными для применения их к
задачам квантовой механики, а уравнения, полученные во втором подходе, можно
успешно использовать в теории поля [31].

<< Предыдущая

стр. 101
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>