<< Предыдущая

стр. 102
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

В первом подходе (I) задача сводится к следующему: найти все возможные (с
I
точностью до эквивалентности) гамильтонианы Hs , такие, что операторы [36, 37]
Pa = pa = ?i?/?xa , Jab = xa pb ? xb pa + Sab ,
I I I I
P 0 = Hs ;
(15)
1
= tpa ? [xa , P0 ]+ ,
I I I I I
J0a [xa , P0 ]+ = xa P0 + P0 xa
2
удовлетворяют алгебре Пуанкаре (6)–(13). Здесь Sab — матрицы, реализующие
прямую сумму двух неприводимых представлений D(s) алгебры O(3):
Sc 0
(a, b, c) — цикл (1, 2, 3). (16)
Sab = ,
0 Sc
Во втором подходе (II) задача формулируется следующим образом: найти все
II
такие гамильтонианы Hs , что совокупность операторов [28–35, 38]
Pa = pa = ?i?/?xa ,
II II II
P 0 = Hs ,
(17)
Jab = xa pb ? xb pa + Sab , J0a = tpa ? xa P0 + i?3 Sa
II II II
Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного спина 447

удовлетворяет алгебре Пуанкаре. Здесь ?3 — 2(2s + 1)-рядная матрица Паули:
I 0
(18)
?3 = .
0 I
В том частном случае, когда спин s = 1/2, представления (15) и (17) совпадают,
поскольку
H1/2 = H1/2 = ?1 m + 2?3 S · p
I II
(19)
и
1I
[H1/2 , xa ]+ ? xa H1/2 + i?3 Sa .
II
(20)
2
Оператор (19) — это хорошо известный гамильтониан Дирака. Для других значе-
ний s, как будет показано ниже, представления (15) и (17) не совпадают. Выбор
структуры представлений алгебры P (1, 3) в форме (15) и (17) обусловлен тем, что
на множестве решений уравнения Дирака генераторы группы Пуанкаре можно
представить в форме или (15) или (17). Основное отличие представления (15) от
(17) состоит в том, что операторы (15) при всех значениях s эрмитовы относи-
тельно обычно принятого в квантовой механике скалярного произведения (5), в то
время как операторы (17) при s > 1/2 неэрмитовы относительно (5), но эрмитовы
в скалярном произведении (4) с некоторым метрическим оператором Ms = Ms (pa ).
На множестве {?} решений уравнения (1) определим операторы дискретных
преобразований:
P ?(t, x) = r1 ?(t1 , ?x),
(21)
T ?(t, x) = r2 ?(?t, x),
C?(t, x) = r3 ?? (t, x),
где ra — матрицы, которые, не умаляя общности, можно выбрать в виде:
I 0
?
I I II
или
r1 = ?1 r1 = I = , r1 = ?1 ,
0 I
(22)
? 0
I II II I II
или
r2 = r2 = ? r2 = ?3 ?, r3 = r3 = ?2 ?, ?= ,
0 ?
? — матрица, однозначно определяемая уравнениями [18]
? sc = ?s? ? , (? )2 = (?1)2s . (23)
c

Операторы P , C, T и генераторы Pµ , Jµ? группы P (1, 3) должны удовлетворять
соотношениям:
[P, P0 ]? = [P, Pa ]+ = [P, Jab ]? = [P, J0a ]+ = 0,
(24)
[T, P0 ]? = [T, Pa ]+ = [T, J0a ]? = [T, Jab ]+ = 0,
[C, Pµ ]+ = [C, Jµ? ]+ = 0.
Потребуем, чтобы уравнение (1) было инвариантным относительно P -, T -, C-
преобразований. При этом к алгебре Пуанкаре (6)–(13) необходимо добавить со-
отношения (24). Таким образом окончательно получим, что задача о нахождении
448 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

пуанкаре-инвариантных гамильтоновых уравнений без лишних компонент для ча-
стиц с произвольным спином сводится в подходах I и II к отысканию операторов
Hs , удовлетворяющих соотношениям (6)–(13), (24).
Подходы I и II позволяют получить гамильтоповы уравнения без лишних ком-
понент для частицы с произвольным спином, которые, однако, не включают урав-
нений ТСТ [49, 50] для частиц с s = 0 и s = 1. Уравнения движения, включающие
при s = 1/2 уравнение Дирака, а при s = 0, 1 — уравнение ТСТ, будут получе-
ны в третьем подходе (III), в котором задача ставится следующим образом: найти
все возможные (с точностью до эквивалентности) дифференциальные операторы
III
второго порядка Hs , такие, чтобы совокупность операторов

Pa = pa = ?i?/?xa ,
III III III
P 0 = Hs ,
(25)
1
Jab = xa pb ? xb pa + Sab , J0a = tpa ? [xa , P0 ]+ + ?a
III III III
2
удовлетворяла алгебре P (1, 3). Здесь ?a = ?a (S, p) — некоторый оператор, на
явный вид которого мы не накладываем a priori никаких ограничений.
Существенное отличие подхода III от подходов I и II состоит в том, что мы не
III
фиксируем явный вид генераторов J0a и не требуем инвариантности уравнения (1)
относительно преобразований P , C, T . Для нахождения явного вида гамильтони-
III
анов в подходе III достаточно потребовать, чтобы Hs принадлежал классу диф-
ференциальных операторов второго порядка.
Представления вида (25) использовались в работах [43], где также были полу-
чены гамильтонианы для частиц произвольного спина s, совпадающие при s = 0, 1
гамильтонианами ТСТ. Однако при s > 1 гамильтонианы [43] являются интегро-
дифференциальными операторами.
I
Явный вид операторов Hs
I
Здесь решена задача I, т.е. найдены все те операторы Hs , которые удовлетво-
ряют системе соотношений (6)–(13), (24) в случае, когда представление алгебры
P (1, 3) имеет вид (25).
I
Разложим искомый оператор Hs по полной системе ортопроекторов
I
dl (p) + ?1 gl (p) + ?2 hI (p) + ?3 flI (p) ?l ,
I
(26)
Hs = l
l

где
Sp ? l S·p 1/2
p = p2 + p 2 + p 2
?l = , Sp = , ,
l?l 1 2 3
p (27)
l=l

l, l = ?s, ?s + 1, . . . , s,

dI (p), gl (p), hI (p), flI (p) — неизвестные функции, зависящие от p.
I
l l
Нетрудно убедиться, что операторы (27) являются ортопроекторами на соб-
ственные подпространства оператора Sp , т.е. удовлетворяют соотношениям
s s
Sp ? (28)
?l ?l = ?ll ?l , ?l = 1, l?l .
l=?s l=?s
Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного спина 449

I
Определить явный вид гамильтонианов Hs означает теперь найти все значения
коэффициентов dI (p), gl (p), hI (p), flI (p), при которых выполняются соотношения
I
l l
(6)–(13), (24). Подставляя (26) в (24), получаем
?
dI = hI = 0, flI = f?l ,
I I I I
если
gl = g?l , r1 = I,
l l
(29)
flI = ?f?l ,
dI = hI = 0, I I I I
если
gl = g?l , r1 = ?1 .
l l

Условие (12) налагает на функции flI , gl дополнительное ограничение
I

2 2
flI I
= p2 + m2 . (30)
+ gl
Можно убедиться непосредственной проверкой, что соотношения (6)–(9), (11), (12)
обращаются в тождество, если выполняются (26), (30). Таким образом, остается
только потребовать, чтобы выполнялись соотношения (10) и (25), которые и опре-
I
деляют окончательно структуру операторов Hs , т.е. явный вид коэффициентных
I I
функций fs , gs .
Соотношение (10) для операторов (15) можно привести к виду [36], [37]
= ?4iSab .
I I
(31)
[Hs , xa ]? , [Hs , xb ]? ?

Подставив (26), (29) в (31), используя тождество [36, 37]
1 i pa
[xa , ?l ]? ? Sab pb (?l?1 + ?l+1 ? 2?l ) ? Sa ? Sb (?l?1 ? ?l+1 )(32)
2p2 2p p
и принимая во внимание соотношения (28), получаем следующие уравнения для
flI , gl :
I


gl gl+1 + flI fl+1 = m2 ? p2 .
II I
(33)
Согласно (30), функции flI , gl можно представить в виде
I


flI = E sin ?l , I
E = (p2 + m2 )1/2 . (34)
gl = E cos ?l ,
Подставив (34) в (33), приходим к рекуррентной формуле
?l+1 = ?l ± 2?I , ?I = arctg p/m. (35)
Формулы (34), (35) позволяют определить все коэффициенты gl , flI операто-
I

ра (26), если известна хотя бы одна функция из набора flI (или gl ). Эту началь-
I

ную функцию можно найти из соотношений (29), (35), которые с учетом (34)
принимают вид
?
I
для
??l r1 = I,
(36)
?l =
???l I
для r1 = ?1 .
Из (35), (36) получаем
?1/2 = ?I , I
если (37)
?0 = 0, r1 = ?1 .
I
Если же r1 = I, то для полуцелых s условия (35) и (36) несовместны, а для s
целых ?0 может быть произвольной функцией от p:
?
I
(38)
?0 = ?(p), r1 = I.
450 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Используя тождества

Wa ? [Hs , Sa ]+ /2, W0 = p · S,
I I I


нетрудно убедиться, что соотношение (13) заведомо выполняется, если имеет место
(31). Таким образом, приходим окончательно к следующему результату.
Теорема 1. Все возможные (с точностью до эквивалентности) гамильтониа-
I
ны Hs , удовлетворяющие соотношениям (6)–(15), (24), задаются формулами
I
(26), (29), (34), (35), (37), (38). Уравнение (1) с гамильтонианом Hs инвари-
?
антно относительно полной группы Пуанкаре P (1, 3) и описывает свободное
движение частицы с произвольным спином s и массой m.
Приведем простейшие решения системы рекуррентных соотношений (35),
(36), (38):
?
? l + 1 для полуцелых s,
Nl I 2 (39)
(?l )1 = (?1) ? , Nl =
?
l для целых s,

<< Предыдущая

стр. 102
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>