<< Предыдущая

стр. 103
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


(?l )2 = 2l?I . (40)

Подставляя (39), (40), (34), (29) в (26), получаем [36, 37, 39]:
I
(?1)Nl ?l , (41)
Hs = ?1 m + ?3 p
1
l

I
?1 cos 2l?I + ?3 sin 2l?I (42)
Hs =E ?l .
2
l

Выбирая другие решения системы (35), (36), (38), приходим к гамильтонианам, ко-
торые унитарно эквивалентны (41), (42), но отличаются от них по форме. Исполь-
I
зуя (35), (37), нетрудно подсчитать, что число возможных гамильтонианов Hs
I
равно (при ri = ?1 ) 2s?1/2 для полуцелых s и 2s?1 для целых s.
Выпишем явные выражения операторов Hs в терминах S · p для s ? 3/2.
I

Используя (41), (42), (27), получаем [39]
I I
для s = 0 H0 = ?1 m + ?3 p, H0 = ?1 E;
1 2

= ?1 m + 2?3 (S · p);
I I
для s = 1/2 H1/2 = H1/2
1 2

? 2?3 (S · p)2 p?1 ,
I I
для s = 1 H1 = H0
1 2

+ 2(S · p)[?3 m ? ?1 (S · p)]E ?1 ;
I I
H1 = H0
2 2
(43)
1
= H1/2 + ?3 (S · p)[1 ? 4(S · p)2 p?2 ],
I I
для s = 3/2 H3/2
3
1


?1 [E 2 + p2 + 2(S · p)2 ]m+
I I
H3/2 = H1/2 +
2

12 4
E ?2 .
p (S · p) ? (S · p)3
+?3
12 3
Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного спина 451

I I
Из (43) видно, что операторы Hs можно выразить через Hs?1 . Таким образом,
вид гамильтониана для произвольного спина полностью определяется гамильтони-
анами для s = 0, 1/2.
II
Явный вид операторов Hs
II
Приведем здесь решение задачи II, т.е. отыщем все операторы Hs , удовлетво-
ряющие системе соотношений (6)–(13), (25), когда представление алгебры P (1, 3)
II
имеет структуру (17). Впервые гамильтонианы Hs получили Вивер, Хаммер и Гуд
[28], а затем, в более общей постановке задачи, Метьюз с сотр. [30–35].
I II
По аналогии с Hs ищем Hs в виде
II
?1 gl + ?3 flII ?l ,
II
(44)
Hs =
l

где неизвестные функции gl , flII , зависящие от p и m, обладают следующими
II

свойствами:

flII = ?f?l ,
II II II II
(45)
gl = g?l , r2 = ?;

flII = ?f?l , gl = ?g?l ,
II II II II
(46)
r2 = ?3 ?;

flII + (gl )2 = p2 + m2 .
II
(47)

Непосредственной проверкой можно убедиться, что условия (6)–(13), (24) пуан-
каре-инвариантности уравнения (1) выполняются, если имеют место соотношения
(44)–(47) и (11). Используя общий вид (16) генераторов группы P (1, 3), приво-
дим (11) к виду

? Hs , xa
II II II II
(48)
Hs + iSa Hs , ?3 + i Hs , Sa ?3 = ipa .
? ? ?

Подставляя (44) в (48), используя тождества (32) и

[?? , S]? ? p ? [?? , x]? (49)

и учитывая линейную независимость слагаемых, приходим к системе уравнений:

flII fl+1 + gl gl+1 = E 2 + p fl+1 ? flII ,
II II II II
(50)
gl fl+1 + p = gl+1 flII ? p , gl ?gl /?p ? flII ?flII /?p = 2lp.
II II II II II


Опуская довольно громоздкие выкладки, приведем решения системы (45)–(47) и
(50):

flII = E th 2l?II , II
= E sech 2l?II , II
(51)
gl r2 = ?;
1 1

flII = E cth 2l?II , II
= iE cosech 2l?II ,
gl
2 2
(52)
II
?II = Arth p/E.
r2 = ?3 ?,

Отметим, что решения (51) определены для произвольных s, a (52) — только для
полуцелых значений спина, поскольку при целых s уравнения (46), (47), (50)
становятся несовместными.
452 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

II
Подставляя (51), (52) в (44), получаем явный вид гамильтонианов Hs для
представления (16):
II
?1 sech 2l?II + ?3 th 2l?II (53)
Hs =E ?l ,
1
l

II
i?1 cosech 2l?II + ?3 cth 2l?II (54)
Hs =E ?l ,
2
l

II
где гамильтониан (53) соответствует выбору r2 = ? и определен для произвольных
II
значений спина s, а оператор (54) соответствует r2 = ?3 ? и определен только для
полуцелых s. Последнее обстоятельство осталось незамеченным в работах [31,
33], где (54) интерпретируется как гамильтониан для частиц с целым спином.
Выразим гамильтонианы Hs для s ? 3/2 через операторы S · p. Согласно (27),
II

(53), (54) имеем
II
для s = 0 H0 = ?1 E;

= ?1 m + 2?3 (S · p),
II
s = 1/2 H1/2
1

= ?2E(S · p)(i?1 m + ?3 E)p?2 ;
II
H1/2
2
?1
H1 = ?1 E + 2E(S · p)[?1 (S · p) ? ?3 E] E 2 + p2
II
s=1 ;

1
4E 2 + 7p2 ? 2(S · p)2 m+
II
s = 3/2 H3/2 = ?1
4
1
(55)
1 8 ?1
+?3 (S · p) 20p2 + 6E 2 + (S · p)3 E 2 + 3p2 ,
3 3

E2
mE 1
35E ? 13m ? 4 2 (S · p)2 +
II 2 2
H3/2 = ?1
p 8 p
2


E 2 (S · p) E2 ?1
20E 2 + 6p2 + 8 3 (S · p)3 p2 + 3E 2
+i?3 .
m 3p p

Замечание 1. Решение задачи II, приведенное в работах [32–35] получено при
II
несколько более слабых условиях, налагаемых на вид гамильтонианов Hs . В ра-
боте [33] показано, что гамильтонианы (35), (36) можно получить, не требуя P -,
C-инвариантности уравнения (1), а в работе [34] гамильтонианы (53), (54) по-
лучены в предположении, что уравнение движения (1) инвариантно относительно
преобразований из группы P (1, 3) и преобразования ? = CP T . Мы не приводим
здесь деталей этих исследований.
Замечание 2. Решение задач I и II найдено в работах [38, 39] в более общей
постановке, когда матрицы Sab , входящие в определение (14) генераторов группы
P (1, 3), являются элементами представления D(j, ? ) алгебры O(4). В такой поста-
новке получены уравнения для частиц с переменными спином и массой, причем
возможные значения спина s лежат в интервале
|j ? ? | ? s ? j + ?, (56)
Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного спина 453

где j и ? — произвольные целые или полуцелые числа, задающие неприводимое
представление группы O(4).(4). При этом масса частицы или фиксирована, или
задается одной из формул

m2 = a2 + b2 s(s + 1),
или (57)
m = a1 + b1 s(s + 1) 2 2

где a1 , a2 , b1 , b2 — произвольные постоянные числа. Более подробное рассмо-
трение уравнений для частиц с переменными спином и массой выходит за рамки
настоящего обзора.
III
Явный вид операторов Hs
Решим задачу III, т.е. найдем все возможные (с точностью до преобразований
III
эквивалентности) дифференциальные операторы Hs , содержащие производные по
пространственным переменным не выше второго порядка и удовлетворяющие сов-
местно с (25) коммутационным соотношениям (6)–(13) алгебры Пуанкаре.
III
Искомый гамильтониан Hs представим в виде разложения по спиновым ма-
трицам и 2(2s + 1)-рядным матрицам Паули:
(s) (s)
III
Hs = h0 m + h1 + h(s) /m, (58)
s

где
(s) (s) (s)
h1 = b(s) ? µ (S · p), h2 = c(s) ? µ (S · p)2 + d(s) ? µ p2 ,
h0 = a(s) ? µ , (59)
µ µ µ µ

(s) (s) (s)
?µ — 2(2s + 1)-рядные матрицы Паули, коммутирующие с Sab (16); aµ , bµ , cµ ,
(s)

<< Предыдущая

стр. 103
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>