<< Предыдущая

стр. 104
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

dµ — неизвестные коэффициенты. По повторяющемуся индексу µ подразумевае-
тся суммирование от 0 до 3.
Теорема 2. Все возможные (с точностью до эквивалентности) дифференци-
III
альные операторы второго порядка Hs , удовлетворяющие (6)–(13), (25) зада-
ются формулами:
1
Hs = ?1 m + ?3 k1 (S · p) + (?1 ? i?2 )[p2 ? k1 (S · p)2 ],
III 2
s = 0, 1/2, . . . ;(60)
2m

(S · p)2 p2
k2 (k2 ? 1) + (?1 ? i?2 )
III
(61)
H1 = ?1 m + i?2 k2 + ?3 ;
m 2m

(S · p)2
p2
H1 = ?1 m + ?3 k3 (S · p) + (?1 ? i?2 ) + [?k3 ?1 + i(2 ? k3 )?2 ];(62)
III 2 2
2m 2m

p2 ik4 5 ?3
?2 (S · p)2 ? p2 + k4 ? 1 p2 ;
III 2 (63)
H3/2 = ?1 m + +
2m 2m 4 2m

p2
? k5 (S · p)2 + ?3 k5 (S · p)?
III 2
H3/2 = ?1 m+
2m
(64)
i 52 92 5
? k ? 1 (S · p)2 ? k? p2 ,
?2
45 45 4
2m

где kl — произвольные параметры, l = 1, 2, 3, 4, 5.
454 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Доказательство. Используя явный вид (25), (16) генераторов группы P (1, 3) не-
трудно убедиться, что гамильтониан (58) удовлетворяет соотношениям (6) при
(s) (s) (s) (s)
произвольных значениях коэффициентов aµ , bµ , cµ , dµ .
Потребуем, чтобы гамильтониан (58) удовлетворял условию (12), которое запи-
шем в следующем виде:
2
III
= p2 + m2 . (65)
Hs

Подставляя (58) в (65) и приравнивая коэффициенты при линейно-независимых
слагаемых, приходим к системе уравнений:
2 2
(s) (s) (s) (s)
h0 = 1, h 1 , h2 = 0, h2 = 0,
+
(66)
2
(s) (s) (s) (s) (s)
= p2 .
h 0 , h1 = 0, h1 + h 0 , h2
+ +

Ввиду линейной независимости спиновых матриц Sa и матриц Паули ?µ систе-
ма соотношений (59), (66) эквивалентна системе уравнений для коэффициентов
(s) (s) (s) (s)
aµ , bµ , cµ , dµ . Решение системы (59) и (66) для произвольных значений s
задается следующей формулой [40, 41]:
(s) (s) (s)
h1 = ?3 k1 (S · p), h2 = (?1 ? i?2 ) p2 ? k1 (S · p)2 /2,(67)
2
h0 = ? 1 ,

где k1 — произвольное комплексное число. Для s = 1 и s = 3/2 помимо (61)
существует еще по два независимых решения:
(1) (1)
h0 = ? 1 , h1 = 0,
(1)
h2 = (?1 ? i?2 )p2 /2 + k2 i?2 + ?3 k2 (k2 ? 1) (S · p)2 ;
(1) (1)
h1 = ?3 k3 (S · p),
h0 = ? 1 ,
(1)
h2 = ?1 [p2 ? k3 (S · p)2 ]/2 + i?2 [(2 ? k3 )(S · p)2 ? p2 ]/2;
2 2

(68)
(3/2) (3/2)
h0 = ?1 , h1 = 0,
(3/2)
= ?1 p2 + i?2 k4 [(S · p)2 ? 5p2 /4] + ?3 k4 ? 1 p2 /2;
2
h2
(3/2) (3/2)
= ?3 k5 (S · p),
h0 = ?1 , h1
i 52 92 5
(3/2)
k5 ? 1 (S · p)2 ? k? p2 + ?1 p2 ? k5 (S · p)2 /2,
2
h2 = ?2
45 4
2 4

где k2 , k3 , k4 , k5 — произвольные комплексные числа.
Формулы (67), (68) задают все возможные решения системы (59), (66) с точно-
стью до преобразований эквивалентности, осуществляемых числовыми матрицами.
Подставив (67), (68) в (58), приходим к гамильтонианам (60)–(64).
Для завершения доказательства теоремы осталось только указать явный вид
операторов ?a , входящих в определение (25) генераторов J0a , при котором операто-
ры (25), (60)–(64) удовлетворяют соотношениям (8)–(11) и (13). Можно убедиться
Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного спина 455

непосредственной проверкой, что эти соотношения выполняются, если положить в
(25)
(?1 ? i?2 )
k1
1? i?1 Sa ? (69)
?a = ?abc pb Sc
2 2m
III
в случае, когда гамильтониан Hs имеет вид (60), и
?
III III III
[Sab pb , Hs ]+ pa (2E + Bs ) [xa ?1 , Hs ]
? [Sab pb ?1 , Hs ]+
?a = ? ?i ?i
+i ,
2E 2 Bs
2E(E + m) 2EBs 2(E + m)Bs
?
III III
Bs = 2E + [Hs , ?1 ]+ , A = i[Hs , A]?
III
в случае, когда гамильтониан Hs задается одной из формул (61)–(64). Теорема
доказана.
III
Из (60)–(64) видно, что гамильтонианы Hs определены с точностью до по-
стоянных комплексных чисел kl . Можно показать, что уравнение (1), где Hs —
оператор, задаваемый одной из формул (60)–(64), инвариантно относительно пре-
образования “сильного отражения” ? = CP T , но не инвариантно относительно
P -, C- и T -преобразований. Инвариантность уравнения (1) относительно любого
из этих преобразований можно обеспечить специальным выбором чисел kl . Так,
если в (60) положить s = 0 и s = 1/2, k1 = 1/s, а в (61)–(64) положить k2 = 1,
k3 = 0, k4 = 1, k5 = 0, то получим C-, P -, T -инвариантные гамильтонианы вида
H0 = ?1 m + p2 /2m ? i?2 p2 /2m;
III
(70)

H1/2 = ?1 m + 2?3 S · p;
III
(71)

H1 = ?1 m + p2 /2m + ?2 i/2m 2(S · p)2 ? p2 ;
III
(72)

H3/2 = ?1 m + p2 /2m + ?2 i/2m (S · p)2 ? 5/4p2 .
III
(73)

Оператор (71) совпадает с гамильтонианом Дирака, а операторы (70), (72) — с
гамильтонианами ТСТ [49, 50] для частиц со спином s = 0, 1. Оператор (60)
для s = 1/2 рассматривался ранее в [44]. Преобразования P , C и T на множе-
стве решений уравнения (1) с гамильтонианами (70), (72), (73) можно определить
формулами (14), где
III III II
r1 = I, r2 = ?1 , r3 = ?2 .
Нетрудно убедиться, что гамильтонианы (60)–(64) в общем случае неэрмитовы
относительно скалярного произведения (5). Однако всегда можно подобрать такие
III
значения коэффициентов k1 , чтобы операторы Hs были эрмитовы в индефинитной
метрике

d3 x ?+ ?1 ?2 , (74)
(?1 , ?2 ) = 1


а именно, операторы (60)–(64) эрмитовы относительно (74), если kl удовлетворяют
следующим условиям:
? ? ? ?
k1 = ?k1 , k3 = ?k3 , k5 = ?k5 , |k2 | < 1,
k2 = k2 ,
?
|k4 | < 1,
k2 > 0, k4 = k4 , k4 > 0.
456 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

III
Гамильтонианы Hs при произвольных значениях коэффициентов kl эрмитовы та-
кже относительно скалярного произведения (4), где
?1 † ?1
III III
Ms = Us Us ,

III
а Us — оператор, связывающий представление (25) с каноническим представле-
III
нием Широкова–Фолди [18, 20]. Явный вид операторов Us приведен ниже [см.
(133), (134)].
Отметим еще, что не только гамильтониан (60), но и все остальные генера-
торы (25), (69) принадлежат классу дифференциальных операторов. При k1 = 2
операторы ?a (69) тождественно равны нулю и генераторы J0a (25) принимают
вид

J0a = tpa ? [xa , Hs ]+ /2,
III III
(75)

совпадающий с (15).
Таким образом, здесь получены все возможные (с точностью до эквивалентно-
III
сти) релятивистские гамильтонианы Hs частицы с произвольным спином s, вклю-
чающие производные не выше второго порядка. Оказалось, что такие гамильтониа-
ны существуют для любых значений s и задаются формулами (60)–(64). Возникает
естественный вопрос: существуют ли пуанкаре-инвариантные гамильтонианы для
частиц с произвольным спином в классе дифференциальных операторов первого
порядка? Задача описания таких гамильтонианов решается ниже.
Дифференциальные гамильтоновы уравнения первого порядка
По аналогии с теорией Дирака для электрона постулируем, что гамильтони-
ан релятивистской частицы с произвольным спином является дифференциальным
оператором, включающим производные по пространственным переменным не выше
первого порядка. Общий вид такого оператора задается формулой
(s)
? ? pa = ?i?/?xa ,
Hs = ?(s) pa + ?0 m, (76)
a

? (s)
где ?µ — некоторые числовые матрицы.
Генераторы представления группы Пуанкаре, которое реализуется на решениях
уравнения (1) с гамильтонианом (76), выберем в виде:

Pa = pa = ?i?/?xa ,
P 0 = Hs ,
(77)
Jab = xa pb ? xb pa + Sab , J0a = x0 pa ? xa p0 + S0a ,

где Sµ? — матрицы, образующие конечномерное представление (в общем случае
приводимое) алгебры Лоренца O(1, 3). Формулы (77) задают самый общий вид ге-
нераторов группы P (1, 3), соответствующий локальным преобразованиям волновой
функции при переходе к новой инерциальной системе отсчета:

?(x) > ? (x ) = D(?)?(??1 x ? b),
x = ?x + b, x = (x0 , x1 , x2 , x3 ),

где ? — матрица, задающая преобразование Лоренца; D(?) — произвольное коне-
чномерное представление этого преобразования.
Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного спина 457

Определить все возможные гамильтонианы вида (76) означает найти такие

матрицы ?s и Sµ? , что операторы (76), (77) будут удовлетворять алгебре Пуанкаре
(6)–(13).
Потребуем, чтобы гамильтониан (76) удовлетворял соотношению (12):
H s = p2 + m2 .
2
(78)
Подставляя (76) в (78) и приравнивая линейно-независимые слагаемые заключаем,
? (s)
что матрицы ?µ должны удовлетворять алгебре Клиффорда
?µ ?? ?? ?µ
?(s) ?(s) + ?(s) ?(s) = 2?µ? , (79)

<< Предыдущая

стр. 104
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>