<< Предыдущая

стр. 105
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

µ, ? = 0, 1, 2, 3.
Представления алгебры (79) хорошо известны и задаются матрицами размер-
ности 2n ? 2n , n = 2, 3, . . .. При этом матрицы
? ? (s) ?
?ab = i?(s) ?b /2, ?0a = i?(s) /2 (80)
a a

реализуют 2n?2 -кратно вырожденное представление D(1/2, 0) ? D(0, 1/2) алгебры
O(1, 3).
Определим теперь матрицы Sµ? из (77). Представляем их в виде
(81)
Sµ? = ?µ? + jµ? ,
где jµ? — неизвестные матрицы, подлежащие определению. Подставив (76), (77),
(81), (80) в (6)–(13), получаем, что матрицы jµ? должны удовлетворять следующим
соотношениям:
[jµ? , j?? ]? = i(gµ? j?? + g?? jµ? ? gµ? j?? ? g?? jµ? ), (82)
?
? 0, µ = ?,
? (s) ]? = [jµ? , ??? ]? = 0, (83)
1, µ = ? = 0,
[jµ? , ?? gµ? =
?
?1, µ = ? = 0,

т.е. матрицы jµ? должны реализовать конечномерное представление алгебры
? (s)
O(1, 3) и коммутировать с ?µ .
Рассмотрим случай, когда jµ? образуют неприводимое представление D(j, 0)
алгебры O(1, 3). Это означает, что
(abc) — цикл (1, 2, 3),
jab = ijc , j0a = ija ,
(84)
2
[ja , jb ]? = ijc , ja = j(j + 1).
Тогда из (81), (83) по теореме Клебша–Гордона заключаем, что матрицы Sµ? дол-
жны реализовать представление
[D(1/2, 0) ? D(0, 1/2)] ? D(j, 0) = D(j + 1/2, 0) ? D(j ? 1/2, 0) ? D(j, 1/2).(85)
При редукции (85) по представлениям подгруппы O(3) ? O(1, 3) получаем пред-
ставление
D(j + 1/2) ? D(j + 1/2) ? D(j ? 1/2) ? D(j ? 1/2), (86)
что соответствует двум возможным значениям спина
s2 = s ? 1 = j ? 1/2.
и (87)
s1 = s = j + 1/2
458 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Нетрудно подсчитать, что размерность матриц Sµ? , входящих в представле-
? (s)
ние (85), равна 8s ? 8s; такова же должна быть размерность матриц ?µ из (80),
(81). При этом волновая функция ?(t, x) удовлетворяющая уравнению (1) с га-
мильтонианом (75), имеет 8s компонент. Можно показать, что если матрицы jµ?
из (81) образуют неприводимое представление D(j1 , j2 ) алгебры O(1, 3), где j1 = 0
и j2 = 0, или приводимое представление этой алгебры, то при заданном фиксиро-
ванном s размерность матриц Sµ? всегда будет больше, чем 8s ? 8s.
Таким образом, гамильтониан (76) и генераторы (77) удовлетворяют условиям
пуанкаре-инвариантности (6)–(14), а волновая функция ?(t, x) имеет минималь-
? (s)
ное число компонент тогда и только тогда, когда матрицы ?µ в (76) реализуют
8s-рядное представление алгебры Клиффорда (79), а матрицы Sµ? в (77) имеют
вид (80)–(84), где j = s ? 1/2.
Уравнение (1) с гамильтонианом (76) описывает частицу, спин которой может
принимать два значения (87). Для того чтобы получить описание частицы с фи-
ксированным спином s, на волновую функцию ?(t, x) следует наложить пуанкаре-
инвариантное дополнительное условие, исключающее лишние компоненты, кото-
рые соответствуют значению спина s2 = s ? 1. Такое дополнительное условие
всегда можно выбрать в виде (13):

Wµ W µ ?(t, x) = m2 s(s + 1)?(t, x). (88)

Эквивалентной формой записи условия (88) служит формула
? (89)
Ps ? = ?,
?
где Ps — оператор проектирования на подпространство, соответствующее фикси-
рованному спину:

1 1
? Wµ W µ ? s(s ? 1) . (90)
Ps = 2
2s m
?
Используя явный вид генераторов Pµ , Jµ? (77), получаем проектор Ps в форме
(s)
?
Ps = Ps + 1 ? ?4 ?(s) pµ , Ps (91)
/2m,
µ
?

где введены обозначения
? (s) ? (s) (s) (s) (s) (s) (s) (s)
?
?(s) = ?0 ?(s) , ? 0 = ?0 , ?4 = i?0 ?1 ?2 ?3 ,
a a
3 (92)
1
Sab ? 2s(s ? 1) ,
2 2
Ps = Sab = Sab Sab .
4s
a,b=1

Таким образом, получены уравнения движения свободной релятивистской
частицы с произвольным спином в виде:
? (s) (s)
Hs = ?0 ?(s) pa + ?0 m, (93)
i ? = Hs ?, a
?t
? (94)
Ps ? = ?.
Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного спина 459

Отметим, что выражения (93), (94) можно записать в явно ковариантной фор-
ме [39]:

?(s) pµ ? m ? = 0, (95)
µ

(s)
[Sµ? S µ? ? 4s(s ? 1)] ? = 16ms?.
?(s) pµ + m (96)
1 + ?4
µ

(s)
Уравнение (95) получается из (93) простым умножением на ?0 , а уравнение (96)
сводится к (94), если принять во внимание тождество
(s) (s)
Ps ? 1 + ?4 [Sµ? S µ? ? 4s(s ? 1)] /8s. (97)
1 + ?4

Полученные результаты можно сформулировать следующим образом.
Теорема 3. Системы уравнений (93), (94) и (95), (96) пуанкаре-инвариантны
и описывают свободное движение частицы с фиксированным спином s и мас-
сой m.
Система уравнений (95), (96) имеет ряд преимуществ перед другими изве-
стными уравнениями для частиц с произвольным спином [3–17]. Действительно,
уравнения (95), (96) имеют достаточно простую форму, которая не усложняется с
ростом спина (алгебра ?-матриц, безусловно, проще алгебры матриц, входящих в
другие известные в литературе уравнения для высших спинов); предельный пере-
ход m > 0 позволяет получить из (95), (96) уравнения для безмассовых частиц
(см. разд. 2), в то время как уравнения Кеммера–Деффина и Баба не допускают
такого перехода [60]; наконец, как будет показано ниже, уравнения (95), (96) до-
пускают непротиворечивое обобщение для частиц, взаимодействующих с внешним
электромагнитным полем.
Отметим, что в работах [61, 62] также предлагались 8s–компонентные диф-
ференциальные уравнения первого порядка, описывающие движение свободной
частицы с произвольным спином s и массой m. Однако системы уравнений, по-
лученные в работах [61, 62], несовместны при учете взаимодействия частицы с
внешним полем.
Конечные преобразования операторов координаты и спина
Задание явного вида генераторов Ql {Pµ , Jµ? } (l = 1, 2, . . . , 10) группы Пуан-
каре однозначно определяет закон преобразования волновой функции при переходе
к новой инерциальной системе координат:
?(t, x) > ? (t, x) = exp(iQl ?l )?(t, x), (98)
где ?l — параметры преобразования. При этом операторы физических величин
(координаты, спина, импульса и т.п.) преобразуются следующим образом:
? ? ?
N > N = exp(iQl ?l )N exp(?iQl ?l ). (99)
Формула (99) в принципе дает исчерпывающий ответ о связи операторов дина-
мических переменных в старой и новой системах координат и в случае, когда гене-
раторы Pµ , Jµ? имеют локально-ковариантную форму (77), конкретные вычисления
с использованием (99) не вызывают никаких затруднений. Однако в представле-
ниях типа (15), (25), когда генераторы J0a не имеют вида суммы коммутирующих
460 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

“спиновой” и “орбитальной” частей, вычисление явного вида преобразованных опе-
?
раторов N является нетривиальной задачей [76].
В этом разделе получен закон преобразования операторов координаты и спина
частицы, генерируемых операторами J0a вида (74). Тем самым, в принципе, решена
задача для произвольного представления вида (25), (69), поскольку генераторы
(94) и (25) связаны преобразованием эквивалентности J0a > V J0a V ?1 , где
III III

S·p
V = 1 + (?1 ? i?2 )(2 ? k1 ) ,
2m
(100)
S·p
V ?1 = 1 ? (?1 ? i?2 )(2 ? k1 ) .
2m
Найдем сначала в явном виде закон конечных преобразований (99) для опера-
тора xa . Для этого воспользуемся тождеством Хаусдорфа–Камбела:
?
{A, B}n
exp(A)B exp(?A) = ,
n! (101)
n=0

{A, B}n = [A, {A, B}n?1 ]? , {A, B}0 = B.
Принимая во внимание тот факт, что генераторы J0a (75) на множестве реше-
ний уравнений (1), (60) можно представить в форме
J0a = x0 pa ? xa p0 + ?a . (102)
где
1 III 1
?a = ? [Hs , xa ]? /2 = i?3 Sa + (?1 ? i?2 ){iPa ? 2i[Sa , S · p]+ },
2 2m (103)
p0 = i?/?x0 = i?/?t,
и полагая B = xa , A = iJ0b vb , где J0b — генераторы (102), а vb — параметры
преобразования Лоренца, получаем по индукции
{A, B}n = va xb vb v n?2 ? (i?1 + ?2 )(?va Sb vb v n?2 + Dn )/m,
(104)
1/2
2 2 2
n = 2k, k = 0, 1, . . . , v = v1 + v 2 + v 3 ,
i?1 + ?2
{A, B}n = x0 va v n?1 + va v n?1 ? 2Dn , (105)
n = 2k + 1,
2m
где
Dn = [Sb vb , Dn?1 ]+ , D1 = [Sb vb , Sa ]+ . (106)
Подставляя (104)–(106) в (101) и используя тождество
?
1 ?abc Sb vc va S b vb
Dn ? Sa ch v + i sh v ? (ch v ? 1) exp(2Sb vb )?Sa ,(107)
v2
n! v
n=1

получаем закон преобразования xa в виде
va xb vb va i?1 + ?2 v a S b vb
(ch v ? 1) + x0 sh v + (ch v ? 1)+
xa = xa +
v2 v2
v m
(108)
va ?abc Sb vc va S b vb
+ sh v + Sa ? Sa ch v + i sh v ? (ch v ? 1) exp(2Sb vb ) .
v2
2v v
Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного спина 461

Для x0 находим аналогичным способом
xb vb i?1 + ?2 2Sb vb
ch v ? exp(2Sb vb ) ? ch v ?
x0 = x0 ch v + sh v . (109)
v 2m v
Из (108), (109) видно, что xµ преобразуются по закону, отличному от преобра-
зований Лоренца для 4-вектора; при этом интервал xµ xµ = x2 ?x2 не сохраняется.
a
0
Следовательно, xµ нельзя выбрать в качестве оператора координаты частицы.
Чтобы определить ковариантный оператор координаты, перейдем к представле-
нию, в котором генераторы J0a (102) имеют локально-ковариантную форму:
?
J0a = x0 pa ? xa p0 + S0a , (110)
S0a = i?3 Sa ,
что достигается посредством преобразования
J0a > J0a = V J0a V ?1 ,
? (111)
где
?1 ? i?2 ?1 ? i?2
V ?1 = 1 ?
(2S · p ? p0 ), (2S · p ? p0 ). (112)
V =1+
2m 2m
В представлении (110) ковариантный оператор координаты можно выбрать в
виде
? (113)
Xµ = xµ .
Используя (112), получаем явный вид этих операторов в исходном представлении
(102):
i?1 + ?2
Xµ = V ?1 Xµ V = xµ +
? (114)
?µ , ?a = Sa , ?0 = 1.
m
При переходе к новой инерциальной системе координат оператор Xµ преобразуется
как 4-вектор:

<< Предыдущая

стр. 105
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>