<< Предыдущая

стр. 106
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

va (vb Xb ) va
(ch v ? 1) + X0 sh v,
Xa = Xa +
v2 v
(115)
(Xb vb )
X0 = X0 ch v + sh v.
v
При этом, очевидно, выполняется
X0 ? Xa = (X0 )2 ? (Xa )2 .
2 2
(116)
Операторы Xµ удовлетворяют каноническим перестановочным соотношениям
(117)
[pµ , X? ]? = igµ? , [Xµ , X? ]? = 0.
При этом, однако
?
Xa = ?[Hs , [Hs , Xa ]? ]? = 0.
III III


В случае s = 1/2 операторы (114) принимают явно ковариантную форму
i
(118)
Xµ = xµ + (1 + ?4 )?µ ,
2m
462 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

где

?a = ?2i?2 Sa , (119)
?4 = ?3 , ?0 = ?1

— матрицы Дирака.
В силу изложенного выше оператор (118) можно выбрать в качестве ковариан-
тного оператора координаты дираковской частицы. Интересно отметить, что при
таком определении оператор скорости
?
Xa = ?i[H1/2 , Xa ]? = (1 + ?4 )?0 pa /m (120)

(где

(121)
H1/2 = ?0 ?a pa + ?0 m

— гамильтониан Дирака) имеет сплошной спектр.
Подчеркнем, что полученный оператор (118) принципиально отличается от опе-
раторов координаты, предложенных Ньютоном и Вигнером [63] и Фолди и Во-
утуйзеном [64]. Это отличие заключается в том, что оператор (118) локален и
преобразуется как ковариантный 4-вектор, в то время как операторы координа-
ты, предложенные в работах [63, 64], принадлежат классу нелокальных интегро-
дифференциальных операторов с нековариантным законом преобразования при пе-
реходе к новой инерциальной системе отсчета.
Приведем без доказательства закон преобразования операторов Sab и явный
вид ковариантного оператора спина ?µ? частицы, описываемой уравнениями (1),
(60) [40, 41]:
J0a vb ? J0b va
vc Jd vd
(ch v ? 1) + sh v ? xa pb + xb pa ,
Sab = Jab ch v + (122)
v2 v
i?1 + ?2
?ab = Sab + Scd pd ,
m
(123)
i?1 + ?2
= i?3 Sbc ? [(2Sd pd ? p0 ), Sbc ]+ ,
?0a
m
где
va xb vb va 1 1
(ch v ? 1) + p0 sh v,
p a = pa + Jd = ?abd Jab , Sd = ?abd Sab ,
v2 v 2 2
где xa , Jab , J0a , Sab — операторы, определенные в (108), (25), (26), (102). По
аналогии с (110)–(115) можно показать, что оператор ?µ? (123) преобразуется, как
ковариантный тензор второго ранга.
Преобразование к каноническому представлению
Генераторы Pµ , Jµ? группы P (1, 3) в каноническом представлении Широкова–
Фолди [18, 20] имеют следующий вид:
?
Pa = pa = ?i
P0 = H k = ?1 E,
k k
,
?xa
(124)
1 ?1 Sab pb
Jab = xa pb ? xb pa + Sab , = tpa ? [xa , P0 ]+ ?
k k k
J0a .
2 E+m
Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного спина 463

Представление (124) реализуется на множестве 2(2s + 1)-компонентных волно-
вых функций ?(t, x), удовлетворяющих уравнению [18]
?
?(t, x) = H k ?(t, x). (125)
i
?t
Поскольку на множествах решений уравнения (1) и уравнения (125) реализуется
одно и то же представление D+ (s) ? D? (s) алгебры P (1, 3), то между волновыми
функциями ? и ? должна существовать связь
?
? = I, II, III, (126)
?(t, x) = Us ?(t, x),
?
где Us — некоторый обратимый оператор, удовлетворяющий соотношениям

Us Jµ? (Us )?1 = Jµ? , Us Pµ (Us )?1 = Pµ .
?? ? k ?? ? k
(127)

Преобразование (126), (127) можно рассматривать как обобщение преобразо-
вания Фолди–Воутуйзена [64] для уравнения Дирака в случае релятивистских
уравнений для частиц произвольного спина.
В работах [30, 37, 40] найден явный вид операторов Us для представлений
(15), (17), (25). Для уравнений, полученных в подходе I, этот оператор задается
формулой [37, 39]

i
I
(128)
Us = exp ?2 ?l ? l ,
2
l

где коэффициенты ?l определяются соотношениями (35), (37), (38); ?l — операто-
ры проектирования (27). В случае, когда гамильтониан частицы с произвольным
спином имеет вид (41), оператор (128) принимает форму [36, 37]
I I
(129)
Us = (E + ?1 Hs )/ 2E(E + m),

а для гамильтонианов (42) оператор (128) имеет вид
S·p p
I
arctg (130)
Us = exp i?2 .
p m
При s = 1/2 операторы (129) и (130) совпадают с оператором Фолди–Воутуйзе-
на [64].
Переход от представления (17) к каноническому осуществляется с помощью
изометрического оператора [30]
(S · p) II
?1 +
E
II II
sech 2 (131)
Us = Us ?,
m p

S · p II (S · p) II
m
?1
II
ch ? + i?2 sh (132)
Us = ?
E p p
II
для случая, когда гамильтониан Hs задается формулой (53).
Наконец, для представления (25) операторы Us имеют вид:
III
(133)
Us = V1 V2 V3 ,
464 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

S·p p
Arcth
V1 = exp ?1 ,
p m
1
[E(1 + ?3 ) + (1 ? ?3 )(m ? 2?2 S · p)],
V2 =
2m
S·p
V3 = 1 + (?1 ? i?2 )(k1 ? 2)
2m
III
для Hs из (60) и
III III III (134)
Us = E + ?1 Hs / 2E (E + [?1 , Hs ]+ /2)

для гамильтонианов (61)–(64). В случае s = 1/2 операторы (131)–(134) также
совпадают с оператором преобразования Фолди–Воутуйзена [64].
Дифференциальные уравнения первого порядка для частицы с произвольным
спином, полученные выше, и генераторы группы Пуанкаре (76), (81) в свою оче-
редь можно привести к канонической форме (124), (125). Это достигается преобра-
зованием, осуществляемым оператором
(s) (s)
?a p a p ?0 ja pa p
? arctg Arcth (135)
Us = exp exp .
2p m p E

Уравнения (93) и (94) в результате преобразования (126), (135) принимают следу-
ющую форму:
? ? (136)
i ? = ?0 E?, ? = Us ?,
?t
12
или (137)
Ps ? = ? S ? = s(s + 1)?,
2 ab
где Ps — проектор, определенный в (92). Из (137), (86), (87) следует, что волновая
функция ?(t, x) имеет 2(2s + 1) отличных от нуля компонент.
Преобразования (126) и (127)–(135) можно использовать, чтобы определить
операторы средней координаты и среднего спина [64] для частицы с произволь-
ным спином. Действительно, в каноническом представлении (124) эти параметры
можно выбрать в виде [64]
k k
(138)
Xa = xa , Sab = Sab .
С помощью преобразования, обратного (126), получаем эти операторы в представ-
лениях (15), (17), (25), (76):
? ?1 ? ? ?1
? ? ? (139)
Xa = Us xa Us , Sab = Us Sab Us .
? ?
Приведем явный вид операторов Xa и Sab , соответствующих гамильтонианам (41),
(42), (93):
1
?I ESab pb E ? ?1 Hs ?m
I I
Xa = xa + + ipa m ?1 Hs ,
2E2 1 1
p
1
(140)
I I
S·p
Hs Hs
?I + pc 2 1 ? ? 1
1 1
Sab 1 = ?1 Sab ;
E p E
Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного спина 465

ESab pb ? i?2 pa S · p
Sa
?I
Xa = xa + ?2 + ,
E 2 (E + m)
E
2
(141)
pc S · p ? Sab p2
Scd pd
?
Sab = Sab + ?2 + ;
2 E E(E + m)

jab pb E ? i?2 pa (p · j) E?ab pb ? ipa (? · p)
Hs ?a ja
?
Xa = xa ? i + ?2 + + ,
E 2 (E + m)
mE E mE(E + m)
(142)
pc (j · p) ? jab p2 pc (? · p) ? ?ab p2
Hs ?cd pd jcd pd
? = Sab ? i
Sab + ?2 + + ,
mE E E(E + m) m(E + m)

где Sa = Sbc , ?a = ?bc , ja = jbc , (a, b, c) — цикл (1, 2, 3).
В заключение сделаем следующие замечания.
1. В работах [65–67] обнаружена двойственная инвариантность уравнений
Максвелла, Дирака, Клейна–Гордона. С одна стороны, эти уравнения инвариан-
тны относительно преобразований Лоренца, сохраняющих квадратичную форму

<< Предыдущая

стр. 106
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>