<< Предыдущая

стр. 107
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

как в конфигурационном пространстве

S 2 (x) = x2 ? x2 = S 2 (x ) = (x0 )2 ? (xa )2 , (143)
0 a

так и в импульсном пространстве

S 2 (p) = p2 ? p2 = S 2 (p ) = (p0 )2 ? (pa )2 . (144)
0 a

С другой стороны, эти уравнения допускают нелокальные преобразования для ко-
ординат (не совпадающие с преобразования Лоренца) и локальные преобразования
Лоренца для импульсов, относительно которых сохраняется форма (144), но не со-
храняем форма (143). Важно подчеркнуть, что при этих преобразованиях время
не изменяется (x0 = x0 ). Этот последний факт, а имено инвариантность урав-
нения Дирака относительно преобразований координат, не изменяющих время и
не сохраняющих квадратичную форму (143), является следствием того [67, 68],
что оператор i?/?t в пространстве решений уравнения (1) имеет такой же спектр,
как и гамильтониан Дирака (121). Спектр оператора (121) лежит, за исключением
интервала (?m, m), на всей действительной оси.
Аналогичная ситуация имеет место и в случае уравнений движения для частиц
произвольного спина. Выведенные нами в подходах I и III уравнения инвариантны
относительно преобразований координат и импульсов, которые сохраняют (144), но
не сохраняют (143). Дифференциальные уравнения первого порядка, выведенные
выше, инвариантны относительно преобразований (143) и (144), сохраняющих обе
формы.
2. Во многих статьях по релятивистским уравнениям движения всякий опе-
ратор, диагонализующий гамильтониан Дирака или другие гамильтонианы для
частиц со спином s > 1/2, называют обобщенным оператором Фолди–Воутуйзена.
Такое название не вполне последовательно, и нам представляется более логи-
чным называть преобразованиями типа Фолди–Воутуйзена только такие преобра-
зования, которые диагонализуют гамильтониан и одновременно приводят опера-
торы алгебры Пуанкаре Pµ , Jµ? к представлению Фолди (124). Если это после-
днее условие не накладывается, то существует очень много (континуум) операто-
ров, которые можно использовать для диагонализации гамильтониана. Операторы,
466 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

приведенные нами в (128)–(135), являются обобщенными операторами Фолди–
Воутуйзена в указанном выше смысле.
Примером оператора, диагонализирующего гамильтониан Дирака, но не приво-
дящего генераторы Jµ? к форме Фолди–Широкова, может служить оператор [68]:
v
V = 1 + ?0 HD /(HD )1/2 / 2, HD = ?0 ?a pa + ?0 ?4 m.

В этом случае
Jab = V Jab V ?1 = xa pb ? xb pa + Sab ,
J0a = V J0a V ?1 = x0 pa ? ?0 (xa E + Exa )/2 + ?0 (Sab pb + S4a m)/E,
S4a = i?4 ?a /2.

2. Уравнения для безмассовых частиц
Уравнениям для частиц с нулевой массой посвящено большое количество ра-
бот, опубликованных в последние годы [51–54]. В этих работах были предложены
различные уравнения для таких частиц и в то же время описаны не все возможные
неэквивалентные уравнения такого класса. Здесь, основываясь на результатах ра-
бот [45–48], опишем все неэквивалентные в рамках группы Пуанкаре уравнения
для безмассовых частиц и исследуем их свойства при P -, C- и T -преобразованиях.
Уравнение типа Вейля для частиц произвольного спина
Хорошо известно, что уравнение Вейля для нейтрино [69] эквивалентно урав-
нению Дирака (с m = 0), если на решения последнего наложить пуанкаре-инва-
риантное дополнительное условие
(s)
1 ? ?4 (145)
? = 0.

Здесь получим уравнение типа Вейля для частиц произвольного спина, исходя из
уравнений (95), (96).
Систему уравнений (95), (96) для случая m = 0 можно записать в виде
? (s)
? = ?0 ?(s) pa ?,
i a
?t
(146)
? (s) (s)
i ? ?0 ?(s) pa 1 + ?4 [Sµ? S µ? ? 4s(s ? 1)] ? = 0.
a
?t
Из явного вида генераторов группы P (1, 3) (77), (80), (82), (83 следует, что
(s)
при m = 0 оператор 1 ? ?4 коммутирует с Pµ , Jµ? и, следовательно, урав-
нение (145) пуанкаре-инвариантно для любого значения спина. Добавляя усло-
(s)
вие (145) к уравнения (146) и выбирая матрицы ?µ в виде
0 I I 0 0 2?a
(s) (s)
?(s) = i , (147)
?0 = , ?4 = ,
?I ?2?a
a
I 0 0 0
где I и 0 — 4s-рядные единичная и нулевая матрицы; ?a — 4s-рядные матрицы,
удовлетворяющие соотношениям
2
(148)
[?a , ?b ]? = i?abc ?c , ?a = 3/4,
a
Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного спина 467

приходим к системе уравнений
?
?(t, x) = 2? · p?(t, x), (149)
i
?t
?
? 2? · p Sab ? 2s(s ? 1) ?(t, x) = 0,
2
(150)
i Sab = jc + ?c ,
?t

где ? — 4s-компонентная волновая функция, связанная с ? соотношением
(s)
(151)
? = 1 + ?4 ?/2.

Матрицы Sab , входящие в (150), согласно (82), (83) имеют следующую структуру:
(152)
Sab = jc + ?c , [jc , ?a ]? = 0,
где матрицы jc с точностью до преобразований эквивалентности задаются соотно-
шениями
ja = s(s ? 1).
2
(153)
[ja , jb ]? = i?abc jc ,
a

Уравнение (149), очевидно, описывает частицы с нулевой массой покоя. Непри-
водимые представления группы Пуанкаре II класса (для Pµ P µ = 0, Pµ = 0) D? (?)
задаются собственными значениями ? и ? инвариантных операторов знака энергии
? = P0 /|P0 | и спиральности ? = Jab Pc /P .
?
a=b=c
Покажем, что система уравнений (149), (150) описывает частицу со спирально-
стью ? = ±s. Обозначим
12
Sab ? s2 = g. (154)
2
Подставляя (154) в (150) и используя (149), получаем после несложных преобра-
зований
? ?
? 2? · p g? = i ? 2? · p, g ? = [g, 2? · p]? ?. (155)
i
?t ?t ?

Принимая во внимание тождества
[g, ? · p]+ = S · p, [f, S · p]? = 0,
g 2 = s2 , (156)
получаем из (155)
S · p? = 2s? · p?. (157)
Из (149), (157), (148) заключаем, что оператор знака энергии ? = 2? · p/p име-
ет на множестве решений уравнений (149), (150) значения ? = ±1, а значения
оператора спиральности ? = S · p/p при этом ? = ±s. Следовательно, на реше-
ниях уравнений (149), (150) реализуется прямая сумма неприводимых представле-
ний D+ (s) ? D? (s) группы Пуанкаре и их можно рассматривать как обобщение
уравнений Вейля на случай частиц с произвольным спином. Ниже покажем, что
уравнения (149), (150) C-, P -, T -инвариантны, но C-, P -неинвариантны.
468 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Рассмотрим примеры уравнений (149), (150) для s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2.
а) s = 1/2. В этом случае, согласно (152), (153),
(158)
Sa = ? a , ja = 0,
где ?a — матрицы размерности 2 ? 2, удовлетворяющие (148). Подставляя (158)
в (149) и (150), убеждаемся, что уравнение (150) обращается в тождество [если
имеет место (149)], а (149) совпадает с уравнением Вейля:
?µ pµ ?(t, x) = 0, (159)
где ?µ — матрицы Паули:
(160)
?a = 2?a , ?0 = I.
б) s = 1. В этом случае матрицы ?a , jb , удовлетворяющие (148), (152), (153), не
умаляя общности, можно выбрать в виде
? ? ? ?
000i 0 0i0
1 ? 0 0 ?i 0 ? 1? 0 0 0 i?
?1 = ? ?, ?2 = ? ?,
2? 0 i 0 0 ? 2 ? ?i 0 0 0 ?
?i 0 0 0 0 ?i 0 0
? ? ? ?
0 ?i 0 0 0 0 0 ?i
1? i 0 0 0? 1 ? 0 0 ?i 0 ?
?3 = ? ?, j1 = ? ?, (161)
2? 0 0 0 i? 2? 0 i 0 0?
0 0 ?i 0 i00 0
? ? ? ?
0 ?i 0 0
00i0
1 ? 0 0 0 ?i ? 1? i 0 0 0 ?
j2 = ? ?, j3 = ? ?.
2 ? ?i 0 0 0 ? 2 ? 0 0 0 ?i ?
0i00 00i0
Обозначая
? ?
?1
? ?2 ?
?=? ? (162)
? ?3 ?
?4
и подставляя (161), (162) в (149), (157), приходим к системе ypaвнений для ?
rot ? = ??/?t, div ? = 0, ?4 = const, (163)
где константу ?4 , не умаляя общности, можно приравнять нулю.
Полагая в (163) ? = H ? iE, где H и E — векторы напряженности магнитного
и электрического полей, приходим к уравнениям Максвелла для электромагни-
тного поля в вакууме. Такая формулировка уравнений Максвелла была впервые
предложена в работах [70, 71].
в) s = 0. Уравнения для бесспиновых и безмассовых частиц можно получить
из (149), (157), (161), если положить там s = 0. Используя обозначение (162),
получаем в этом случае систему уравнений
?4 ??
div ? = i grad ?4 = i (164)
, .
?t ?t
Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного спина 469

Уравнения имеют решения вида

?l (t, x) = kl ?(?) exp[i(kx ? ?t)], k4 = ? = ± ka ,
2 (165)

где ?(?) — произвольная функция, и описывают распространение продольной вол-
ны.
г) s = 3/2. Выбирая матрицы ?a и jb в виде:
? ? ? ?
0 0 0 00 00i 0 0 0
? ? ?0 00 ?
?i
0 0 00 0 0 0
? ? ? ?
? ? ? ?i 0 0 ?
0 i 0 00 0 0 0
j1 = ? ?, j2 = ? ?,
? ? ?0 00 ?
0 0 0 00 0 0 i
? ? ? ?
? ? ?0 00 ?
0 ?i
0 0 0 0 0 0
?i
0 0 0 i0 0 00 0 0
? ? ? ?
0 ?i 0 000 00 0 1 0 0
?i 0 ? ?0 0 ?
0 0 0 0? 0 0 1 0
? ? ?
?0 0 0 0 0? 1? 0 0 ?
0 0 0 0 1
j3 = ? ?, ?1 = ? ?, (166)
?0 0 0 ?i 0 ? 2? 1 0 ?
0 0 0 0 0
? ? ? ?
?0 0 i 0 0? ?0 1 ?
0 0 0 0 0
00 0 000 00 1 0 0 0
? ? ? ?
?i 0
00 0 0 1 00 0 0 0
?0 0 ? ?0 ?
0 ?i 0 ?
0 10 0 0 0
? ? ?
1? 0 0 0 ?i ? 1? 0 ?
0 0 01 0 0 0
?2 = ? ?, ?3 = ? ?
2? i 0 0? 2? 0 ?
?1 0
0 0 0 00 0
? ? ? ?
?0 i 0? ?0 ?
0 ?1
0 0 0 00 0
?1
00 i 0 0 0 0 00 0 0

<< Предыдущая

стр. 107
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>