<< Предыдущая

стр. 108
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


и представляя волновую функцию ? в форме
? ?
?1
?
? 2?
?1
?? = ? ?? ? , (167)
?= , ? = 1, 2,
?2
?3
?

получаем из (166), (167), (149), (150) и (157) уравнение для ?a
?

??
rot ?? = i (168)
,
?t

(?µ )?? pµ ?? = 0. (169)

Таким образом, волновая функция ?a частицы с m = 0 и s = 3/2 удовлетворяет
?
уравнению типа Максвелла (168) по векторному индексу a и уравнению типа
Вейля (169) по спинорному индексу ?.
д) s = 2. Выберем матрицы ?a и jb в виде

1
?
ja = ?a ? I, I ? ?a , (170)
j ?a = ?
2
470 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

?
где I и I — двухрядная и четырехрядная единичные матрицы;
? ? ? ?
v v
0 ? 33
3
0 0 0 0 0
? v3 ? v3
3
? ?
?2
1? 0? 1? 0?
0 2 0
j1 = ? 3 v ?, j2 = ? 3 v ?,
2? 0 3? 2? 0 3?
2 0 2 0
v v
3 3
3 3
0 0 0 0 0 0
3 3
? ?
30 0 0 (171)
1? 0 1 0 0? 01
j3 = ? ?
? 0 0 ?1 0 ? , ?1 = ,
10
2
0 0 0 ?3
0 ?i 1 0
?2 = , ?3 = ,
?1
i0 0

Волновая функция ?(x) имеет, согласно (170), (171), восемь компонент ?k ; ? =
?
1, 2; k = 1, 2, 3, 4, причем матрицы ja действуют только на индекс k, а ?a — на
индекс ?.
Из (149), (156), (157) и (170) получаем уравнения для ?k в виде
?

??k
2
(ja )kk pa ?? = i ? ,
µ
?k k
(172)
(?µ )?? p = 0,
?
3 ?t
которые из изложенного выше можно интерпретировать как уравнения для без-
массовых частиц со спином 2.
Другие типы уравнений для частиц с нулевой массой
Как показано в работе [45], уравнение Вейля не является единственно возмо-
жным пуанкаре-инвариантным двухкомпонентным уравнением для безмассовых
частиц со спином s = 1/2. В работах [45–47] получены все неэквивалентные
уравнения для таких частиц и исследованы их свойства относительно P -, C-,
T -преобразований.
Аналогичная ситуация имеет место и для частиц произвольного спина, т.е.
уравнения (62), (63) не исчерпывают всех неэквивалентных уравнений для безмас-
совых частиц. Получим здесь все возможные (с точностью до эквивалентности)
уравнения для частиц с m = 0 и произвольным спином s.
Будем исходить из следующей системы 8s-компонентных уравнений:
?
? = ? · p?, (173)
i
?t
? ?2
? ? · p Sab ? = 0, (174)
i
?t

?
где ?(t, x) — 8s-компонентная волновая функция; ?a и Sab — матрицы размерно-
сти 8s ? 8s
?2?a
0 Sab 0
? (175)
?a = i , Sab = ,
2?a 0 0 Sab
a матрицы Sab , ?a , по-прежнему, определяются соотношениями (148), (152), (153).
Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного спина 471

Уравнения (173), (174) пуанкаре-инвариантны. Генераторы группы P (1, 3) на
множестве решений уравнений (174), (173) имеют вид:

?
P0 = ? · p, Pa = pa = ?i Jab = xa pb ? xb pa + Sab ,
,
?xa
(176)
i
= x0 pa ? xa p0 + ?a + i?a ,
J0a
2
где

?ja ?I
0 0
(177)
?a = i = ?4 ja , ?4 = i ,
ja 0 I 0

а матрицы ja определены в (152), (153).
Повторяя почти дословно выкладки (154)–(157), нетрудно убедиться, что урав-
нение (174) можно записать в следующей эквивалентной форме:
?
S · p? = ?4 s? · p?. (178)

Из (176), (178) заключаем, что на множестве решений уравнений (173), (174) реа-
лизуется прямая сумма

D+ (s) ? D? (?s) ? D? (s) ? D+ (?s) (179)

неприводимых представлений группы P (1, 3). Таким образом, уравнения (173),
(174) неэквивалентны (177), (178).
Для получения всех других неэквивалентных уравнений для безмассовых ча-
стиц произвольной спиральности воспользуемся тем фактом, что система (173),
(174) не исчерпывает всех пуанкаре-инвариантных уравнений в представлении
(176). Действительно, как и в случае s = 1/2, помимо (174), на волновую функцию
? можно наложить одно из следующих инвариантных дополнительных условий:

L1 ? ? (1 + ??4 ? · p + ? ?4 + ?? ? · p) ? = 0, (180)

L2 ? ? (1 + ??4 )? = 0, (181)

L3 ? ? (1 + ?? · p) ? = 0, (182)
?

L4 ? ? (1 + ??4 ? · p) ? = 0, (183)
?

L5 ? ? (?3 + ?? · p + ? ?4 + ?? ?4 ? · p) ? = 0, (184)
? ?

где

?, ? = ±1. (185)
?
p = p/p,

Уравнения (180)–(185) пуанкаре-инвариантны, поскольку операторы ? · p и ?4 (а ?
значит, и L1 , L2 , . . . , L5 ) коммутируют со всеми генераторами (176) группы P (1, 3).
С другой стороны, эти уравнения исчерпывают все возможные с точностью до
эквивалентности пуанкаре-инвариантные дополнительные условия, которые можно
472 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

наложить на решения системы (173), (174). Действительно, операторы Ln можно
представить в виде:
?? ? ?
L1 = 4P1 P2 , L2 = 2P1 , L3 = 2P2 ,
(186)
?? ??
L5 = ?4 1 ?
?? ??
L4 = 2 P 1 P2 + P1 P2 , P1 P2 ,

где P1 и P2 — операторы проектирования на подпространства D? (s) ? D? (?s) и
? ?

D+ (? , s) ? D? (? , s) соответственно:

?·p ?·p
1 1
? ?
(187)
P1 = 1+? , P2 = 1 + ? ?4 .
2 p 2 p
Из (179), (186), (187) следует, что на решениях уравнений (173), (174) с одним
из дополнительных условий (180)–(184) реализуются следующие представления
группы P (1, 3):

D?? (? s) ? D?? (?? s) ? D? (?? s), (188)

D?? (s) ? D? (?s), (189)

D?? (s) ? D?? (?s), (190)

D+ (??s) ? D? (??s), (191)

D? (? s). (192)

Нетрудно убедиться, что формулы (179), (188)–(192) исчерпывают все возможные
невырожденные прямые суммы неприводимых представлений D? (? s) группы
P (1, 3), откуда и следует вывод, что уравнения (173), (174) с одним из допол-
нительных условий (180)–(184) (и без дополнительных условий) исчерпывают все
возможные (с точностью до эквивалентности) релятивистские уравнения для без-
массовой частицы с произвольным спином s.
Исследуем свойства полученных уравнений относительно P -, C- и T -преобра-
зований. Для этого воспользуемся следующей схемой [46]:

C
D+ (s)  - D? (s)

P6 6 T- +
D+ (? s) 
P D (? s)
? ?
D (?s)  - D? (?s)
+
C
P
где символ D+ (s)-D+ (?s) означает, что операция пространственной инверсии
преобразует пространство неприводимого D? (s) представления в пространство
D?? (s) представления и т.д.
Из (179), (188)–(192) заключаем, что уравнения (173), (174) P -, C-, T -инвари-
антны; уравнения (173), (174) с дополнительным условием (180) T -инвариантны,
но C-, P -, CP -неинвариантны; уравнения (173), (174), (181) T -, CP -инвариантны,
Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного спина 473

но C-, P -неинвариантны; уравнения (173), (174), (182) P -, T -инвариантны, но C-
неинвариантны; уравнения (173), (174), (183) C-, T -инвариантны, но P -неинва-
риантны; наконец, уравнения (173), (174), (184) T -инвариантны, но P -, C-, P C-
неинвариантны.
Отметим, что уравнения (173), (174) с одним из дополнительных условий (180),
(183) или (184) неинвариантны относительно P CT - и P T -преобразований. Этот
факт не противоречит известной CP T -теореме Паули–Людерса, поскольку допол-
нительные условия (180), (183), (184) в x-пространстве нелокальны.
В заключение этого раздела приведем явный вид всех возможных неэквивален-
тных уравнений для безмассовых частиц со спином s = 1. Выбирая матрицы ?a и
ja из (175), (152) в форме (161) и представляя волновую функцию ? в виде

?
(193)
?= ,
?
где
? ? ? ?
?1 ?1
?? ? ?? ?
? = ? 2 ?, ? = ? 2 ?, (194)
? ?3 ? ? ?3 ?
?4 ?4

<< Предыдущая

стр. 108
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>