<< Предыдущая

стр. 109
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?µ и ?µ — однокомпонентные функции, приходим, согласно (173), (174), (178), к
уравнениям для ? и ? в форме:

rot ? = ???/?t, div ? = 0,
(195)
rot ? = ??/?t, div ? = 0, ?4 = c1 , ?4 = c2 ,

где c1 и c2 — константы, которые, не умаляя общности, можно считать равными
нулю.
Уравнения (195) совпадают с уравнениями Максвелла для электромагнитного
поля в вакууме. Найдем теперь явный вид дополнительных условий (180)–(185),
которые можно наложить на решения уравнений (195), не нарушив их ковариан-
тности. Подставляя (152), (161), (175) в (180)–(185), получаем

p(? ? i? ?) = ?? rot (? ? i? ?), (196)

(197)
? = i??,

rot ? = ?i?p?,
rot ? = i?p?, (198)

rot ? = ??p?, rot ? = ??p?, (199)

p(?? + i? ?) = ?? rot (? ? i? ?), (200)
p(? + i? ?) = 0.

Таким образом, помимо уравнений Максвелла (195) для безмассовых частиц со
спином 1 существует еще пять типов пуанкаре-инвариантных уравнений, которые
имеют вид (195) с одним из дополнительных условий (196)–(200). Подчеркнем, что
все дополнительные условия (196)–(200), за исключением (197), в x-пространстве
имеют форму нелокальных интегродифференциальных уравнений.
474 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

3. Частица с произвольным спином
во внешнем электромагнитном поле
Уравнения движения свободных релятивистских частиц представляют реаль-
ный физический интерес только в том случае, если их можно использовать для
решения конкретных задач физики. Одной из самых важных является задача о
движении заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле. Как уже го-
ворилось, многие из широко известных релятивистских уравнений приводят при
решении этой задачи к большим трудностям.
В настоящем разделе задача о движении частицы с произвольным спином во
внешнем электромагнитном поле решается с использованием уравнений, получен-
ных выше. При этом оказывается, что уравнения (93)–(96) не приводят к наруше-
нию причинности.
Введение взаимодействия в уравнения без лишних компонент
Обобщение уравнений без лишних компонент, полученных выше, для заряжен-
ных частиц во внешнем поле представляет собой довольно трудную задачу ввиду
I II
сложной зависимости гамильтонианов Hs , Hs импульсов. Здесь эту задачу решим
в предположении, что импульсы частиц малы по сравнению с их массами.
I II
Для p m гамильтонианы Hs (42) и Hs (53) можно представить в виде ряда
по степеням 1/m (комптоновской длины волны) [38, 39]:
? ?
1
Hs = ?1 ?m + dab (pa pb + pb pa )? +
?
4m
a,b
(201)
1 1
ba pa + 2 h? (p) + O
+?3 ,
m3
m
a

где
dab = ?ab /4 ? Sa Sb ,
? = I, II, ba = 2Sa ,
2 (202)
hI (p) = ?2hII (p) = Sa dbc pa pb pc , a, b, c = 1, 2, 3.
3
a,b,c

I II
Как видно из (201), гамильтонианы Hs и Hs совпадают с точностью до членов
порядка 1/m и являются полиномами по pa .
Для того чтобы перейти к описанию заряженной частицы во внешнем электро-
магнитном поле, сделаем в (201) обычную замену pµ > ?µ = pµ ? eAµ , где e
— заряд частицы; Aµ — вектор-потенциал электромагнитного поля. В результате
придем к следующему уравнению:
?
?
Hs (?)?(t, x) = i ?(t, x),
?t
?2 2 e
? (S · ?)2 ? S · H + eA0 +
?
Hs (?) = ?1 m+ (203)
2m m m
h? (?) 1
+?3 2S · ? + ?2 = 2
+O , ?a ,
m2 m3 a

где H = rot A — вектор напряженности магнитного поля.
Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного спина 475

Можно убедиться непосредственно, что собственные значения гамильтониана
(203) могут быть как положительными, так и отрицательными. Из (203) получим
уравнение для состояний с положительной энергией, подобно тому, как это было
сделано Фолди и Воутуйзеном [64] для дираковской частицы с s = 1/2. Это дости-
гается с помощью серии приближенных унитарных преобразований, приводящих
гамильтониан (203) к виду, не содержащему “нечетных” (не коммутирующих с ?1 )
членов.
?
Подвергнем гамильтониан Hs (?) и волновую функцию ?(t, x) преобразова-
нию:
?U +
Hs (?) > Hs ? (?)U ?1 ? i
? > ? = U ?, ?
(204)
U.
?t
Используя оператор

U1 = exp(?i?2 S · ?/m), (205)

получаем
S·H
?2
?e + eA0 ?
?
Hs (?) = ?1 m+
2m m
eS · E h ? (?)
e 1
?i?2 [S · E, S · ?]? + ?3
+ +O ,
2 2 m3
m 2m m (206)
4
h ? (?) = h? (?) ? [? 2 , (S · ?)]+ + e[S · H, S · ?]+ + (S · ?)3 ,
3
?A0 ?Aa
Ea = ? ? .
?xa ?t
Гамильтониан Hs ? (?) является “четным” с точностью до членов порядка
1/m0 . В свою очередь, унитарный оператор
S·E
(207)
U2 = exp i?3 e
2m2
приводит Hs ? (?) к следующему виду (“четному” с точностью до членов порядка
1/m):
S·H
?2 2
?e [S · E, S · ?]? +
Hs ? (?) = ?1 m + + eA0 +
2m2
2m m
(208)
1 1 e?
(S · E).
?
h ? (?) = h ? (?) +
+?3 2 h (?) + O ,
m3
m 2 ?t
Наконец, с помощью оператора
?
h (?)
U3 = exp ?i?2 (209)
m3
получаем из (208) гамильтониан [38, 39]
S·H
?2 e
?e [S · E, S · ?]? , (210)
Hs (?) = ?1 m + + eA0 +
2m2
2m m
476 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

“четный” с точностью до членов порядка 1/m2 .
Таким образом, три последовательных преобразования, осуществляемых опера-
торами (205), (207), (209), приводят уравнение (203) к виду
?
(211)
Hs (?)?(t, x) = i ?(t, x), ?(t, x) = U3 U2 U1 ?(t, x).
?t
Оператор Hs в приближении 1/m2 коммутирует с ?1 . На множестве функций
?+ , удовлетворяющих условию
?1 ?+ = ?+ , (212)
гамильтониан (211) положительно определен и равен [38]:
S·H
?2
?e
+
Hs (?)? = m+ + eA0 +
2m m
(213)
e ?+
+ 2 [S · E, S · ?]? ?+ = i ? .
2m ?t
Формула (213) представляет собой обобщение уравнения Паули для частицы
со спином 1/2 на случай частицы с произвольным спином.
Для того чтобы выяснить физический смысл входящих в (213) слагаемых, во-
спользуемся тождеством
s(s + 1) div E
e e ?Ea
[S · E, S · ?]? ? ?e ?
Q
2 ab ?x
2 6m2
2m 12m (214)
b
e
? 2 S · (E ? p ? p ? E); Qab = 3[Sa , Sb ]+ ? 2?ab s(s + 1),
4m
Согласно (213), (214), квазирелятивистский гамильтониан Hs (?) частицы с прои-
звольным спином во внешнем электромагнитном поле включает члены, соответ-
e 1 ?Ea
ствующие дипольному ? S · H , квадрупольному ? и спин-
Qab
12m2
m ?xb
e
орбитальному ? 2 S · (p ? E ? E ? p) взаимодействиям.
4m
Таким образом, используя полученные выше уравнения для свободных частиц
произвольного спина, получим квазирелятивистские уравнения (213) для заряжен-
ных частиц во внешнем электромагнитном поле. В рассматриваемом приближении
1/m2 гамильтонианы Hs (?) и Hs (?) (203) эквивалентны Hs (?) (213). Одна-
I
ко операторы Hs определены в гильбертовом пространстве, в котором скалярное
I
произведение имеет сложную структуру (4), поэтому гамильтонианы Hs (?) пред-
ставляются более удобными для описания движения заряженной частицы во вне-
шнем поле.
Для s = 1/2 формула (213) совпадает с уравнением, полученным Фолди и Во-
утуйзеном [64]. При s = 1 (213) имеет такую же структуру, как и уравнение,
полученное в работе [72], но дополнительно учитывает квадрупольное взаимодей-
ствие частицы с полем.
Введение взаимодействия в дифференциальные уравнения движения
Полученные выше дифференциальные уравнения движения свободных частиц
произвольного спина допускают непротиворечивое обобщение для заряженных ча-
стиц во внешнем электромагнитном поле. Ниже будет осуществлено такое обоб-
щение и будет показано, что при этом не возникает парадоксов с нарушением
Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного спина 477

причинности, которые имеют место в других релятивистских уравнениях для ча-
стиц со спином s = 1/2 [23, 24].
Будем исходить из системы уравнений первого порядка (93), (94) или (95), (96).
Можно показать, что введение минимального электромагнитного взаимодействия
непосредственно в уравнения (93), (94) или в явно ковариантную систему (95),
(96) приводит к тому, что как уравнения (93), (94), так и уравнения (95), (96)
становятся несовместными. Чтобы преодолеть эту трудность, запишем (93), (94) в
виде единого уравнения
?
? ?
P s i ? Hs + ? 1 ? Ps (215)
?(t, x) = 0,
?t
где ? — произвольный параметр. Эквивалентность (215) и (93), (94) следует из
соотношений
? ? ?? ?
? Hs , P s (216)
i = 0, Ps Ps = Ps .
?t ?

Явно ковариантную систему (95), (96) также можно представить в виде одного
уравнения

Bs ?(s) pµ ? m + ?(1 ? Bs ) ? = 0,
µ
(217)
1 (s)

<< Предыдущая

стр. 109
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>