<< Предыдущая

стр. 11
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

? ?
2? ?i
1
1
i=1
(3)
dµ2 dµ2
s?? (8)
T (?, t, u) = d? ,
1 2
{D(3) }3
a0 0
b0


D(3) = ?1 (t ? µ2 ) + ?2 (? ? µ2 ) ? ?3 m2 + ?4 (t ? m2 ) + ?5 (? ? m2 )?
? ?
s s
1 2 1 2 3
(9)
?(?1 + ?4 ) t ? (?2 + ?5 ) s + (?2 + ?5 )(?1 + ?4 )(? ? s ? t).
2?
u??
2
?

s??
Для нахождения особенностей T (3) (?, t, u) используем уравнения Ландау

D(3) (?, t, u, ?) = 0,
s?? (10.1)

5
s??
?D(3) (?, t, u, ?)
(10.2)
= 0, i = 1, . . . , 5, ?1 = 1.
??i i=1


???
Выразив из уравнений (10.2) ?5 и ?4 через s, t, u, ?1 , ?2 , ?3 и подставив их
в (10.1), получим уравнение поверхности сингулярностей, которая, вообще говоря,
не совпадает с поверхностью Ландау (каждая точка поверхности Ландау принадле-
жит этой поверхности, но обратное утверждение неверно). Используя уравнение
s??
этой поверхности, покажем, что T (3) (?, t, u) не имеет особенностей, если s2 = 0,
?
? = 0, а u < 0.
t ?
Об аналитических свойствах некоторых вершинных амплитуд 49

Уравнение поверхности сингулярностей имеет вид:
(3)
s? ? ?
?1 = a?2 + 2b?t + ct2 + 2d? + 2et + f = 0,
s s
b = ??3 ,
2 2
a = c = ?3 ,
d = ??3 [m2 ? m2 + u(1 ? 2?1 ? ?3 )] + 2(1 ? ?1 ? ?3 )?3 u,
? ?
3 2
(11)
e = ?3 [m2 ? m2 + u(1 ? 2?1 ? ?3 )] + 2?1 ?3 u,
? ?
3 2
f = [m3 + u(1 ? 2?1 ? ?3 ) ? m2 ] +
2 22
?
+4?{??1 µ2 ? ?2 µ2 ? ?3 m2 + ?2 m2 + (1 ? ?1 ? ?3 )(?1 u ? m2 )}.
u ?
1 2 1 3 3

Далее, повторяя рассуждения раздела 2, находим, что только те комплексные
??
точки s, t могут быть особыми, для которых

? (12)
t2 = ?1 s2 ,
?

а

s?
?1 (?1 , t1 , ?)
s2 = ± v v 2, (13)
?
( a + ?1 c)
где
?
a?1 + bt1 + d
s
?1 = ?
?1 = a?2 + 2b?1 t1 + ct2 + 2d?1 + 2et1 + f,
s? ?1 ? (14)
s1 s .
?
ct1 + b?1 + e
s
(3)
Для µ2 ? m2 парабола ?1 = 0 (линия пересечения поверхности ?1 с плоско-
2 3
?1 ) лежит всегда в области, где s1 ? 0, t1 ? 0. Поскольку поверхность
?
стью s1 , t
? ?
(3)
сингулярностей ?1 “находится над областью C”, то это дает возможность ана-
?
s??
литически продолжить амплитуду T (3) (?, t, u), как и раньше, из C на все другие
s? ?
точки пространства (?, t), для которых s2 = 0 и t2 = 0.
?
Мы не рассматриваем случаев, когда некоторые из параметров ? равны нулю,
так как при этом сохраняются все сформулированные выше выводы.
До сих пор предполагалось, что u < 0. Отметим, что такие же результаты
?
получаются и для u > 0, если при этом
?

u ? m2 ? m2
?
< ?1.
4 5
(15)
2m4 m5

Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, нужно вместо (7) ис-
2
пользовать модифицированное представление Мандельстама для функции V (q2 ,
2
q3 , u), которое получено в работе [2] (см. формулу (22)).
?
Из приведенного следует, что если предположить справедливость представле-
ния (7) для диаграмм лесничного типа с n внутренними линиями, то амплитуда
Фейнмана для диаграммы такого же типа с n + 1 внутренней линией не имеет
комплексных особенностей.
4. В этом разделе рассматриваются особенности амплитуды Фейнмана диа-
граммы рис. 5, когда массы виртуальных и реальных частиц одинаковы, за исклю-
чением массы частицы с импульсом p1 .
50 В.И. Фущич

Вклад в амплитуду рассеяния от этой диаграммы запишем в виде
V (p2 , q1 , q1 )
22
1
(4)
T (s, t) = dq1 ,
4
?
2 m2
qi (16)
i
i=1

s = (p1 + p2 )2 , t = (p1 + p3 )2 .
Используя интегральное представление (7), как и в разделе 3, можно показать,
что
6
?(p2 , µ2 , µ2 )? 1 ?
? ? ?i
1
1 1 2
i=1
T (4) (s, t) = dµ2 dµ2 (17)
d? ,
1 2
{D (4) (?; s, t)}4
a0 0
b0


D(4) (s, t; ?) = ?6 (?2 + ?4 )s + ?5 (?1 + ?3 )t ? ?1 µ2 ?
1
??2 (p1 ? µ2 ) ? ?3 m + ?4 (p1 ? m ) ? ?5 m ? (?2 + ?4 )2 p2 ?
2 2 2 2 2 2 (18)
1
??6 m ? ?5 (?2 + ?4 )(p1 ? m ) ? ?6 (?2 + ?4 )(p1 + m ).
22 2 2 2


Доказательство отсутствия комплексных особенностей в T (4) (s, t) сводится к
повторению выкладок раздела 3, и поэтому мы его здесь не приводим. Однако
(4)
отметим, что амплитуда Tred (s, t) диаграммы, которая получается из диаграммы
рис. 5 “стягиванием” линий (2, 3) и (5, 6) в точку, имеет такой же знаменатель
(4)
Dred (?; s, t), как и амплитуда диаграммы четвертого порядка (квадрат) с перемен-
ными массами µ1 и µ2 . Аналитические свойства этой диаграммы детально изучены
Тарским и Владимировым [7, 8]. Воспользовавшись их результатами, легко убе-
(4)
диться, что Tred (s, t) не имеет комплексных особенностей, если s2 = Im s = 0,
t2 = Im t = 0.
Таким образом, знание аналитических свойств вершинных амплитуд, а точнее,
их интегральных представлений (Мандельстама или Бергмана–Вейля [3]) дает во-
зможность изучать аналитические свойства амплитуд рассеяния и рождения, со-
ответствующих определенным классам диаграмм, в произвольном порядке теории
возмущений.

1. Yаmаmоtо K., Prog. Theor. Phys., 1961, 25, 720.
2. Fronsdal C., Norton R., J. Math. Phys., 1963, 5, 100.
3. Симонов Ю.А., ЖЭТФ, 1962, 43, 2263.
4. Tодоров И., Препринт ОИЯИ (докторск. диссерт.), 1963.
5. Коломыцев В.И., Фущич В.И., УМЖ, 1964, № 4.
6. Nakanisi N., Sup. Prog. Theor. Phys., 1961, № 18, 1.
7. Tarski J., J. Math. Phys., 1960, 1, 149.
8. Владимиров В.С., УМЖ, 1960, № 2.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 51–52.

Унитарная симметрия и группа Пуанкаре
В.И. ФУЩИЧ

В настоящее время в ряде работ обсуждается вопрос об объединении группы Пу-
анкаре P с группой внутренних симметрий S (простая группа Ли) [1–5]. При
этом прежде всего следует выяснить, не является ли данное объединение триви-
альным. Наиболее убедительный результат в этом направлении получен Мише-
лем [3]. Однако и этот результат получен при довольно жестких ограничениях на
группу G, являющуюся объединением групп P и S (предполагается, что каждый
элемент g ? G имеет вид g = sp, s ? S, p ? P ). Но, как это видно из работ [4, 5] и
др., при объединении двух групп G ? P S содержит элементы, которые непредста-
вимы в виде sp. Алгебра Ли такой группы всегда содержит генераторы, которые не
принадлежат ни алгебре P , ни S. Поэтому естественно и в этом случае выяснить
вопрос о тривиальности или не тривиальности данного объединения.
В этой заметке найдены условия, при которых алгебра, содержащая, кроме
генераторов алгебр P и S, добавочные генераторы, является тривиальным объеди-
нением P и S.
Пусть генераторами алгебры G являются генераторы алгебр P и S, а также
генераторы Hl и E? , удовлетворяющие условиям:
(1)
[Hl , Hm ] = 0 (l, m = 1, 2, . . . , k),

(2)
E? , E? = 0 (?, ? = 1, 2, . . . , r).

Кроме того, будем предполагать, что для произвольного ? можно указать такое
l , при котором

для (3)
E? , Hm = 0 m = l, E? , Hl = 0.

Генераторы алгебр P и S удовлетворяют условиям:
[P? , P? ] = ?? P? (4)
(?, ?, ? = 1, 2, . . . , 10),
??

[Hi , Hj ] = 0 (i, j = 1, 2, . . . , n), [Hi , E? ] = ri (?)E? ,

или (5)
[E? , E?? ]? = ri (?)Hi [E? , E?? ] ri (?) = Hi ,
i по простым
корням


(? = ??), (6)
[E? , E? ] = N?? E?+? [Hi , P? ] = 0.

Докажем, что [E? , P? ] = 0, т.е. объединение G будет физически тривиальным и
никаких массовых формул нельзя получить в одном из следующих трех случаев:

1. [Hj , Hl ] = Am , ?
(7)
P? , E? = B?? E? , E? , E? = 0.
jl ? ?

ЖЭТФ, Письма в редакцию, 1966, 2, № 4, С. 157–160.
52 В.И. Фущич

Доказательство. При указанных допущениях о группе G

<< Предыдущая

стр. 11
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>