<< Предыдущая

стр. 110
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

? 4s(s ? 1)] ,
?(s) + m µ?
Bs = 1+ ?4 [Sµ? S
µ
16ms
поскольку

Bs , ?(s) pµ ? m (218)
? = 0, Bs Bs = Bs .
µ
?

Сделаем в (215) и (217) замену pµ > ?µ = pµ ?eAµ , где Aµ — вектор-потенциал
электромагнитного поля, и покажем, что такая замена позволяет получить систе-
му уравнений первого порядка, описывающих движение заряженной частицы во
внешнем электромагнитном поле. Поскольку уравнения (215) и (217) после замены
pµ > ?µ в конечном итоге приводят к одинаковым результатам, рассмотрим только
уравнение (215), которое принимает вид

? ?
Ps (?)[?0 ? Hs (?)] + ? 1 ? Ps (?) ?(t, x) = 0, (219)

где
(s) (s) ?
Ps (x) = Ps + (1 ? ?4 )[?µ ?µ , Ps ]? /2m. (220)
Hs (?) = ?0 ?(s) ?a + ?0 m,
a

? ?
Умножая (219) на Ps (?) и 1 ? Ps (?) и используя тождества

? ?
?0 ? Hs (?), Ps (?) Ps (?) ?
?

e (s) 1 (221)
(s) ?
? ?0 1 ? ? 4 Sµ? ? i?(s) ?(s) F µ? Ps (?),
µ ?
4m s
? ? ?
Ps (?) · Ps (?) = Ps (?), eFµ? = ?i[?µ , ?? ],
478 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

приходим к системе уравнений
? (s) (s)
Hs (?, ?0 ) = ?0 ?(s) ?a + ?0 m+
i ? = Hs (?, ?0 )?, a
?t
(222)
e (s) 1
(s)
?0 1 ? ? 4 Sµ? ? i?(s) ?(s) F µ? ,
+eA0 + µ ?
4m s
(s)
[?µ ? µ , Ps ]?
(s)
Ps + 1 ? (223)
?4 ? = ?,
2m

которую, как и (93), (94), можно записать в эквивалентной явно ковариантной
форме:
e 1
(s)
?(s) ? µ ? m + 1 ? ?4 Sµ? ? i?(s) ?(s) F µ? ? = 0, (224)
µ µ ?
4m s

(s)
[Sµ? S µ? ? 4s(s ? 1)] ? = 16ms?.
m + ?(s) ? µ (225)
1 + ?4
µ


Покажем, что уравнения (222), (223) [или (224), (225)] не приводят к пара-
доксам с нарушением причинности. Для этого преобразуем (224), (225) к та-
кой форме, чтобы каждое решение системы удовлетворяло уравнению Зайцева–
Фейнмана–Гелл-Мана [77], которое, как известно [12], описывает причинное рас-
пространение волн. Это достигается переходом к новой волновой функции

(226)
?(t, x) = V ?(t, x),

где V — обратимый оператор:
?? (s) µ ?? (s) µ 1
V ?1 = 1 ? ?± =
(s)
1 ± ?4 . (227)
V =1+ ? ?, ? ?,
mµ mµ 2
Подставляя (226), (227) в (223), (224) и используя тождество
2
? ?µ ? µ + ie?(s) ?(s) F µ? /2,
?(s) ? µ (228)
µ µ ?

получаем уравнения для ?(t, x):
e 1
? m ?(t, x) = 0,
?+ ?(s) ? µ + Sµ? F µ? + ?µ ? µ (229)
µ
2sm m

12
или (230)
Ps ? = 0 S ? = s(s + 1)?.
2 ab
Наконец, умножая (229) слева на оператор
e 1
Sµ? F µ? ? ?µ ? µ ?? ,
F = m + ?(s) ? µ ? (231)
µ
2sm m
где

(232)
Sab = Sab , S0a = iSbc ,
Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного спина 479

приходим к уравнению
e
?µ ? µ ? m2 ? Sµ? F µ? ?(t, x) = 0. (233)
2s
Формулы (230), (232), (233) задают уравнение Зайцева–Фейнмана–Гелл-Мана
для частицы с произвольным спином. Решения ?(t, x) этого уравнения описывают
причинное распространение волн с досветовой скоростью [12]. Таковы же, очеви-
дно, свойства решений ?(t, x) уравнений (222), (223) и (224), (225), связанных с
?(t, x) преобразованием эквивалентности (226).
К этому результату можно прийти и другим путем, воспользовавшись критери-
ем Вайтмана [25]. Умножая (224) на (?µ ? µ + m) получаем уравнение

(pµ pµ + B)?(t, x) = 0, (234)

где B — дифференциальный оператор, содержащий производные не выше первого
порядка и равный в отсутствие взаимодействия ?m2 . Как показано в работе [25],
это означает, что ?(t, x) описывает распространение волн с досветовой скоростью.
Таким образом, приходим к выводу: уравнения (224), (225) описывают дви-
жение заряженной релятивистской частицы с произвольным спином во внешнем
электромагнитном поле и не приводят к парадоксам с нарушением причинности.
Отметим еще, что уравнения (95), (96) можно получить из принципа мини-
мального действия, если плотность лагранжиана L(x) выбрать в виде
?
? + i ? ? ?µ ? (s)
? 1 + ?4 ?
L(x) = m?
?xµ
(235)
? ?? + 16m2 s? ? ,
?? ?
? Sµ? S µ? ? 4s(s ? 1) i??
?x?
?
где ? , ? — компонентная волновая функция:

? ? (s) ? (s)
? (236)
?= , ? = ? i?0 ?5 ,
?

? (s) ?
?µ , Sµ? — матрицы размерности 16s ? 16s:
(s) (s)
?k 0 ?0 0
? (s) ? (s)
?k = , k = 1, 2, 3, 4, ?0 = ,
(s) (s)
??0
0 ?k 0
(237)
(s)
0 ?0 Sµ? 0
? (s) ?
?5 = , Sµ? = ,
(s) 0 Sµ?
?0 0

При этом для функции ?(t, x) получаем уравнения (95), (96), а для ?(t, x) —
уравнения, комплексно-сопряженные с (95), (96). Сделав в (235) минимальную
замену ?i?/?xµ > ?i?/?xµ ? eAµ , придем к уравнениям (224), (225). Таким
образом, уравнения (224), (225) допускают лагранжеву формулировку.
Замечание. Можно показать, что уравнения (93)–(96) инвариантны относительно
операции зарядового сопряжения C, но не инвариантны относительно обращения
времени T и отражения пространственных координат P . P -, C-, T -инвариантные
480 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

уравнения для частиц произвольного спина можно получить из (95), (96) удвое-
(s) ? (s)
нием числа компонент и заменой ?µ > ?µ согласно (237).

Разложение по степеням 1/m
Гамильтониан Hs (?, ?0 ) (222) может иметь положительные и отрицательные
собственные значения. С помощью серии последовательных приближенных пре-
образований, подобных (204)–(213), получим из (222), (223) уравнение для состо-
яний с положительной энергией. При этом гамильтониан частицы произвольного
спина будет представлен в виде ряда по степеням 1/m, удобном для вычислений
по теории возмущений.
Основная трудность при диагонализации уравнений (222), (223) состоит в том,
что необходимо найти преобразования, одновременно приводящие к диагональной
форме два различных уравнения. Сначала диагонализуем дополнительное условие
(223), а затем, используя операторы, коммутирующие с преобразованным уравне-
нием (221), приведем к диагональной форме уравнение (222).
Подвергнем волновую функцию ?(t, x) из (222), (223) преобразованию

? > ? = V ?, (238)

где V — обратимый оператор:

1 (s) (s)
1 ? ?4 ?(s) ?a ? ?0 Sa ?a k1 ,
V =1+ a
2m
(239)
1
?1 (s) (s)
=1? 1 ? ?4 ?(s) ?a ? ?0 Sa ?a k1 .
V a
2m

Подействовав оператором (239) слева на (220), (221), получим уравнения для ? :

?
Hs (?, A0 )? = i ?,
?t
(s) (s)
Hs (?, A0 ) = ?0 m + k1 ?4 (S · ?)+ (240)
1 1
(s) (s)
1 ? ?4 ? 2 ? k1 (S · ?)2 ? S · [H ? i(1 ? k1 s)E] + eA0 ,
2
+?0
2m s

12
или (241)
Ps ? = ? S ? = s(s + 1)? ,
2 ab

где Ha = ?i[?b , ?c ]? и Ea = ?i[?0 , ?a ]? — напряженности магнитного и электри-
ческого полей; Ps — проектор, определенный в (92).
Из (241), (84), (85) заключаем, что, не умаляя общности, можно считать, что
волновая функция ? имеет 2(2s + 1) отличных от нуля компонент. Матрицы Sab
(s) (s)
и коммутирующие с ними матрицы ?0 , ?4 на множестве таких функций всегда
можно выбрать в виде

Sc 0 0 1 1 0
(s) (s)
, (242)
Sab = , ?0 = ? 1 = , ?4 = ? 3 =
?1
0 Sc 1 0 0
Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного спина 481

где Sc — матрицы, образующие представление D(s) алгебры O(3); 1 и 0 — (2s+1)-
рядные единичная и нулевая матрицы. Подставляя (242) в (240), получаем гамиль-
тониан Hs (?, A0 ) в виде
Hs (?, A0 ) = ?1 m + k1 ?3 S · ?+
(243)
1 1
(?1 ? i?2 ) ? ? k1 (S · ?) ? eS · [H ? i(1 ? k1 s)E] + eA0 .
2 2 2
+
2m s
Формула (243) обобщает гамильтониан свободной частицы произвольного спи-
на (60) при взаимодействии с внешним электромагнитным полем. Таким образом,
используя явно ковариантные уравнения (224), (225), получили рецепт введения
взаимодействия в дифференциальные пуанкаре-инвариантные уравнения без ли-

<< Предыдущая

стр. 110
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>