<< Предыдущая

стр. 111
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

шних компонент, найденные выше.
Задача о диагонализации системы (222), (223) сводится теперь к преобразо-
ванию гамильтониана (246) к диагональной форме. Как и для уравнения Ди-
рака [64], такое преобразование можно осуществить только приближенно, для
m. Используя для этой цели серию последовательных преобразований

Hs (?, A0 ) > V3 V2 V1 Hs (?, A0 )V1?1 V2?1 V3?1 = Hs (?, A0 ), (244)
где
k1 S · ?
V1 = exp ?i?2 ,
m
S·H
1 1
? 2 ? k1 (S · ?)2 ? e ?k S·E
2
V2 = exp ?3 + ie ,
4m2 s s
(245)
?3 1
V3 = exp ?i 3 (S · ?)3 +
m 12
eS · H
1 1
? 2 ? k1 (S · ?)2 ? ? k1 S · E, ?0
+ + ie ,
8 s s ?

и пренебрегая членами порядка 1/m3 , получаем
S·H
?2 e
?e + A0 ? S · (E ? ? ? ? ? E)?
Hs (?, A0 ) = ?1 m +
16m2 s2
2m 2sm
e 1 ?Ea
? (246)
+ s(s + 1) div E +
Qab
24m2 s2 2 ?xb
i(2s ? 1)e e ?Ha
S · (H ? ? ? ? ? H) +
+ Q ,
2 s2 ab ?x
2 s2
8m 24m b

здесь Qab — тензор квадрупольного взаимодействия, определенный в (214).
Приближенный гамильтониан (246) в точности совпадает с полученным в ра-
боте [74], в которой в качестве исходного использовалось уравнение Зайцева–
Фейнмана–Гелл-Мана (233) для произвольного спина. Для s = 1/2 (246) совпа-
дает с гамильтонианом (210), являющимся нерелятивистским пределом гамильто-
ниана Дирака для электрона [64]. Если же s = 1/2, то операторы (246) и (210)
не совпадают. Следовательно, уравнения (42), (1) и (93), (94), будучи математиче-
ски эквивалентными в случае свободных частиц, после введения взаимодействия
482 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

приводят к различным физическим результатам. Так, согласно (213), дипольный
момент частицы произвольного спина µs (коэффициент при eS · H/2m) равен 2, а
из (246) получаем µs = 1/s.
Релятивистская частица с произвольным спином
в однородном магнитном поле
Рассмотрим систему уравнений (222), (223) для частицы в однородном магни-
тном поле. Не умаляя общности, можно считать, что вектор напряженности этого
поля H параллелен третьей проекции импульса частицы p3 . Это означает, что
компоненты тензора электромагнитного поля Fµ? равны
F12 = H3 = H. (247)
F0a = Ea = 0, F23 = H1 = 0, F31 = H2 = 0,
Из (98) следует, что ?µ , можно выбрать в виде
?1 = p1 ? eHx2 , (248)
?2 = p2 , ?3 = p3 , ?0 = i?/?t.
Подставив (247), (248) в (220), (221), придем к уравнениям:
?
Hs (?)? = i ?,
?t
(249)
(s)
e? 1
(s) (s) (s) (s) (s)
1? ? S12 H,
?0 ?(s) ?a +0
Hs (?) = + ?0 m ?4 i?1 ?2
a
2m s

1 (s) ?
1 ? ?4 [?µ ? µ , Ps ]? ? ? Ps (?)? = ?. (250)
Ps +
2m

Преобразуем Hs (?) к такому виду, чтобы он содержал только коммутирующие
величины. Это позволит нам, не решая уравнений движения (249), (250), опреде-
лить спектр собственных значений гамильтониана (249).
?
Подвергнем волновую функцию ?, гамильтониан Hs (?) и проектор Ps (?) пре-
образованию
Hs (?) > Hs (?) = V Hs (?)V ?1 ,
? > ? = V ?,
(251)
Ps (?) > Ps (?) = V Ps (?)V ?1 ,
? ? ?
где
1 1
V = ?? + ?+ ?0 Hs (?), V ?1 =
(s) (s)
?+ ? + Hs (?)?+ ?0 ,
?
?
? m
? ± = 1 ± ?4
(s)
? = ? 2 ? eS12 H/s + m2 ,
? /2.

Используя тождества
?? ?(s) ? ?(s) ?+ , (?± )2 ? ?± , ?+ ?? ? 0, (252)
µ µ

получаем
1/2
(s)
? 2 + m2 ? eS12 H/s (253)
Hs (?) = ?0 ,

12
или (254)
Ps ? = ? S ? = s(s + 1)? .
2 ab
Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного спина 483

Все операторы, входящие в определение (253) гамильтониана Hs (?), коммути-
руют друг с другом и имеют такие собственные значения:
(s)
? = ±1,
?0 ? = ?? ,

s3 = ?s, ?s + 1, . . . , s, (255)
S12 H? = s3 H? ,

? 2 ? = (2n + 1)H + p2 ? , (256)
n = 0, 1, 2, . . . .
3

Формулы (255) следуют непосредственно из (254), а соотношение (256) приве-
дено, например, в монографии [75].
Квадрат гамильтониана (253) и операторы (255), (256) имеют общую систе-
му собственных функций ??ns3 p3 . Отсюда заключаем, что собственные значения
гамильтониана (253) равны
1/2
s3
E?ns3 p3 = ? m2 + 2n + 1 ? eH + p2 (257)
.
3
s
Соотношение (257) обобщает известную формулу [75] для уровней энергии эле-
ктрона в однородном магнитном поле для частицы с произвольным спином. Как
видно из (257), значения энергии такой частицы действительны при любых зна-
чениях s, в то время как уравнения Рариты–Швингера при решении аналогичной
задачи приводят к комплексным значениям энергии [24].
Приведем для полноты явный вид собственных функций ??ns3 p3 . Выбирая ма-
(s)
трицы ?µ , Sab в виде

??a
?? ? ? ?
01 1 0 0
(s) (s)
?(s) =
?0 = , ?4 = , ,
??
?? ? ?
a
10 0 1 ?a 0
(258)
?(1)
? ? ?
Sab 0 Sab 0
? ?
?a = (?abc Sbc /2 ? S4a )/2,
Sab = , Sab = ,
?ab
? ?(2)
?
0 S 0 S ab

? ?
где ? и ? — 4s-рядные единичная и нулевая матрицы; Sab , S4a — матрицы из
1 0
(1) (2)
? ?
представления D(s ? 1/2, 1/2) алгебры O(4); Sab и Sab — матрицы, реализующие
представления D(s) и D(s ? 1) алгебры O(3) соответственно, получаем
? ?
?s3
? ?
???0?
??ns3 p3 = ? (259)
? ?np3 ,
?
? ??s3 ?
?
0
где ?s3 — (2s + 1)-компонентная собственная функция оператора S12 , который
всегда можно выбрать в диагональной форме:
?? ??
??
1 0
0
?0? ?1?
?? ?? ?0?
?? ?? ??
?s = ? 0 ? , ?s?1 = ? 0 ? , . . . , ??s = ? . ? , (260)
?.? ?.? ?.?
.
?.? ?.?
. .
1
0 0
484 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

? — (2s ? 1)-рядные нулевые столбцы и
0
v
2
H p1 p1
= exp(ip1 x1 + ip3 x3 ) exp ? , (261)
?np3 x2 + Hn H x2 +
2 H H
Hn — полиномы Эрмита. Явный вид собственных функций исходного гамильтони-
ана (249) можно получить из (259)–(261) с помощью преобразования, обратного
(251).
Четырехкомпонентное уравнение для бесспиновых частиц
В работах [37, 45, 55] неоднократно подчеркивалось, что для однозначного
ответа на вопрос, какую частицу описывает данное релятивистское уравнение,
необходимо знать явный вид генераторов представления группы P (1, 3), которое
реализуется в пространстве его решений. Если на множестве решений заданного
уравнения можно определить различные представления группы Пуанкаре, то такое
уравнение в принципе пригодно для описания движения различных частиц.
В [45] показано, что обычное четырехкомпонентное уравнение Дирака с допол-
нительным пуанкаре-инвариантным условием в отсутствие взаимодействия можно
интерпретировать как уравнение для частиц со спином s = 0. Однако хорошо изве-
стно, что после введения минимального взаимодействия это уравнение описывает
движение частицы со спином s = 1/2 во внешнем электромагнитном поле. Пока-
жем, что взаимодействие можно ввести в уравнение Дирака таким образом, что
оно будет допускать интерпретацию как уравнение для бесспиновой заряженной
частицы во внешнем поле. Рассмотрим уравнение
[?µ ? µ ? m + (1 + ?4 )iek?µ ?? Fµ? /4m] ? = 0, (262)
где ?µ — четырехрядные матрицы Дирака; ?µ = pµ ? eAµ ; Aµ — 4-вектор-потен-
циал; F µ? — тензор напряженности электромагнитного поля; k — произвольная
константа.
Уравнение (262) явно ковариантно и в случае k = 0 совпадает с уравнением
Дирака для электрона, взаимодействующего с внешним электромагнитным полем.
Слагаемое (1 + ?4 )iek?µ ?? F µ? /2m можно интерпретировать как вклад от аномаль-
ного взаимодействия типа Паули.
Покажем, что при k = 1 уравнение (262) можно использовать для описания
движения бесспиновой заряженной частицы. Для этого сначала умножим (262) на
?0 и получим уравнение в форме Шредингера
?
H? = i ?,
?t (263)
H = ?0 ?a ?a + ?0 m + eA0 ? ?0 (1 + ?4 )ie?µ ?? F µ? /4m.
Подвергая волновую функцию ? и гамильтониан H изометрическому преобразо-
ванию
H > H = V HV ?1 ? iV ?1 ?V /?t,
? > ? = V ?,
(264)
V = exp[(1 ? ?4 )?a ?a /2m] = 1 + (1 ? ?4 )?a ?a /2m,
получаем
H = ?0 m + ?0 (1 + ?4 )? 2 /2m + eA0 . (265)
Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного спина 485

<< Предыдущая

стр. 111
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>