<< Предыдущая

стр. 112
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Выбрав матрицы ?0 и ?4 в виде
?3 0 ?1 0
(266)
?0 = , ?4 = ,
??1
0 ?3 0
гдe ?3 и ?1 — двухрядные матрицы Паули, запишем гамильтониан H в форме
?2
H+ 0
H± = ?3 m + (?3 ± i?2 ) (267)
H= , + eA0 .
0 H? 2m
?+
Обозначив ? = V ? = , где ?± — двухкомпонентные функции, получаем
??
для ?+ , ?? два незацепляющихся уравнения:
?2 ?
?3 m + (?3 ± i?2 ) (268)
+ eA0 ?± = i ?± ,
2m ?t
совпадающие с уравнениями ТСТ [49, 50] для бесспиновой заряженной частицы
во внешнем электромагнитном поле.
Результат этот, который на первый взгляд кажется несколько неожиданным,
на самом деле является следствием того, что уравнение (262) (где k = 1) мо-
жно получить введением минимального взаимодействия в уравнение Дирака с
пуанкаре-инвариантным дополнительным условием
Wµ W µ ? = m2 s(s + 1)?, (269)
s = 0.
Таким образом, только уравнение движения совместно с дополнительным услови-
ем (269) позволяет однозначно определить спин и массу описываемой частицы.
Авторы благодарны С.П. Онуфрийчуку, В.А. Салогубу и Ю.Н. Сегеде за обсу-
ждение результатов, вошедших в статью, и за помощь при оформлении работы.

1. Пуанкаре А., Избранные труды, Т. 3, М., Наука, 1974, C. 521.
2. Majorana E., Nuovo cimento, 1932, 9, 335.
3. Corson E.M., Introduction to Tensors, Spinors and Relativistic Wave Equations, London, Blackie,
1953.
4. Bade W.L., Jehle H., Revs. Mod. Phys., 1953, 25, 714.
5. Гельфанд И.М., Минлос P.В., Шапиро 3.Я., Представления группы вращений и группы Лоренца
и их применения, М., Физматгиз, 1958.
6. Наймарк М.А., Линейные представления группы Лоренца, М., Физматгиз, 1958.
7. Corben H., Classical and Quantum Theories of Spinning Particles, San Francisco, Holden-Day, 1968.
8. Takahashi Y., An Introduction to Field Quantization, N.Y., Pergamon Press, 1969.
9. Fradkin D.M., Good R.H., Revs. Mod. Phys., 1964, 33, 343.
10. Hurley W.J., Sudarshan E.C.L., Ann. Phys., 1974, 85, 546.
11. Santhanam T.S., Tekumalla A.R., Fortshr. Phys., 1974, 22, 431.
12. Hurley W.I., Phys. Rev. D, 1974, 10, 1185.
13. Niederer U.H., Raifertaigh O., Fortshcr. Phys., 1974, 22, 131.
14. Joos H., Fortschr. Phys, 1962, 10, 65.
15. Weinberg S., Phys. Rev., 1969, 181, 1893.
16. Krajcik R.A., Nieto M.M., Phys. Rev. D, 1974, 10, 4049; 1975, 11, 1442; 1976, 13, 2250.
486 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

17. Гинзбург В.Л., Манько В.И., ЭЧАЯ, 1976, 7, вып. 1, 3.
18. Foldy L.L., Phys. Rev., 1956, 102, 568.
19. Wigner E., Ann. Math., 1939, 40, 39.
20. Широков Ю.М., ЖЭТФ, 1957, 33, 861; 1957, 33, 1196.
21. Jonson К., Sudarshan E.С.L., Ann. Phys., 1961, 13, 126.
22. Velo G., Zwanzinger D., Phys. Rev., 1969, 186, 1337; 1969, 188, 2218.
23. Tsai V., Phys. Rev. D, 1973, 7, 1945.
24. Seetharaman M., Prabhakaran J., Mathews P.M., Phys. Rev. D, 1975, 12, 458.
25. Wightman A.S., In: Partial Differential Equations. Ed. D.C. Spencer, V.23, Providence, 1974, P. 44.
26. Pereira J., Intern. J. Theor. Phys., 1972, 5, 447.
27. Schroer В., Seiler R., Swieca J.A., Phys. Rev. D, 1970, 2, 2927.
28. Weaver D.L., Hammer C.L., Hood R.H., Phys. Rev., 1964, 135, 241.
29. Williams S.A., Driver I.P., Weber T.A., Phys. Rev., 1966, 152, 1207.
30. Mathews P.M., Phys. Rev., 1966, 143, 978, 985.
31. Mathews P.M., Phys. Rev., 1967, 155, 1415.
32. Mathews P.M., Ramankrishnan S., Nuovo Cimento, 1967, 50, 339.
33. Seetharaman M., Jayaraman J., Mathews P.M., J. Math. Phys., 1971, 12, 1620.
34. Seetharaman M., Mathews P.M., J. Math. Phys., 1972, 13, 938.
35. Jayaraman J., Nuovo Cimento A, 1973, 14, 343.
36. Fushchych W.I., Grishchenko A.L., Nikitin A.G., Preprint ITF-70-89E, Kiev, 1970.
37. Фущич В.И., Грищенко А.Л., Никитин А.Г., ТМФ, 1971, 8, 192.
38. Никитин А.Г., УФЖ, 1973, 18, 1605; 1974, 19, 1000.
39. Fushchych W.I. Nikitin A.G., Rep. Math. Phys., 1975, 8, 33; Preprint ITF-73-121E, Kiev, 1973.
40. Фущич В.И., Никитин А.Г., Дифференциальные уравнения движения первого и второго порядка
для частиц с произвольным спином, Киев, Изд-во ин-та мат. АН УССР, 1977.
41. Никитин А.Г., Фущич В.И., ТМФ, 1978, 34, 319.
42. Kolsrud М., Physica Norvegica, 1971, 5, 169.
43. Guertin R.F., Ann. Phys., 1974, 88, 504; 1975, 91, 386.
44. Guertin R.F., Spin-1/2 Equation with Indefinite Metric, Preprint Rice University, Houston, 1975.
45. Fushchych W.I., Nucl. Phys. B, 1970, 21, 321; ТМФ, 1971, 9, 91.
46. Fushchych W.I., Grishchenko A.L., Lett. Nuovo Cimento, 1970, 4, 927; Preprint ITF-70-88E, Kiev,
1970.
47. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Lett. Nuovo Cimento, 1973, 7, 439.
48. Никитин А.Г., Грищенко А.Л., УФЖ, 1974, 19, 1666.
49. Тамм И.E., Докл. АН СССР, 1940, 29, 551.
50. Takelani M., Sakata S., Proc. Phys. Math. Soc. (Japan), 1940, 22, 757.
51. Nelson T.J., Good R.H., Phys. Rev., 1969, 179, 1445.
52. Simon M.T., Lett. Nuovo Cimento, 1971, 2, 99.
53. Sahthanam T.S., Tekumalla A.R., Lett. Nuovo Cimento, 1972, 3, 1060; 1973, 6, 99.
54. Seetharaman M., Simon M.Т., Mathews P.M., Nuovo Cimento A, 1972, 12, 788.
55. Fushchych W.I., Krivsky I.Yu., Nucl. Phys. B, 1968, 7, 79; Препринт ИТФ-68-72, Киев, 1968.
56. Кривский И.Ю., Романко Г.Д., Фущич В.И., ТМФ, 1969, 1, 242.
57. Fushchych W.I., Lett. Nuovo Cimento, 1975, 14, 436.
Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного спина 487

58. Fushchych W.I. Nikitin A.G., Salogub V.A., Lett. Nuovo Cimento, 1975, 14, 483; Rep. Math. Phys.,
1977, 385.
59. Fushchych W.I., Nikitin A.G., Lett. Nuovo Cimento, 1976, 16, 81.
60. Bludman S.A., Phys. Rev., 1957, 107, 1163.
61. Lomont J.S., Moses H.E., Phys. Rev., 1960, 118, 337.
62. Dowker I.S., Proc. Roy. Soc. A, 1967, 293, 351.
63. Newton T.D., Wigner E.P., Revs. Mod. Phys., 1949, 21, 400; см. также [69], с. 69.
64. Foldy L.L., Wouthuysen S.A., Phys. Rev., 1950, 78, 29.
65. Fushchych W.I., Lett. Nuovo Cimento, 1974, 11, 508.
66. Фущич В.И., Докл. АН СССР, 1976, 230, 570.
67. Фущич В.И. В сб.: Проблемы асимптотической теории нелинейных колебаний, посвященном
60-летию акад. Ю.А. Митропольского, Киев, Наукова думка, 1977.
68. Фущич В.И., ТМФ, 1971, 7, 3.
69. Швебер С., Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, Пер. с англ. М., Изд-во иностр.
лит., 1963. C. 114.
70. Lomont I.S., Phys. Rev., 1958, 111, 1710.
71. Moses H.E., Nuovo Cimento Suppl., 1958, 7, 1.
72. Garrido L.M., Oliver L., Nuovo Cimento A, 1967, 52, 588.
73. Wightman A.S., In: Symmetry Principles at High Energies, Ed. A. Perlmutter e.a. N.Y., Benjamin,
1968.
74. James К.R., Proc. Phys. Soc. (London), 1968, 1, 334.
75. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б., Квантовая электродинамика, М., Наука, 1969, C. 142.
76. Amundsen P.A., Physika Norvegica, 1975, 8, 107.
77. Зайцев Г.А., ЖЭТФ, 1955, 28, 524; ДАН СССР, 1957, 113, 1248;
Feynman R.P., Gell-Mann M., Phys. Rev., 1958, 109, 193.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 488–493.

On the invariance groups of relativistic
equations for the spinning particles
interacting with external fields
W.I. FUSHCHYCH, A.G. NIKITIN

All relativistic free-particle motion equations, including the Dirac and Kemmer–
Duffin–Petiau (KDP) ones, are invariant under the Poincar? group P1,3 . But such
e
a group does not exhaust symmetry of the relativistic equations. It has been shown
in [1] with help of non-Lie method, that any Poincar?-invariant equation for a free
e
particle with spin s ? 2 has additional invariance under SU2 ? SU2 group. The same
1

invariance group is possessed by Maxwell equations [2].
It has been shown in [3, 4], that the free equations of KDP (for s = 1) and of
Rarita–Schwinger (for s = 3 ) have more extensive symmetry group than the group
2
SU2 ? SU2 . It follows from the results of these papers, that any relativistic equation
for a free particle of spin s ? 1 possesses SU3 symmetry.
In this note, which is an extention of the paper [4], the invariance groups of the
Dirac and KDP equations for the particles, interacting with an external field have
been established.
Theorem 1. The Dirac equation with the Pauli-type interaction
i
L = ?µ ? µ + (1 + i?4 )?µ ?? F µ? + m, (1)
L? = 0,
4m
where
?
?µ = pµ ? eAµ , pµ = igµ? ,
?x?
Aµ is the vector potential of electromagnetic field, Fµ? = ?i[?µ , ?? ]? , is invariant
under the Lie algebra of the SU2 ?SU2 group. This algebra basis elements Qµ? have
the form
i
(1 + i?4 )(?µ ?? ? ?? ?µ ). (2)
Qµ? = i?µ ?? +
m
Proof may be carried out in a way, which has been described in [4]. The theorem
validity, i.e. that the operators Qµ? satisfy the invariance condition of eq.(1) [4]
i
(?µ ?? ? ?? ?µ )
[Qµ? , L]? = ?µ? L, ?µ? =
m
and the commutation relations

[Qµ? , Q?? ]? = 2i(gµ? Q?? + g?? Qµ? ? gµ? Q?? ? g?? Qµ? )
Lettere al Nuovo Cimento, 1978, 21, № 16, P. 541–546.
On the invariance groups of relativistic equations for the spinning particles 489

may be established by the direct verification. Putting in (1), (2) Aµ = 0, one comes
to the invariance algebra of the free Dirac equation, which has been obtained in [4].
Theorem 2. The Dirac equation for a particle in a constant inhomogeneous magnetic
field
(3)
?0 ? = H?, H = ?0 ?a ?a + ?0 m,
where
?1 = p1 ? eA1 (x1 , x2 ), ?2 = p2 ? eA2 (x1 , x2 )
?0 = p0 , ?3 = p3 ,
is invariant under the Lie algebra of SU2 ? SU2 group. The basis elements ?kl of
this algebra have the form
i?3 ?0 ?? ?? i?4 (?3 m + p3 )
?12 = , ?31 = ,
|?0 ?? ?? | 1/2
(p2 m2 )
+
3
(4)
H
(a, b, c) is cykl (1, 2, 3).
?23 = i?12 ?31 , ?4a = ?bc , ? = 1, 2,
|H|
Proof. Let us use the canonical transformation method. Passing to the new wave
function ? :
H > H = W HW ?1 ,
? > ? = W ?, (5)
where
E + q3 + i?1 ?2 ?0 ?? ?? 1/2
E = m2 + ? 2 ? i?1 ?2 H
W = V1 V2 V3 , V1 = , ,
2E(E + q3 )
1/2
H = ?i[?1 , ?2 ]? ,
? 2 = ?1 + ?2 + ?3 ,
2 2 2
q3 = m 2 + p 2 ,
3

1 ?0 ?? ??
V2 = V2?1 = 1 + i?3 ?4 + (1 ? i?3 ?4 ) ,
|?0 ?? ?? |
2

V3 = V3?1 = (m + q3 + ?3 p3 )[2q3 (q3 + m)]?1/2
one obtains the equation
? 1/2
? = i?1 ?2 m2 + ? 2 ? i?1 ?2 H (6)
i ?.
?t
Equation (6) is obviously invariant under the transformations ? > ?kl ? , where
i i i i
(7)
?12 = ?3 , ?31 = ?4 , ?23 = ?4 ?3 , ?4a = ?1 ?2 ?bc .
2 2 2 2
Operators (7) satisfy commutation relations of the Lie algebra of the O4 ? SU2 ?
SU2 group. The exact form (4) of these operators in the initial ?-representation one
obtains by the inverse transformation, ?kl = W ?1 ?kl W . The theorem is proved.
Remark 1. An analogous theorem takes place also for the Dirac equation, which
describes the particle in alternating the electric field with the fixed direction (say, in
a field, which is directed along the third co-ordinate axis). Such an equation may be
written in the form (3), where
?0 = p0 ? eA0 (t, x3 ), ?3 = p3 ? eA3 (t, x3 ). (8)
?1 = p1 , ?2 = p2 ,
490 W.I. Fushchych, A.G. Nikitin

The exact form of the SU2 ?SU2 -group generators is given by the following formulae:
?
? 12 = i?2 ?1 ?? ? , i?4 (?2 m + p2 )
?
? ?31 = , ? = 0, 3,
|?1 ?? ? ? | 1/2
(p2 + m2 )
2

i?1 (?? ? ? ? ?2 ?2 ? m) ?
? ?? ?
?32 = i?12 ?31 , ?4a = ?bc .
|i?1 (?? ? ? ? ?2 ?2 ? m)|
These operators as like as (4) ones, are integrodifferential operators, in contrast
with (2), where Qµ? are differential ones.
Let us consider the KDP equation for a particle of spin s = 1 charge e and
the anomalous magnetic moment k, which interacts with the constant homogeneous
magnetic field H
ek
?µ ? µ + m + Sµ? F µ? ? = 0, (9)
4m
where
?1 = p1 ? eHx2 ,
?0 = p0 , ?2 = p2 , ?3 = p3 ,
(10)
Sµ? = i(?µ ?? ? ?? ?µ ), Sµ? F µ? = 2S12 H.
Theorem 3. Equation (9) and (10) have six independent constants of motion QA
which form the Klein group. If k = 1, eqs.(9) and (10) are invariant under ten-
dimensional Lie algebra A10 , which contains subalgebra O4 .

<< Предыдущая

стр. 112
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>