<< Предыдущая стр. 114(из 122 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>
Wµ = ?µ??? J?? P? .
2
So the formulas (1) determine the explicit form of the conformal group generators
by the given generators Pµ , Jµ? of the group P (1, 3). Let us note that the generators
Kµ and D are written in a transparently Hermitian form, from which follows that they
generate together with Pµ , Jµ? the unitary representation of the conformal group. The
theorem is proved.
Let us demonstrate the constructive character of Theorem 1 by some examples.
First consider the Weyl equation

?
?µ pµ ?(x0 , x) = 0, (4)
pµ = igµ? .
?x?
On the set of solutions of equation (4) the Poincar? group generators have the form
e

?
Pa = pa = ?i
P0 = ? a pa , ,
?xa
(5)
i 1
= xa pb ? xb pa + [?a , ?b ]? , = x0 pa ? [xa , P0 ]+ ,
Jab J0a
4 2
where ?a are the Pauli matrices. Substituting (5) into (1), one obtains the remaining
generators of the conformal group in the form
1 1
Kµ = ?[Jµ? , x? ]+ + [Pµ , x? x? ]+ .
[xµ , P µ ]+ , (6)
D=
2 2
On the set of solutions of Equation (4), the generators (5) and (6) may be written
also in the usual differential form (see e.g. [5])

? 3
D = xµ pµ + i,
Pµ = pµ = igµ? ,
?x? 2
i 1
Jµ? = xµ p? ? x? pµ + [?µ , ?? ]? , K? = 2x? D ? xµ xµ p? ? xµ [?µ , ?? ]? ,
4 2
which however is not manifestly Hermitian.
496 W.I. Fushchych, A.G. Nikitin

Taking Pµ , Jµ? in the Foldy–Shirokov form [6]
1/2
P0 = p = p2 + p2 + p2 , Pa = p a ,
1 2 3
(7)
1
Jab = xa pb ? xb pa + Sab , J0a = x0 pa ? [xa , P0 ]+ ? (Sab pb /p),
2p
we obtain from (1)
1 1 1 1
Kµ = ?[Jµ? , X ? ]+ +
[xµ , P µ ]+ , P µ , X? X ? + ?2 + , (8)
D=
2 2 2p 4 +

where

Xa = xa + (Sab pb )/p2 .
X0 = x0 ,

Using (1), it is not difficult to be convinced that (8) is a universal form of the
generators Kµ , D for any representation of the conformal group, in which Pa and Jab
have the structure (7).
Lastly, if Pµ and Jµ? are the generators of the irreducible representation of the
Poincar? group in Lomont–Moses form [7], then the formulas (1) give the conformal
e
group generators in the form of Bose and Parker [8].
In connection with the above results, the following question arises naturally: Do
there exist Poincar? invariant equations, for particles with nonzero mass, which would
e
be invariant under the conformal group? A positive answer to this question may be
given only for equations describing particles with variable mass. As an example,
one may consider the relativistic equations with proper time, conformal invariance of
which has been established in [9].
It has been proposed in [10] to use the group of rotations and translations in five-
dimensional Minkowski space for the description of physical systems with variable
mass and spin. This group, which will be further denoted by the symbol P (1, 4),
contains as subgroups both the Poincar? group P (1, 3) and the Galilei group G(3).
e
The main property of P (1, 4)-invariant equations is that they are constant also
under the conformal algebra C4 . More precisely, the following statement is valid:
Theorem 2. Any P (1, 4)-invariant equation is invariant under the Lie algebra of
the group SO(1, 5).
Proof. Using the method proposed in [11], we consider the operator
1
(Pµ P µ )?1/2 (P ? Jµ? + Jµ? P ? ), Pµ P µ = 0,
Jµ5 =
2
where Pµ and Jµ? are the generators of the group P (1, 4), µ, ? = 0, 1, 2, 3, 4. The set
of the operators Jµ? and Jµ5 satisfy the commutation relations of the Lie algebra of
the group SO(1, 5) (which is locally isomorphic to the Euclidean conformal group)

[Jµ5 , J?? ]? = i(gµ? J?5 ? gµ? J?5 ),
[Jµ5 , J?5 ]? = iJµ? ,
[Jµ? , J?? ]? = i(g?? Jµ? + gµ? J?? ? gµ? J?? ? g?? Jµ? ).

In the case in which the Casimir operator Pµ P µ = 0, the proof is reduced to that of
Theorem 1.
Conformal invariance of relativistic equations for arbitrary spin particles 497

1. Bateman H., Proc. London Math. Soc., 1909, 7, 70; 1910, 8, 223, 469.
Cunningham E., Proc. London Math. Soc., 1909, 8, 77.
2. Dirac P.A.M., Ann. Math., 1936, 37, 429.
3. McLennan A., Nuovo Cim., 1956, 3, 1360.
Lomont J.S., Nuovo Cim., 1961, 22, 673.
4. Gross L., J. Math. Phys., 1964, 5, 687.
5. Flato M., Simon J., Sternheimer D., Ann. Phys., 1970, 61, 78.
Mack G., Salam Abdus, Ann. Phys., 1969, 53, 174.
6. Foldy L.L., Phys. Rev., 1956, 102, 568.
Shirokov Yu.M., Soviet J. JETP, 1957, 33, 861.
7. Lomont J.S., Moses H.E., J. Math. Phys., 1962, 3, 405.
8. Bose S.K., Parker R., J. Math. Phys., 1969, 10, 862.
9. Fushchych W.I., Segeda Yu.N., Soviet J. Ukrainian Math. J., 1976, 28, 844.
10. Fushchych W.I., Krivsky I.Yu., Nucl. Phys. B, 1968, 7, 79; 1969, 14, 573; Soviet. J. Theor. Math.
Phys., 1970, 3, 360.
11. Fushchych W.I., Soviet J. Theor. Math. Phys., 1971, 1, 3.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 498–515.

Групповые свойства уравнений Максвелла
В.И. ФУЩИЧ, А.Г. НИКИТИН
A theorem on the invariance of the system of Maxwell’s equations under the 23-di-
mensional Lie algebra, containing as subalgebras 15-dimensional conformal algebra and
8-dimensional Lie algebra of the group U (2) ? U (2) has been proved. An 8-parameter
family of transformations acting on E and H which generate group U (2)?U (2) is found
in explicite form. It is established that every Poincar?-invariant equation of motion for
e
mass-zero particle is invariant under the conformal group.

Введение
В работе [1] сформулированы основные идеи нелиевского метода исследования
групповых свойств дифференциальных уравнений. В данной статье мы применяем
этот метод для нахождения новых групп инвариантности уравнений Максвелла.
Исследование симметрии уравнений Максвелла имеет долгую и славную исто-
рию (см. [1]). В связи с этим важно отметить, что нелиевский подход позволяет
получить новые результаты даже для таких хорошо изученных уравнений.
Структура статьи такова. В первом параграфе обсуждается конформная инвари-
антность уравнений Максвелла и приводится в явном виде закон преобразований
векторов напряженности электрического E и магнитного H полей под действием
конформной группы. Во втором и третьем параграфах дано простое доказатель-
ство того, что такие преобразования являются унитарными в соответствующем
гильбертовом пространстве. Доказан аналогичный результат и для произвольного
пуанкаре-инвариантного уравнения, описывающего свободное движение частицы
с нулевой массой и дискретным спином.
Основной результат статьи содержится в параграфах 4, 5 и 6, где установле-
на инвариантность уравнений Максвелла для электромагнитного поля в вакууме
относительно восьмипараметрических непрерывных преобразований:

?2E ?2H
?E ?H
E>E =f E, H, , , , ,... ,
?xa ?xa ?xa ?xb ?xa ?xb
(0)
?2E ?2H
?E ?H
H > H = g E, H, , , , ,... ,
?xa ?xa ?xa ?xb ?xa ?xb

где вектор-функции f и g зависят в общем случае как от E, H, так и от беско-
нечного числа производных от векторов напряженности полей. Это означает, что
преобразования (0), вообще говоря, нелокальны. Совокупность найденных пре-
образований вида (0) образует компактную группу, содержащую, в частности,
однопараметрическую подгруппу локальных преобразований Хевисайда–Лармора–
Райнича (ХЛР) (см. [4–6]).
В § 6 доказана инвариантность уравнений Максвелла относительно 23-мерной
алгебры Ли, содержащей в качестве подалгебр 15-мерную конформную алгебру и
Теоретико-групповые методы в математической физике, Сб. науч. тр., Отв. ред. Ю.А. Митрополь-
ский, В.И. Фущич, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1978, С. 45–80.
Групповые свойства уравнений Максвелла 499

8-мерную алгебру Ли группы U (2) ? U (2). Этот результат можно рассматривать
как объединение результатов [2–6] и [17].
В последнем параграфе установлена инвариантность уравнений Максвелла от-
носительно 10-параметрических преобразований, при которых изменяются про-
странственные координаты x1 , x2 , x3 , но временная координата x0 остается инва-
риантной. При этом не сохраняется квадратичная форма
S x2 = x2 ? x2 ? x2 ? x2 ,
0 1 2 3

хотя решения уравнения преобразуются по представлению группы Пуанкаре.
§ 1. Инвариантность уравнений Максвелла
относительно конформной группы
Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме имеют вид

?H ?E
rot E = ? rot H = (1а)
, ,
?t ?t

div E = 0, div H = 0, (1б)

где E и H — векторы напряженности соответственно электрического и магнитного
полей.
Уравнения (1) инвариантны относительно конформной группы. Конформную
группу образуют преобразования координат xa , a = 1, 2, 3, и времени x0 = t
следующего вида:

?(? · x) ?·x
x>x =x+ (cos ? ? 1) + sin ? ? a,
2 (2а)
? ?
x0 > x0 = x0 ? b,

?(? · x) ?a
x>x =x+ (ch ? ? 1) + x0 sh ? ? a,
2
? ?
(2б)
x·?
x0 > x0 = x0 ch ? + sh ? ? b,
?
xµ > xµ = ec xµ , (2в)
µ = 0, 1, 2, 3,

xµ ? dµ x? x?
xµ > xIV (2г)
= ,
1 ? 2d? x? + d? d? x? x?
µ

где
1/2 1/2
2 2 2
? = ?2 + ?2 + ?2
? = ?1 + ?2 + ?3 , ,
1 2 3

x? x? = x2 ? x2 ? x2 ? x2 , d? d ? = d 2 ? d 2 ? d 2 ? d 2 ,
0 1 2 3 0 1 2 3

?a , ?a , aa , b, c, da — произвольные действительные параметры, a = 1, 2, 3.
Преобразования (2а), (2б) оставляют инвариантной квадратичную форму
(x1µ ? x2µ )(xµ ? xµ ) = (x1µ ? x2µ )(x1 µ ? x2 µ ) =
1 2
(3)
= (x1µ ? x2µ )(x1 µ ? x2 µ ) = inv
500 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

и называются неоднородными преобразованиями Лоренца. Формулы (2в), (2г) за-
дают собственно конформные преобразования.
Инвариантность уравнений (1) относительно конформной группы означает, что
преобразованиям (2) можно однозначно сопоставить такие преобразования векто-
ров E и H

E>E, H>H, (4)

которые образуют представление конформной группы; при этом E и H удовле-
творяют исходному уравнению (1).
Проблеме конформной симметрии уравнений Максвелла посвящено большое
количество работ. Однако насколько нам известно явный вид всех преобразований
(4), образующих конформную группу, нигде не приведен. Мы покажем ниже, что
эти преобразования могут быть записаны в виде

?(? · E(x )) ? ? E(x )
E(x) > E (x) = E(x ) + (cos ? ? 1) ? sin ?,
2
? ?
(5а)
?(? · H(x )) ? ? H(x )
H(x) > H (x) = H(x ) + (cos ? ? 1) ? sin ?,
2
? ?

?(? · E(x )) ? ? H(x )
 << Предыдущая стр. 114(из 122 стр.)ОГЛАВЛЕНИЕ Следующая >>