<< Предыдущая

стр. 115
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

E(x) > E (x) = E(x ) + (1 ? ch ?) ? sh ?,
?2 ?
(5б)
?(? · H(x )) ? ? E(x )
H(x) > H (x) = H(x ) + (1 ? ch ?) + sh ?,
?2 ?

E(x) > E (x) = E(x ), H(x) > H (x) = H(x ), (5в)

E(x) > E IV (x) = E(xIV )(1 + exp(?4dµ xµ ))+
?{? · [?iH(xIV ) + E(xIV )]} ? ? [E(xIV ) ? iH(xIV )]
(1 ? cos ?) ?
+ sin ?+
?2 ?
?{? · [E(xIV ) ? iH(xIV )]} ? ? [E(xIV ) ? iH(xIV )]
(1 ? cos ?) ?
+ sin ?,
?2 ?
(5г)
H(x) > H IV (x) = H(xIV )(1 + exp(?4dµ xµ ))+
?{? · [H(xIV ) + iE(xIV )]} ? ? [H(xIV ) + iE(xIV )]
(1 ? cos ?) ?
+ sin ?+
?2 ?
?{? · [H(xIV ) ? iE(xIV )]} ? ? [H(xIV ) ? iE(xIV )]
(1 ? cos ?) ?
+ sin ?,
?2 ?
где
x = (x0 , x1 , x2 , x3 ), x = (x0 , x1 , x2 , x3 ),
1/2 1/2
2 2 2 2 2 2
? = ?1 + ?2 + ?3 , ? = ?1 + ?2 + ?3 ,

1 i 1 i
a0 xa ? ?abc ab xc ,
?a = a0 xa + ?abc ab xc , ?a =
2 2 2 2
Групповые свойства уравнений Максвелла 501

а xµ , xµ , xµ и xIV задаются формулами (2).
µ
В работе [8] показано, что конформные преобразования множества решений
уравнений Максвелла образуют унитарное представление конформной группы. В
следующих параграфах приведем простое доказательство этого факта и обобщим
результаты работы [8] на случай произвольного пуанкаре-инвариантного уравне-
ния движения безмассовой частицы.
§ 2. Матричная форма уравнения Максвелла
Для дальнейшего нам будет удобно использовать запись уравнений Максвелла
в следующей эквивалентной форме (см. [9–11])1
?
? ? · p, (6а)
L1 ? = 0, L1 = i
pt
(6б)
L2 ? = 0, L2 = S4a pa ,

где ? — восьмикомпонентная функция,
? — столбец (H1 , H2 , H3 , ?1 , E1 , E2 , E3 , ?2 ), (7)
а ?a и S4a — матрицы следующего вида:
?
??a
? ?
0 S4a 0
?a = 2i , S4a = ,
? ?
?
?a 0 0 S4a
? ? ? ?
000 i 0 0 i 0
? 0 0 ?i 0? ?0 i?
1 1 0 0
?1 = ? ?, ?2 = ? ?,
2? 0 i 0 0? 2 ? ?i 0 0?
0
?i 0 0 0 ?i
0 0 0
? ? ? ?
0 ?i 0 0 0 00 i (8)
?i 0 0? ?0 00 0?
1 0
?3 = ? ?, S41 = ? ?,
?
?0 0 i? ?0 00 0?
0
2
0 0 ?i ?i 0 0
0 0
? ? ? ?
0 0 00 00 0 0
?0 0 0 i ? ?0 0 0 0?
S42 = ? ?, S43 = ? ?,
? ?
?0 0 0 0 ? ?0 0 0 i?
0 ?i 0 0 0 0 ?i 0
?
? — четырехрядные квадратные нулевые матрицы. Матрицы S4a и
0
? ?
Sab = ?abc (2?c ? S4c )
образуют представление D 1 , 1 алгебры O(4). Расписав (6) покомпонентно, при-
22
ходим к обычной форме уравнений Максвелла (1) и условиям для ?1 и ?2 :
?1 = C1 , ?2 = C2 ,
где C1 и C2 — константы, которые, не умаляя общности, можно положить равными
нулю.
1 Подобнаяформулировка уравнений Максвелла (но с использованием четырехкомпонентной волно-
вой функции и отличного от (6б) дополнительного условия) была предложена ранее в работах [12–13].
502 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Покажем, что уравнения (6) инвариантны относительно неоднородных преобра-
зования Лоренца (5а), (5б). Условие инвариантности этих уравнений может быть
записано в виде (см. [1])
1 2
[L1 , QA ]? = fA L1 + fA L2 ,
(9)
? ?
[L2 , QA ]? = f 1 L1 + f 2 L2 ,
A A

??
?
где QA — генераторы группы инвариантности, fA и fA — некоторые операторы,
определенные в пространстве решений уравнений (6).
Генераторы (инфинитезимальные операторы) преобразований (5а), (5б) для
функции ? (см. (7)) имеют вид
?
Jµ? = xµ p? ? x? pµ + Sµ? , (10)
Pµ = igµ? = pµ , µ, ? = 0, 1, 2, 3,
?x?
где
? ?
? ?
1
Sab 0 0 Sbc
Sab = , S0a = ?abc ,
? ?
?Sbc ?
? 2
0 Sab 0
? ? ? ?
0 ?i 0
0 00i0
?i 0 0? ? 0 0 0 0?
0
=? ?, S23 = ? ?
? ?
S12 ? ?i 0 0 0 ? ,
?0 0 0?
0
(10 )
00 0
0 0 000
? ?
00 00
?0 0 ?i 0 ?
=? ?,
?
S31 ?0 i 0 0?
00 00

Операторы P0 и Pa генерируют преобразования, характеризуемые параметрами b
и aa , а Jab и J0a — преобразования, задаваемые параметрами ?abc ?c и ?a .
Используя тождества (см. [11, 18])
2
p?S S·p p S·p S·p
S? ·
i = ,
p p p p p

где
1/2
p = p2 + p2 + p2
Sa = Sbc , ,
1 2 3

нетрудно показать, что на множестве решений уравнений (6) генераторы (10) при-
нимают следующий вид:
? 1
P0 = ? · p, Pa = pa = ?i J0a = tpa ? [Xa , P0 ]+ ,
,
?xa 2 (11)
Jab = xa pb ? xb pa + Sab ? Xa pb ? Xb pa + pc ?,
?
где
pa P0 Sab pb 1 ?abc pa Sbc pc
Xa = xa ? i + , ?= , pc =
? .
p2 p2 2 p p
Групповые свойства уравнений Максвелла 503

Операторы (11) удовлетворяют коммутационным соотношениям, определяющим ал-
гебру Ли группы Пуанкаре:
[Jµ? , P? ]? = i(g?? Pµ ? gµ? P? ),
[Pµ , P? ]? = 0,
(12)
[Jµ? , J?? ]? = i(g?? Jµ? + gµ? J?? ? gµ? J?? ? g?? Jµ? ),
и условиям инвариантности (9):
1
(13)
[L1 , QA ]? = 0, [L2 , QA ]? = [p, QA ]? = L2 ,
p
где QA — любой из операторов (11). Генераторы (11) эрмитовы относительно ска-
лярного произведения
d3 p
d3 x exp [i(p ? p )x ] ?+ ?2 . (14)
(?1 , ?2 ) = 1
2p 2
Это означает, что преобразования (5а), (5б) унитарны. Ниже будет доказана уни-
тарность остальных преобразований (5в), (5г) из конформной группы.
§ 3. Явно эрмитово представление конформной алгебры
Приведем простое и конструктивное доказательство того, что на множестве
решений произвольного релятивистского уравнения для частицы с нулевой массой
и дискретным спином реализуется унитарное представление конформной группы.
Частным случаем таких уравнений являются уравнения Максвелла (1). Теорема,
доказанная ниже, обобщает известный результат Гросса (см. [8]) и дает элемен-
тарное доказательство унитарности преобразований (5в), (5г).
Определение. Будем говорить, что уравнение пуанкаре-инвариантно и опи-
сывает движение частицы с нулевой массой и дискретным спином, если на
множестве его решений можно задать унитарное (в общем случае приводи-
мое) представление группы Пуанкаре, соответствующее нулевым значениям
операторов Казимира:

Pµ P µ = 0, Wµ W µ = 0, (15)

где Wµ — вектор Любанского–Паули (см. [14])
1
(16)
Wµ = ?µ??? Jµ? P? ,
2
а Pµ и Jµ? — генераторы группы P (1, 3).
Теорема 1. Произвольное пуанкаре-инвариантное уравнение для безмассовой
частицы дискретного спина инвариантно относительно алгебры Ли конформ-
ной группы C4 , базисные элементы которой задаются операторами Pµ , Jµ?
и
1 P0 Pa
D=? , J0a ,
2 P2 +
(17)
1 P0 Pµ P? 1
? ?2 ?
Kµ = , [J0b , Jµb ]+ , J0b J0b + gµ? 2 ,
P2 P2
2 P 2
+ +
504 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

где символ [A, B]+ обозначает антикоммутатор,

[A, B]+ ? AB + BA,

? — инвариантный оператор спиральности,
1
?= ?abc Jab Pc ,
2p
Pµ и Jµ? — базисные элементы алгебры P (1, 3)2 , а D и Kµ — операторы,
дополняющие алгебру P (1, 3) до алгебры C4 .
Доказательство. Поскольку операторы Pµ и Jµ? по определению удовлетворяют
алгебре (12), доказательство теоремы сводится к проверке справедливости следу-
ющих соотношений:
[Jµ? , K? ]? = i(g?? Kµ ? gµ? K? ), [Kµ , P? ]? = 2(igµ? D ? Jµ? ),
(18)
[D, Kµ ]? = ?iKµ ,
[D, Pµ ]? = iPµ , [Kµ , K? ]? = 0, [Jµ? , D]? = 0,
которые определяют совместно с (12) алгебру C4 . Такую проверку нетрудно осу-
ществить непосредственно, принимая во внимание, что генераторы Pµ и Jµ? удов-
летворяют соотношениям (см. [15])
P0
Wµ = ?Pµ .
P

<< Предыдущая

стр. 115
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>