<< Предыдущая

стр. 116
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Таким образом, формулы (17) дают явное выражение генераторов конформ-
ной группы через генераторы ее подгруппы P (1, 3). Отметим, что генераторы (18)
имеют явно эрмитову форму и, следовательно, порождают совместно с Pµ и Jµ?
унитарное представление конформной группы. Теорема доказана.
Продемонстрируем конструктивный характер доказанной теоремы на примере
уравнений Максвелла. Эти уравнения пуанкаре-инвариантны, генераторы группы
P (1, 3) задаются формулами (10) и, как нетрудно проверить, удовлетворяют усло-
виям (15). Но тогда, согласно теореме 1, уравнения (6) инвариантны также относи-
тельно конформной группы. Подставив операторы (10) в (17), получаем генераторы
D и Kµ этой группы в виде
1
D = ? [Xµ , P µ ]+ ,
2
(19)
1 Pµ 1
Kµ = ?[Jµ? , X ]+ + [Pµ , X? X ? ]+ ? 2
? 2
?+ .
2 P 4
Генераторы (19) эрмитовы в скалярном произведении (14) и на множестве ре-
шений уравнений (15) могут быть представлены в обычной форме (см. [16]):
Kµ = 2xµ D ? x? x? pµ + 2x? Sµ? .
D = xµ pµ + 2i, (20)

Отсюда следует, что генераторы (20) также эрмитовы относительно (14), а это
означает, что порождаемые ими преобразования (5в), (5г) унитарны.


2 Мы используем одинаковые обозначения для групп и для соответствующих алгебр Ли.
Групповые свойства уравнений Максвелла 505

§ 4. Инвариантность уравнений Максвелла
относительно группы U (2) ? U (2)
Выше подробно обсуждалась инвариантность уравнений Максвелла относи-
тельно конформной группы. Хорошо известно, что эти уравнения инвариантны
также относительно преобразований Хевисайда–Лармора [4, 5]
E > H, H > ?E,
и относительно более общих преобразований (см. [6]):
E > E = E cos ? + H sin ?,
(21)
H > H = H cos ? ? E sin ?.
Покажем, что симметрия уравнений Максвелла еще шире, а именно, что урав-
нения (1) инвариантны относительно совокупности преобразований, образующих
представление группы U (2) ? U (2) и включающих (21) как однопараметрическую
подгруппу. Теорема о такой дополнительной симметрии уравнений Максвелла
была сформулирована в работе [17], где показано, что эта группа порождается
не преобразованиями координата xµ , а преобразованиями вида (0). Однако в ра-
боте [17] не был найден явный вид функций fi и gi из (0).
Теорема 2. Уравнения Максвелла (1) инвариантны относительно преобразова-
ний:
? 1 ?
? ?
Ha > Ha = Ha cos + iFab Eb ?1 ? ?abc pb (Hc ?3 + iFcd Ed ?2 )
? sin ,
2 ? 2
(22а)
? 1 ?
? ?
Ea > Ea = Ea cos + ?iFab Hb ?1 ? ?abc pb (Ec ?3 + iFcd Hd ?2 )
? sin ,
2 ? 2
? 1 ?
?? ?
Ha > Ha = Ha cos ? i?abc pb Fcd Hd ?1 + Fab Hb ?2 ? Ea ?3 sin ,
2 ? 2
(22б)
? 1 ?
?? ?
Ea > Ea = Ea cos + i?abc pb Fcd Ed ?1 ? Fab Eb ?2 ? Ha ?3 sin ,
2 ? 2
Ha > Ha = Ha cos ? + i?abc pb Ec sin ?,
?
(22в)
Ea > Ea = Ea cos ? ? i?abc pb Ec sin ?,
?
где
pb
1/2 1/2
? = ?2 + ?2 + ?2 2 2 2
, ? = ?1 + ?2 + ?3 , pb =
? ,
1 2 3
p
?a , ?a и ? — произвольные действительные параметры, (a, b, c) — цикл (1,2,3),

Fad = p2 p2 + p2 p2 ? p2 p2 ?ad + p1 p2 p3 (pb ?cd + pc ?bd ? pa pd ) L?1 ,
? ?
ac ab bc
v
1/2
2 2 2 2
p2 ? p 2 p4 + p 2 ? p 2 p4 + p 2 ? p 2 p4
L= .
1 2 3 1 3 2 2 3 1
2
Преобразования (22) совместно с тривиальным фазовым преобразованием
E > E exp(i?), H > H exp(i?) (23)
образуют представление группы U (2) ? U (2).
506 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Доказательство. Можно убедиться непосредственно проверкой, что E , H , E ,
H , E , H удовлетворяют тем же уравнениям (1), что и непреобразованные E
и H, а инфинитезимальные операторы преобразований (22), (23) образуют алге-
бру Ли группы U (2) ? U (2). Однако более конструктивный путь (позволяющий
обобщить полученные результаты для других пуанкаре-инвариантных уравнений)
состоит в том, чтобы привести уравнения (1) к такой эквивалентной форме, для
которой утверждения теоремы становятся очевидными.
Будем исходить из матричной формы уравнений Максвелла (6). Эти уравнения
могут быть приведены к канонической диагональной форме. Такую диагонализа-
цию мы осуществим в два этапа. Сначала используем унитарный оператор
?
U1 = exp(?2 ? 1)F S · p , (24)
?
4
где ?2 и, далее, ?1 , ?2 – матрицы Паули:

0? ? ?0
? ?I
?I I?
0
(25)
?1 = , ?2 = i , ?3 = ,
?0 ?0 ?
? ?I
I? I? 0
?0
I и ? — четырехрядные квадратные единичные и нулевые матрицы,

p2 p2 + p2 p2 ? p2 p2 1 ? Sa +
2
F= ac ab bc
a=b=c
(26)
2
L?1 .
?
+p1 p2 p3 Sa Sb pc ? p1 p2 p3 p 1 ? S · p

Принимая во внимание соотношения
2
? ? ? ? ? ?
F · S · p = ?S · p · F, F · S·p S · p F 2 = S · p, S · p · S4a pa = 0,
= F,

получаем из (6) следующую эквивалентную систему уравнений:
?
? S · p,
+
L1 ? = 0, L1 = U1 L1 U1 = i ? = U1 ?,
?t (27)
+
L2 ? = 0, L2 = U1 L2 U1 = S4a pa .

Следующий этап состоит в приведении к матричной форме операторов S · p и
S4a pa . Это достигается посредством преобразования
1
S · p > U2 S · p U2 = ? = v (S1 + S2 + S3 ),
+
3
(28)
1
S4a pa > U2 S4a pa U2 = ? = v (S41 + S42 + S43 ),
+
3
где
S a pa
? p?
U2 = exp ?i arctg ,
p? p1 + p2 + p3 (29)
pa = p b ? p c , p = p 2 + p2 + p2 .
(a, b, c) — цикл (1, 2, 3),
? ? ?1 ?2 ?3
Групповые свойства уравнений Максвелла 507

Из (26), (27) следует, что преобразование
? > ? = W ?, (30)
W = U2 U1
приводит уравнения (6) к квазидиагональной форме
?
? ?p,
L1 = W L1 W + = i
L1 ? = 0,
?t (31)
+
L2 ? = 0, L2 = W L2 W = ?p,
где коммутирующие между собой матрицы ? и ?, не умаляя общности, можно
считать диагональными.
Условие инвариантности (9) для уравнений (31) принимает форму
[L1 , QA ]? = fA 1 L1 + fA 2 L2 ,
(32)
? ?
[L2 , QA ]? = fA 1 L1 + fA 2 L2 ,
Нетрудно убедиться, что условиям (32) удовлетворяют матрицы
1 1
?a ?2 ,
Qa = ?bc = ?a ?, Q3+a = ?4a =
2 2
(33)
?0
I?
Q7 = ?7 = ?, Q8 = ?8 = , a = 1, 2, 3.
0?
?I

Используя представление (8), (10), (25), для матриц ?a и Sab можно показать,
что формулы (33) задают полный набор матриц, удовлетворяющих условиям (32);
при этом
? ?
fA 1 = fA 2 = fA 1 = fA 2 = 0. (34)
Операторы (33) удовлетворяют коммутационным соотношениям
[?kl , ?mn ]? = i (?km ?ln + ?ln ?km ? ?kn ?lm ? ?lm ?kn ) ,
(35а)
[?5 , ?kl ]? = [?7 , ?kl ]? = [?7 , ?8 ]? = 0
и условиям
1
?2 ? = ?2 ? = ?, (35б)
?, ? = 7, 8,
kl ?
4
т.е. операторы ?kl образуют представление D 1 , 0 ? D 0, 1 алгебры Ли группы
2 2
O(4) ? SU (2) ? SU (2), а ?kl и ?? — соответствующее представление алгебры Ли
группы U (2) ? U (2). Отсюда следует, что уравнения (31) инвариантны относитель-
но произвольных преобразований из группы U (2) ? U (2):
sin 1 ?
i
? > ? = exp 2
? ?c ?abc ? = cos ? + i?abc ?ab ?c ?,
2 ab ?
sin 1 ?
? > ? = exp {i?4a ?a } ? = 2
cos ? + 2i?4a ?a ?, (36)
?
?>? = exp(i?7 ?)? = (cos ? + i?7 sin ?)?,
? > ?IV = exp(i?8 ?)? = exp(i?)?.
508 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Возвращаясь с помощью оператора, обратного (30), к исходному ?-представле-
нию, получаем из (36) преобразования, оставляющие инвариантным уравнение (6):
sin 1 ?
?>? = 2
cos ? + i?abc ?ab ?c ?,
?
sin 1 ?
?>? = 2
cos ? + 2i?4a ?a ?, (37)
?
?>? = (cos ? + i?7 sin ?)?,
? > ?IV = (cos ? + i?8 sin ?)?,
где
1 1?
?kl = u+ ?kl u, ?? = u + ?? u, ?12 = S a pa ,
? ?23 = ?1 F ,
2 2
i i 1?
?? ?? ?42 = ? ?3 F (Sa pa )2 , (38)
?31 = ? 1 S a pa F , ?41 = ?3 Sa pa F , ?
2 2 2
1
= ? ?2 (Sa p2 )2 ,
?43 ?a ?5 = ?2 Sa pa ,
? ?6 = 1.
2
Подставив выражения (38), (7) в (37), приходим к формулам (22) и (23). Теорема
доказана.
Таким образом, мы нашли новую восьмипараметрическую группу симметрии
уравнений Максвелла, задаваемую преобразованиями (22), (23). Особенность этих
преобразований состоит в том, что в отличие от (5) они являются нелокальными.
Преобразования (22), (23) унитарны как относительно метрики (14), так и отно-
сительно скалярного произведения

<< Предыдущая

стр. 116
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>