<< Предыдущая

стр. 117
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


d3 x ?+ ?2 . (39)
(?1 , ?2 ) = 1


Подставляя в формулу (39) явный вид функции ? (см. (7)) и налагая на E и H
условие эрмитовости, приходим к выводу, что преобразования (22), (23) сохраняют
величину

d3 x (E 2 + H 2 ), (40)
?=

которая определяет энергию электромагнитного поля.
Подчеркнем еще раз, что преобразования (22), (23) не имеют ничего общего
с неоднородными преобразованиями Лоренца (5а), (5б), поскольку они реализуют
унитарное конечномерное представление компактной группы U (2)?U (2). В случае
?1 = ?2 = 0 формулы (226) задают преобразование Хевисайда–Лармора–Райнича
(21).
Отметим также, что используя формализм, разработанный в [9–11], результаты
теоремы 2 нетрудно обобщить на уравнения для безмассовых частиц с произволь-
ным спином, инвариантные относительно группы Пуанкаре.
Групповые свойства уравнений Максвелла 509

§ 5. Симметрия первой пары уравнений Максвелла
Исследуем инвариантность уравнений (1а):

?H ?E
rot E = ? rot H = (41)
,
?t ?t
без дополнительных условий (1б).
Нетрудно убедиться, что в отличие от системы (1) уравнения (41) неинвари-
антны относительно всех преобразований (5), (2), но инвариантны только относи-
тельно преобразований (1а), (1в), (5а), (5в), т.е. относительно группы поворотов
и сдвигов трехмерного евклидова пространства E(3) и относительно масштабных
преобразований.
Таким образом, отказ от дополнительных условий (16) приводит к тому, что
симметрия системы уравнений относительно локальных преобразований вида (2),
(5) сужается. При этом, однако, как будет показано ниже, расширяется симметрия
относительно интегро-дифференциальных преобразований (0).
Теорема 3. Система уравнений (41) инвариантна относительно совокупности
преобразований, задаваемых формулами

1 1
Ha > Ha = Ha cos ? + i?a pb Hb 1 ? cos ? +
p?
2 2
1 1
? ?
+ iFab Eb ?1 ? ?abc pb (Hc ?3 + iFcd Ed ?2 )
? sin ?,
? 2
(42а)
1 1
Ea > Ea = Ea cos ? + i?a pb Eb 1 ? cos ? +
p?
2 2
1 1
? ?
+ ?iFab Hb ?1 ? ?abc pb (Ec ?3 + iFcd Hd ?2 )
? sin ?,
? 2

1 1
Ha > Ha = Ha cos ? + pa pb Hb 1 ? cos ? +
??
2 2
1 1
? ??
+ (Ea ? pa pb Eb )?3 ? Fab Hb ?2 ? i?abc pb Fcd Hd ?1
?? sin ?,
? 2
(42б)
1 1
Ea > Ea = Ea cos ? + pa pb Eb 1 ? cos ? +
??
2 2
1 1
? ??
+ ?(Ha ? pa pb Hb )?3 ? Fab Eb ?2 + i?abc pb Fcd Ed ?1
?? sin ?,
? 2

1 1
Ea > Ea cos ? + pa pb Eb 1 ? cos ? +
??
2 2
1 1
+i?a pb [?Eb ?3 + Hb (?1 + i?2 )] sin ?,
p?
? 2
(42в)
1 1
Ha > Ha cos ? + pa pb Hb 1 ? cos ? +
??
2 2
1 1
+i?a pb [Hb ?3 + Eb (?1 ? i?2 )] sin ?,
p?
? 2
510 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

Ea > Ea cos ? + pa pb Eb (1 ? cos ?) + (Ha ? pa pb Hb ) sin ?,
?? ??
Ha > Ha cos ? + pa pb Hb (1 ? cos ?) ? (Ea ? pa pb Eb ) sin ?,
?? ??

Ea > Ea cos ? + pa pb Eb (1 ? cos ?) ? i?abc pb Hc sin ?,
?? ?
Ha > Ha cos ? + pa pb Hb (1 ? cos ?) + i?abc pb Ec sin ?,
?? ?

Ea > Ea exp(ic), Ha > Ha exp(ic), (42г)

где
1/2 1/2 1/2
2 2 2
? = ?2 + ?2 + ?2 2 2 2
? = ?1 + ?2 + ?3 , , ? = ?1 + ?2 + ?3 ,
1 2 3

?a , ?a , ?a , ?, ?, c — произвольные действительные параметры. Преобразования
(42) образуют представление группы U (2) ? U (2) ? U (2).
Доказательство. Инвариантность уравнений (41) относительно преобразований
(42) легко может быть проверена непосредственно. Менее очевидна групповая
структура этих преобразований, которую проще всего установить, преобразуя
уравнения (41) к диагональному виду.
Запишем уравнения (41) в матричной форме
?
? ??
? ? 2 S a pa , (43)
L? = 0, L=i
?t
?
где ? — шестикомпонентная функция:

? — столбец (H1 , H2 , H3 , E1 , E2 , E3 ),
(44)
?
? ?I ?
0 Sa 0
?
?2 = i , Sa = ,
?0 ?
I? 0 Sa
? ? ? ? ? ?
0 ?i 0 00 i 00 0
?i 0 0 ?, ?0 0 0 ?, ?0 0 ?i ? , (45)
S1 = S2 = S3 =
?i 0
00 0 0 0i 0

?0
I и ? — трехрядные квадратные единичные и нулевые матрицы.
Диагонализируем уравнение (43). Используя для этой цели унитарный оператор

U = U1 U2 U3 U4 ,
v
?? ?, i?
U2 = exp v (S2 ? S1 ) arctg 2 ,
?
U1 = exp i[S1 , S2 ]+
4 2 (46)
??
S a pa p? ?
??
U3 = exp ?i U4 = exp (?2 ? 1)F S · p
arctg , ? ,
p? p1 + p2 + p3 4

? ?
где F — оператор, полученный из (26) заменой Sa > Sa , приходим к уравнениям
?
L = U LU ?1 = i(S1 S2 + S2 S1 )S3 p ? i ,
? ?? ?? ? ? (47)
L ? = 0, ? = U ?.
?t
Групповые свойства уравнений Максвелла 511

Формулы (47) задают систему незацепляющихся уравнений, поскольку согла-
сно (45)
? ?
1 0 0
? 0 ?1 0 ?
?
0
? ?
?0 ?
0 0
i(S1 S2 + S2 S1 )S3 = ? ? = ?0 .
?? ?? ? (48)
? ?1 0 0 ?
? ?
? 1 0?
? 0
0
0 00
Из (47), (48) заключаем, что существует двенадцать линейно независимых матриц
?
QA , коммутирующих с ?0 и тем самым удовлетворяющих условию инвариантности
уравнений (47):
? (49)
[L1 , QA ]? ? = 0.
Полный набор таких матриц выберем в виде
1 1
? ? ? ? ? ?
Q3+a = ?4a = ?2 ?a ,
Qa = ?bc = ?0 ?a ,
? ? Q7 = ?7 = ?0 ,
20
2
1
? ? ? ?
Q9 = 1 ? ?2 , 1 ? ?2 ?a , a = 1, 2, 3,
Q8 = ?8 = ?0 ,
? Q9+a = 0?
0
2
где
?0 0? ?0
I? ?I I?
?0 =
? , ?1 = i
? , ?3 =
? ,
0? ?0 ?
? ?I
?I I? 0
? ?
Операторы ?ab , ?? удовлетворяют коммутационным соотношениям (35), т.е.
?
реализуют представление алгебры Ли группы U (2) ? U (2). Матрицы Q8+l орто-
? ?
гональны ?ab , ?? и образуют алгебру Ли группы U (2). Отсюда заключаем, что
уравнения (47) инвариантны относительно произвольных преобразований из груп-
пы U (2) ? U (2) ? U (2):
? ?
2
? ?a ? ?a
2Qa ? 2Q ??
? > exp iQa ?a ? = ?1 + cos ? 1 + i a sin ? ?, (51а)
? ? ?
? 2 ? 2

? ? ?
? > exp iQ3+a ?a ? =
? ?
? 2 (51б)
? ?
2Q3+a ?a 2Q ?a
? ??
cos ? 1 + i 3+a sin ? ?,
= 1+
? ? 2 ? 2

? ? ?
? > exp iQ9+a ?a ? =
? ?
? 2 (51в)
? ?
2Q9+a ?a 2Q ?a
? ??
cos ? 1 + i 9+a sin ? ?,
= 1+
? ? 2 ? 2

2
? ? ? ? ? ?
? > exp iQ6+a ?a ? = (cos ?a ? 1) + iQ6+a sin ?a ?, (51г)
1 + Q6+a

<< Предыдущая

стр. 117
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>