<< Предыдущая

стр. 118
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

512 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

?1 = ?, ?2 = ?, ?3 = c.

Возвращаясь с помощью оператора, обратного (46), к исходному ?-представлению
(44), получаем из (51) закон преобразования (42) для векторов E и H. Теорема
доказана.
§ 6. Инвариантность уравнений Максвелла
относительно 22-мерной алгебры Ли
Рассмотрим снова уравнения Максвелла (1), (6). Мы показали выше, что су-
ществуют два набора генераторов — {Pµ , Jµ? , Kµ , D} и {?kl , ?5 , ?6 }, удовлетворя-
ющих условиям инвариантности этих уравнений (9). При этом, однако, операторы
(10), (11) и (38) не образуют замкнутой алгебры. Симметрия уравнений (6), (1)
относительно 22-мерной алгебры Ли, включающей подалгебры C4 и U (2) ? U (2),
устанавливается следующей теоремой.
Теорема 4. Уравнения (6) инвариантны относительно 22-мерной алгебры Ли,
базисные элементы которой задаются операторами (38) и генераторами
? ?
Jµ? = xµ p? ? x? pµ ,
Pµ = p µ ,
(52)
? ? ?
Kµ = ?x? x ? pµ + 2xµ D,
D = xµ pµ + i,

где

xa = W + xa W,

W — оператор, заданный формулой (30).
Доказательство. Утверждения теоремы легко проверить непосредственно в пред-
ставлении, где уравнения (6) имеют форму (31). В таком представлении операторы
(38) принимают вид (34), а для операторов (52) получаем с помощью преобразо-
вания (30)
? ? ? ?
Jµ? = W Jµ? W + = xµ p? ? x? pµ ,
P µ = W P µ W + = pµ ,
(53)
? ? ? ? ?
Kµ = W Kµ W + = ?x? x? pµ + 2xµ D .
D = W DW + = xµ pµ + i,

Прямой проверкой убеждаемся, что операторы L1 и L2 (31) и генераторы (34), (53)
удовлетворяют условиям инвариантности (33):

[L1 , Pµ ]? = [L1 , Jab ]? = [L1 , ?kl ]? = 0,
?3
[L1 , K0 ]? = 2i x0 + (xa pa ? i) L1 ,
p
pa
[L1 , Ka ]? = 2i x0 ?3 + xa L1 , [L? , D ]? = iL? , ? = 1, 2,
p
[L1 , J0a ]? = ?i?3 pa L1 ,
? [L2 , Pµ ]? = [L2 , Jab ]? = [L2 , ?kl ]? = 0,
[L2 , QA ]? = [p, QA ]? p?1 L2 , {QA } = {Kµ , J0a }, [L? , ?6 ]? = 0.

?? ??
Операторы Pµ , Jµ? , Kµ , D удовлетворяют алгебре (12), (18) и коммутируют с ?kl ,
?5 , ?6 , т.е. образуют алгебру Ли группы U (2) ? U (2) ? U (2). Теорема доказана.
Групповые свойства уравнений Максвелла 513

Используя формализм, предложенный в работах [9–11], утверждения теоремы 4
можно обобщить на случай пуанкаре-инвариантных уравнений для безмассовых
частиц произвольного спина.
Отметим, что генераторы (38), (52) являются нелокальными (интегро-диффе-
ренциальными) операторами. Это означает, что найденная алгебра инвариантности
уравнений Максвелла в принципе не может быть получена в классическом подходе
Ли (см. [7]), где, как известно, генераторы группы всегда принадлежат классу
дифференциальных операторов первого порядка.
§ 7. Инвариантность уравнений Максвелла относительно
преобразований, не изменяющих времени
Хорошо известно, что уравнения Максвелла (1), (6) инвариантны относительно
преобразований координат и времени вида (2а), (2б), образующих неоднородную
группу Лоренца (группу Пуанкаре). Здесь мы покажем, что уравнения (6) оста-
ются инвариантными и в том случае, когда волновая функция преобразуется по
представлению группы Пуанкаре, а координаты xµ преобразуются по нелоренцев-
скому закону

xa > xa = xa (?b , ?b , xb ), x0 > x0 = x0 , (54)

где ?b , ?b — некоторые параметры.
Инвариантность уравнений (6) относительно преобразований (54) по существу
установлена ранее в параграфе 2, где показано, что генераторы группы P (1, 3)
на множестве решений этих уравнений имеют вид (11). Действительно, нетрудно
убедиться, что

[Jµ? , x0 ]? = [Pµ , x0 ]? = 0.

Здесь мы найдем в явном виде группу преобразований, порождаемых генерато-
рами (11). Формально эти преобразования могут быть записаны в виде

? ?
? > ? = W ?, ? = exp(iQA ?A ),
(55)
? ?
xµ > xµ = W xµ W + ,

где QA — произвольный генератор из (11), ?A — действительные параметры, A =
1, 2, . . . , 10.
Поскольку генераторы J0a (11) невозможно представить в виде суммы двух
коммутирующих операторов, один из которых выражался бы только через число-
вые матрицы, а второй — через операторы дифференцирования и умножения на
x0 , вычисление явного вида xa (55) представляет довольно сложную задачу. Для
?
решения этой задачи преобразуем операторы W к такой форме, чтобы они не со-
держали матриц под знаком экспоненты. Ограничимся нетривиальным случаем,
когда {QA } = {J0a }, т.е. рассмотрим только операторы преобразований вида

(56)
W = exp(iJ0a ?a ).

Используя тождество

(57)
iJ0a ?a = A+ P+ + A? P? ,
514 В.И. Фущич, А.Г. Никитин

где
1 pa
A± = i(tpa ? x± p + S0a )?a , x± = xa ? i
(1 ± ? · p),
P± = ? ?a ,
p2
2
и соотношения
A± P± A± P± = A2 P± , P± P ± = P ± , P± P? = 0,
±
(58)
P± A? P? = P? A± P± = 0,

приводим (54) к желаемой форме:

W = exp(iJ0a ?a ) = N (?) [exp(iB+ )P+ + exp(iB? )P? ] ,
(59)
W ?1 = exp(?iJ0a ?a ) = N (??) [exp(?iB+ )P+ + exp(?iB? )P? ] ,
где
2
iS0a ?a S0a ?a
(ch ? 1),
sh ? +
N (?) = exp(iS0a ?a ) = 1 +
? ? (60)
B? = tpa + x? p,
B+ = tpa ? x+ p, ?2 .
?a ?a ?= a

Формулы (59), (60) задают искомое представление операторов W , в котором
не содержатся матрицы под знаком экспоненты. Подставив (59) в (55), получаем
теперь прямым вычислением закон преобразования для xµ :

x0 = W x0 W ?1 = x0 ,

xa = W xa W ?1 = xa + [W, xa ]? W ?1 = [exp(iB+ ), xa ]? P+ +

+[exp(iB? ), xa ]? P? + N (?)[P+ , xa ]? + N (?)[P? , xa ]? ?

?N (??)[exp(?iB+ )P+ + exp(?iB? )P? ] = xa [1 ? N (??)]+

1 2ipa (??)
? Ba (??) N (??)P? +
?
+ tpa (??) +
p(??) p(??)
?=1,?1

i pa (??)? · p ? i?0 (?)
+ (P? + V? P?? ) ,
2 p(??)

где
? a ? b pb ?a
(ch ? ? 1) + p sh (??),
pa (??) = pa +
?2 ?
?
?a Bb ?b Mab ?b
(ch ? ? 1) +
? ?
Ba (??) = Ba ch ? + sh (??),
?2 ?
pa ? a
Ba = tpa ? ?x? E, Mab = xa pb ? xb pa ,
?
p(??) = p ch ? + sh (??),
a
?
?a ?b ?b i?a ?b ?b
(ch ? ? 1) ?
?a (??) = ?a ch ? + sh ?,
?2 ?2
V? = V ?1 .
V+ = exp(?2ix · ?p) exp[2itp(1 ? ch ?)],
Групповые свойства уравнений Максвелла 515

Таким образом, мы получили закон преобразования (61) для операторов xµ ,
порождаемых генераторами J0a (11). Принципиальное отличие преобразований (61)
от (2а), (2б) состоит в том, что преобразования (51) не сохраняют квадратичную
форму (3) (и не изменяют времени, x0 = x0 ), хотя волновая функция ? при этом
преобразуется по представлению группы Пуанкаре.

1. Фущич В.И., О новом методе исследования групповых свойств дифференциальных уравнений
в частных производных, В кн.: Теоретико-групповые методы в математической физике, Киев,
1978, 5–44.
2. Bateman Н., The transformation of the electron dynamical equations, Proc. London Math. Soc.,
1909, 8, 223–264,
3. Cunningham E., The principle of relativity in electrodinamics and an extention thereof, Proc. London
Math. Soc., 1909, 8, 77–97.
4. Heaviside O., Some properties of Maxwell equations, Phil. Trans. Roy. Soc. A, 1893, 183, 423–430.
5. Larmor I., Collected Papers, London, Clarendon Press, 1928, 273 p.
6. Rainich G.I., On the symmetry of Maxwell equations, Trans. Am. Math. Soc., 1925, 27, 106–109,
7. Овсянников Л.В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., Наука, 1978, 400 с.
8. Gross L., Norm invariance of mass-zero equations under conformal group, J. Math. Phys., 1964, 5,
687–695.
9. Фущич В.И., Никитин А.Г., Дифференциальные уравнения первого и второго порядка, инвари-
антные относительно группы Пуанкаре, Препринт 77.3, Киев, Ин-т математики АН УССР, 1977,
48 с.
10. Никитин А.Г., Фущич В.И., Пуанкаре-инвариантные дифференциальные уравнения для частиц
произвольного спина, Теор. и мат. физика, 1978, 34, № 3, 319–333.
11. Фущич В.И., Никитин А.Г., Пуанкаре-инвариантные уравнения движения частиц произвольного
спина, Физика элементарных частиц и атомного ядра (ЭЧАЯ), 1978, 9, вып. 3, 501–553.
12. Lomont I.S., Dirac-like wave equations for particles of zero rest mass and their quantization,
Physical Rewiew, 1958, 111, № 6, 1710–1719.
13. Moses H.E., A spinor representation of Maxwell’s equation, Nuovo Cimento Suppl., 1958, 7, № 1,
1–18.
14. Боголюбов H.H., Логунов А.А., Тодоров И.Т., Основы аксиоматического подхода в квантовой
теории поля, М., Наука, 1969, 424 с.
15. Швебер С., Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, М., Изд-во иностр. лит., 1963,
842 с.
16. Mack G., Salam A., Finite-component field representations of the conformal group, Annals of
Physics, 1969, 53, 174–202.
17. Fushchych W.I., On the additional invariance of the Dirac and Maxwell equations, Lettere Nuovo
Cimento, 1974, 11, № 10, 508–512.
18. Фущич В.И., Грищенко А.Л., Никитин А.Г., О релятивистских уравнениях движения без “ли-
шних” компонент, Теор. и мат. физика, 1971, 8, № 2, 192–205.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 516–530.

Пуанкаре-инвариантные
дифференциальные уравнения
для частиц произвольного спина
А.Г. НИКИТИН, В.И. ФУЩИЧ
The first and the second order differential equations have been deduced which describe
the motion of relativistic particle with arbitrary spin. On the basis of these equations, the
problem of the motion of the arbitrary spin particle in the homogeneous magnetic field
has been solved exactly. The covariant position and spin operators have been obtained
which are distinct from the Newton–Wigner and the Foldy–Wouthuysen operators. The
approximate diagonalization of the Hamiltonian of the particle interacting with the
external electromagnetic field has been carried out.
Выведены дифференциальные уравнения первого и второго порядка, описывающие
движение релятивистской частицы с произвольным спином. На основе этих уравне-
ний точно решена задача о движении частицы произвольного спина в однородном
магнитном поле. Найдены ковариантные операторы координаты и спина частицы,
отличные от известных операторов Ньютона–Вигнера и Фолди–Ваутхойзена. Осуще-
ствлена приближенная диагонализация гамильтониана частицы, взаимодействующей
с внешним электромагнитным полем.
Введение
Во всех явно ковариантных релятивистских уравнениях первого порядка, опи-
сывающих движение частиц со спином s > 1/2, волновая функция имеет больше
компонент, чем число возможных 2(2s + 1) состояний свободной системы частица–
античастица. Это “излишество” является, видимо, одной из причин появления в
уравнениях Кеммера–Дэффина [1] (s = 1), Рариты–Швингера [2] (s = 3/2),
описывающих поведение частиц во внешних электромагнитных полях, решений,
соответствующих движению частиц с ненулевой массой со скоростью большей,
чем скорость света в вакууме. К настоящему времени только уравнение Дирака,
не имеющее лишних компонент, не приводит к указанным нефизический следстви-
ям.
Такое исключительное положение уравнения Дирака послужило стимулом для
построения уравнений движения вида
? ?
pa = ?i (0.1)
i ?(t, x) = H(p, s)?(t, x),

<< Предыдущая

стр. 118
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>