<< Предыдущая

стр. 119
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?t ?xa
для частицы с произвольным спином, где волновая функция ? имеет только
2(2s + 1) компонент [3, 4]. Особенность уравнений (0.1) состоит в том, что га-
мильтониан H(p, s) при s > 1/2 является интегродифференциальным операто-
ром. Требование отсутствия лишних компонент у волновой функции и условие
эрмитовости гамильтониана и других генераторов группы Пуанкаре относительно
обычного скалярного произведения

d3 x ?† (t, x)?2 (t, x) (0.2)
(?1 , ?2 ) = 1

Теоретическая и математическая физика, 1978, 34, № 3, С. 319–333.
Пуанкаре-инвариантные дифференциальные уравнения для частиц 517

приводят к нелокальным уравнениям движения (0.1) в конфигурационном про-
странстве. Это обстоятельство (нелокальность соответствующих гамильтонианов)
сильно затрудняет применение уравнений вида (0.1) для описания поведения ча-
стиц со спином s > 1/2 во внешних электромагнитных полях. В [4] на осно-
вании уравнений (0.1) решена задача о взаимодействии частицы произвольного
спина с внешним полем в предположении, что импульс частицы мал по сравне-
нию с ее массой покоя, т.е. получено квазирелятивистское описание частицы во
внешнем поле.
К аналогичным трудностям приводят уравнения, полученные Вивером, Хамме-
ром, Гудом [6] и Мэтьюзом с сотрудниками [7]. Основное отличие этих уравнений
от уравнений, полученных в [3, 4], состоит в том, что уравнения [6, 7] определены
в пространстве со скалярным произведением

d3 x?† (t, x)M ?2 (t, x), (0.3)
(?1 , ?2 ) = 1


где M — некоторый интегродифференциальный метрический оператор, зависящий
от импульса и спиновых матриц.
Гуертин [8], развивая подход [3, 4], вывел уравнения вида (0.1), используя
индефинитную метрику. Эти уравнения для s > 1 также являются интегродиффе-
ренциальными.
Настоящая работа является продолжением статей [3, 4]. Исходя из требования,
чтобы гамильтониан H(p, s) в (0.1) был дифференциальным оператором первого
или второго порядка, найдены все возможные (с точностью до преобразований
эквивалентности) пуанкаре-инвариантные уравнения для релятивистской частицы
произвольного спина, допускающие, как и уравнение Дирака, стандартное введе-
ние взаимодействия с внешним полем. Волновая функция в дифференциальных
уравнениях второго порядка имеет только 2(2s + 1) компонент. Для нижайших це-
лых спинов (s = 0, 1) эти уравнения совпадают с известными уравнениями Тамма–
Сакаты–Такетани (ТСТ) [9]. При этом, как и в формализме TCT, гамильтониан
H(p, s) не эрмитов относительно (0.2), но эрмитов в пространстве с индефини-
тной метрикой. Таким образом, индефинитность метрики — это цена, которую
приходится платить за то, что гамильтониан H(p, s) в уравнении (0.1) является
дифференциальным оператором, а волновая функция ?(t, x) не имеет лишних
компонент.
С использованием полученных уравнений точно решена задача о движении ре-
лятивистской частицы произвольного спина в однородном магнитном поле. Пока-
зано, что найденные уравнения не приводят к парадоксу нарушения причинности,
свойственному, например, уравнению Рариты–Швингера [2].
1. Постановка задачи
Дифференциальные уравнения движения частицы произвольного спина мы по-
лучим, исходя из следующего представления генераторов Pµ , Jµ? группы
P (1, 3) [5]:
?
Pa = pa = ?i
P 0 = Hs , ,
?xa
(1.1)
1
Jab = xa pb ? xb pa + Sab , = x0 pa ? [xa , Hs ]+ + ?a ,
J0a x0 = t,
2
518 А.Г. Никитин, В.И. Фущич

где [A, B]+ = AB + BA, Hs — неизвестный пока дифференциальный оператор,
включающий производные по ?/?xa не выше второго порядка,
?
Sc 0
(a, b, c) цикл (1, 2, 3), (1.2)
Sab = Sc = ,
?c
0 S
?
Sc — генераторы неприводимого представления D(s) группы O(3), ?? — некоторые
операторы, явный вид которых определяется требованием, чтобы генераторы (1.1)
удовлетворяли алгебре Пуанкаре P (1, 3).
Формулы (1.1) задают самый общий вид генераторов группы Пуанкаре, соответ-
ствующих локальным преобразованиям 2(2s + 1)-компонентной волновой функции
системы “частица + античастица” при повороте системы координат. Представле-
ния вида (1.1), где Hs при s > 1 принадлежит классу интегродифференциальных
операторов, рассматривались ранее в [8].
Определение. Будем, говорить, что уравнение (0.1) пуанкаре-инвариантно и
описывает свободное движение частицы с массой m и спином s, если опе-
раторы Pa , Jµ? (1.1) и гамильтониан Hs удовлетворяют коммутационным
соотношениям алгебры P (1, 3):
[Pµ , Jµ? ]? = i(gµ? P? ? gµ? P? ), (1.3а)
[Pµ , P? ]? = 0,

[Jµ? , J?? ]? = i(gµ? J?? + g?? Jµ? ? gµ? J?? ? g?? Jµ? ), (1.3б)

P µ P µ ? H s ? p 2 = m2 ,
2
(1.3в)
a

Wµ W µ ? = m2 s(s + 1)?, (1.3г)

где [A, B]? = AB ? BA, gµ? — метрический тензор, g?? = (?1, 1, 1, 1), Wµ —
вектор Любанского–Паули
1
(1.4)
Wµ = ?µ??? J?? P? .
2
Из сказанного следует, что если мы найдем все такие операторы Hs и ?a , для
которых будут удовлетворяться соотношения (1.3), то тем самым будет решена
задача о построении пуанкаре-инвариантных уравнений вида (0.1). Действительно,
если удовлетворяются соотношения (1.3), то выполняются условия инвариантности
уравнения (0.1) относительно алгебры Пуанкаре P (1, 3)
?
? Hs , QA (1.5)
i ? = 0,
?t ?

где QA — произвольный генератор группы P (1, 3).
2. Дифференциальные операторы Hs второго порядка
Решение нашей задачи приведем в виде следующей теоремы.
Теорема. Все возможные (с точностью до преобразований эквивалентности,
осуществляемых числовыми матрицами) дифференциальные операторы вто-
рого порядка Hs , удовлетворяющие алгебре P (1, 3) (1.3), задаются формулами
1
Hs = ?1 m + ?3 k1 S · p + (?1 ? i?2 ) p2 ? (k1 S · p)2 , (2.1)
2m
Пуанкаре-инвариантные дифференциальные уравнения для частиц 519

p2 i 1
? ?2 [p2 + 2k2 (S · p)2 ] + ?3 k2 (k2 ? 1) (S · p)2 ,
H1 = ? 1 m +
2m 2m m (2.2)
p2 = p 2 + p 2 + p 2 ,
1 2 3

(k3 S · p)2
p2 i
? +?3 k3 S ·p? ?2 p2 + (k3 ? 2)(S · p)2 ,(2.3)
H1 = ? 1 m +
2m 2m 2m

p2 ik4 5 1
?2 (S · p)2 ? p2 + k4 ? 1 ?3 p2 ,
2 (2.4)
H3/2 = ?1 m + +
2m 2m 4 2m

(k5 S · p)2
p2
? + ?3 k5 S · p?
H3/2 = ?1 m +
2m 2m
(2.5)
i
? 5k5 ? 4 (S · p)2 ? 9k5 ? 5 p2 ,
2 2
?2
8m
где ?a — 2(2s+1)-рядные матрицы Паули, коммутирующие с Sa , kl (l = 1, 2, . . . ,
5) — произвольные комплексные параметры.
Доказательство может быть проведено по схеме, подробно описанной в [3–5].
Ради краткости мы его опускаем. Приведем только явный вид операторов ?a , при
которых генераторы (1.1), (2.1)–(2.5) удовлетворяют соотношениям (1.3) (в чем
можно убедиться непосредственной проверкой).
В случае, когда гамильтониан Hs имеет вид (2.1),
k1 1
1? i?3 Sa ? (?1 ? i?2 )(p ? S)a . (2.6)
?a =
2 2m
В случае, когда Hs задается одной из формул (2.2)–(2.5),

i Hs
? 2xa Hs ? E[xa , ?1 ]?
?a = pa 2+ , ?1 ? ? +
2EBs E ?
(2.7)
Hs i
Sab pb ?
+ Sab pb (?1 E + Hs ) ,
E(E + m) EBs
1/2 1/2 ?
где Bs = 2E + [Hs , ?1 ]+ , E = p2 + m2 , p = p2 + p2 + p2 , A = i[Hs , A]? .
1 2 3
Замечание 1. Из формул (2.1)–(2.5) видно, что соотношения (1.3) определяют га-
мильтонианы релятивистской частицы с точностью до постоянных комплексных
чисел kl (l = 1, 2, . . . , 5). Уравнение (0.1) с такими гамильтонианами инвариантно
относительно преобразования “сильного отражения” ? = CP T , но, вообще говоря,
не инвариантно относительно P -, C-, и T -преобразований. Инвариантность урав-
нения (0.1) относительно любого из этих преобразований может быть обеспечена
специальным выбором чисел ki . Так, например, если в формуле (2.1) для спина
s = 1/2 положить k1 = 1/s, в формулах (2.2)–(2.5) положить k2 = 1, k3 = 0,
k4 = 1, k5 = 0, то получим P -, C-, T -инвариантные гамильтонианы вида
p2 p2
? i?2 (2.8)
H0 = ? 1 m+ ,
2m 2m

H1/2 = ?1 m + 2?3 S · p, (2.9)
520 А.Г. Никитин, В.И. Фущич

(S · p)2
p2 p2
? (2.10)
H1 = ? 1 m + + i?2 ,
2m m 2m

(S · p)2
p2 5p2
? (2.11)
H3/2 = ?1 m + + i?2 .
2m 2m 8m

Оператор (2.9) совпадает с гамильтонианом Дирака, а операторы (2.8), (2.10)
— с гамильтонианами ТСТ [9] для частиц со спином s = 0, 1. Оператор (2.1) для
спина s = 1/2 рассматривался ранее в [10].
Замечание 2. Все генераторы группы P (1, 3), определяемые формулами (1.1), (2.1),
(2.6), принадлежат классу дифференциальных операторов. При k1 = 2 генераторы
J0a (1.1), (2.6) принимают особо простой вид [3, 4]
1
J0a = x0 pa ? [xa , Hs ]+ . (2.12)
2
Замечание 3. Гамильтонианы (2.1)–(2.5) и остальные генераторы (1.1), (1.2), (2.6),
(2.7) группы P (1, 3) могут быть приведены к канонической форме Фолди–Широко-
ва [11, 12] и [3, 4]. Это достигается посредством изометрического преобразования
P0 > P0 = V P0 V ?1 = ?1 E, Pa > Pa = V Pa V ?1 = pa ,
k k


Jab > Jab = V Jab V ?1 = xa pb ? xb pa + Sab ,
k

(2.13)
1 Sab pb
?1
J0a > = x0 pa ? [xa , P0 ]+ ? ?1
k k
J0a = V J0a V ,
2 E+m
E = (m2 + p2 )1/2 ,
где операторы V имеют вид
S·p p
arth
V = V1 V 2 V 3 , V1 = exp ?1 ,
p E
1
[E?+ + m?? ? 2?1 ?? S · p],
V2 =
2m
1 1
?± = (1 ± ?3 ),
?1 ?+ (k1 ? 2)S · p ,
V3 = exp
2m 2
для гамильтонианов (2.1) и
1/2
V = (E + ?1 Hs ) 2E 2 + E(Hs , ?1 ]+
для гамильтонианов (2.2)–(2.5).
3. Дифференциальные гамильтоновы уравнения первого порядка
По аналогии с теорией Дирака для электрона постулируем, что в уравне-
?
нии (0.1) гамильтониан Hs релятивистской частицы с произвольным спином яв-
ляется дифференциальным оператором, включающим производные по пространс-
твенным переменным не выше первого порядка
? (s)
? ?
Hs = ?(s) pa + ?0 m, (3.1)
a

? (s)

<< Предыдущая

стр. 119
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>