<< Предыдущая

стр. 12
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


[E? , P? ]? = a? E? + bj Hj + c? P? + dl Hl + f?? E? .
?
(8)
?? ?? ?? ??

Поскольку G, по предположению, — группа Ли, то имеет место тождество Якоби
J(E? , P? , Hi ) ? [[E? , P? ] , Hi ] + [[P? , Hi ] , E? ] + [[Hi , E? ] , P? ] =
= a? (ri (?) ? ri (?)) E? + dl [Hl , Hi ] + f?? E? , Hi +
?
(9)
?? ??

+ri (?) bj Hj + c? P? + dl Hl + f?? E? = 0.
?
?? ?? ??

Из (9), с учетом условий (5) и (7), следует, что
?
bj = 0, c? = 0, ?
(10)
a?? = ?? a?? , f?? = 0.
?? ??

Далее рассмотрим следующее тождество Якоби:
J E? , P? , E? = a? E? , E? + bj Hj , E? +
?? ??
(11)
+c? dl ?
P? , E? + Hl , E? + f?? E? , E? = 0.
?? ??

Учитывая (3) и (10), из (11) следует, что

dl = 0. (12)
??

Для доказательства того, что a?? = 0, достаточно использовать тождество
Якоби

J(P? , P? , E? ) ? 0 (13)

и свойства структурных констант ?? (см. [1]).
??

? m
(14)
2. E? , Hi = D?i E? , [P? , Hl ]? = C?l Hm , [Hl , E? ] = 0.

3. Если в G существует хоть один генератор Hl , который коммутирует с гене-
раторами P и S, то и в этом случае [E? , P? ] = 0.
Для доказательства этих утверждений нужно вместо тождества (11) использо-
вать тождество

J (E? , P? , Hl ) ? 0. (15)

В заключение отметим, что если условие (6) выполняется не для всех i то, как
это показано в [2], можно построить нетривиальное объединение G, генераторами
которого будут только P? , Hi и E? .

1. Coester F., Наmеrmеsh M., MoGlinn, Phys. Rev., 1964, 135, В450.
2. Ottson U., Kihlberg A., Hilsson J., Preprint, Gothenburg, 1964.
3. Michel L., Phys. Rev. B, 1965, 137, 405.
4. G?rsey F., Pais A., Radicati L., Phys. Rev. Lett., 1964, 13, 239.
u
5. Кадышевский В.Г., Мурадян Р.М., Тавхелидзе А.Н., Тодоров И.Т., Препринт ОИЯИ, Д-1929,
1964.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 53–54.

Про представлення групи де Сiттера
В.I. ФУЩИЧ

Як вiдомо, сукупнiсть дiйсних перетворень у п’ятивимiрному просторi Мiнков-
ського x? = a?? x? (?, ? = 0, 1, 2, 3, 4) утворює групу де Сiттера, якщо квадратична
4
форма s2 = x2 ? x2 iнварiантна вiдносно цих перетворень. Томас [1] i Нью-
0 i
i=1
тон [2] побудували i описали унiтарнi представлення цiєї групи, використавши
той факт, що максимальною компактною пiдгрупою групи де Сiттера (позначимо
її через LO4 ) є група O4 , представлення якої добре вивченi.
В цiй замiтцi ми побудуємо представлення групи LO4 , використавши те, що
максимальною некомпактною пiдгрупою групи де Сiттера є власна група Лоренца
LO3 , всi представлення якої описанi Гельфандом i Наймарком.
Iнфiнiтезимальнi оператори представлення групи LO4 , задовольняють спiввiд-
ношення
[Ai1 j1 , Ai2 j2 ]? = ?i1 j2 Aj1 i2 + ?j1 i2 Ai1 j2 ? ?i1 i2 Aj1 j2 ? ?j1 j2 Ai1 i2 ,
(1.1)
i1 , i2 , j1 , j2 = 1, 2, 3, 4,

якщо
[Aij , Bk ]? = 0, k = j; k = j; i, j, k = 1, 2, 3,
(1.2)
[Bi , Bk ]? = Aik ,

де Aij i Bk — оператори, якi вiдповiдають нескiнченно малим поворотам в площи-
нах (xi , xj ) i (x0 , xi ).
Ефективно побудувати представлення групи LO4 — це задати дiї операторiв
Aij , Bk на деякий базис в просторi R, де визначений оператор Tg (g — елемент
LO4 ). Припустимо, що R є прямою сумою просторiв, в яких реалiзуються незвiднi
представлення групи LO3 , i що в цiй сумi не зустрiчається двох просторiв, якi б
мали однаковi iндекси (l0 , l1 ) [3, 4]1 .
Згiдно з [3, 4] в кожному з цих просторiв можна вибрати канонiчний базис
l0 ,l1 l0 ,l
?l,m . Закон дiї операторiв Aij , Bk , коли i, j, k = 1, 2, 3, на ?l,m1 вiдомий [3, 4],
l0 ,l l0 ,l
тому залишилося визначити тiльки Ai4 ?l,m1 i B4 ?l,m1 .
Окремо випишемо комутацiйнi спiввiдношення мiж операторами Ai4 , Bi , B4 та
iншими операторами алгебри (1):

[Ajk , Ai4 ]? = ??ji Ak4 + ?ki Aj4 , [Aik , B4 ]? = 0,
(3.1)
[Ai4 , Bi ]? = ?B4 , [Bi , B4 ]? = Ai4 ,

якщо (3.2)
[Ai4 , Bk ]? = 0, k = i; k = 4,

[Ai4 , Aj4 ]? = ?Aij , (4)
[Ai4 , B4 ]? = Bi .

Український фiзичний журнал, 1966, № 8, С. 907–908.
1 Цеприпущення, як буде видно нижче, зроблено лише заради спрощення.
54 В.I. Фущич

Розглянемо систему рiвнянь
?? ?? ?? ??
+ ?? = 0, (5)
L0 + L1 + L2 + L3
?x0 ?x1 ?x2 ?x3
де L0 , L1 , L2 , L3 — матрицi, ? — стала величина; ? — функцiя, яка перетво-
рюється за звiдним представленням групи LO3 , яке розкладається в пряму суму
незвiдних представлень. Якщо в (3) зробити замiну Ai4 > Li , B4 > L0 , то можна
переконатись, що при цьому спiввiдношення (3) збiгатимуться з умовою реляти-
вiстської iнварiантностi рiвняння (5) (див. [4], стор. 278).
Цей факт дозволяє зразу написати остаточний результат:

B4 ?l,m1 = bl0 +1 ?l,m 1 + bl0 ?1 ?l,m 1 + bl1 +1 ?l,m1 +1 + bl1 ?1 ?l,m1 ?1 ,
l0 ?1,l
l0 ,l l0 +1,l l0 ,l l0 ,l
l l l l
(6)

(l + l0 + 1)(l ? l0 ), l ? l0 + 1,
bl0 +1 = c1
l

bl0 ?1 = c2 (l + l0 )(l ? l0 + 1), l ? l0 ,
l
(7)
bl1 ?1 = c3 (l + l1 )(l ? l1 + 1), l ? l0 ,
l

(l + l1 + 1)(l ? l1 ), l ? l0 ,
bl1 +1 = c4
l


де c1 , c2 , c3 , c4 — довiльнi сталi, якi можуть бути визначенi з умови (4):
l0 ,l l0 ,l
Ai4 ?l,m1 = ?[Bi , B4 ]?l,m1 . (8)

Цiкаво зазначити, що якщо R є прямою сумою двох просторiв2 , в яких ре-
алiзуються незвiднi представлення групи LO3 з iндексами l0 = 1/2, l1 = 3/2 i
l0 = ?1/2, l1 = 3/2, то Ai4 = c?i , B4 = c?0 ; якщо покласти c1 = c2 = c, то

Aik = const · ?i ?k , Bi = const · ?0 ?i , (9)

де ?0 , ?i — матрицi Дiрака.
Отже, матрицi ?µ , ?µ ?? (µ, ? = 0, 1, 2, 3) реалiзують чотиривимiрне представ-
лення алгебри (1). Зауважимо, в чому можна переконатись, що матрицi ?µ , ?µ ?? ,
?µ ?5 , ?5 реалiзують чотиривимiрне представлення алгебри LO5 .
Незвiднi представлення групи LOn+1 будуються аналогiчно, при цьому замiсть
системи (5) слiд використовувати бiльш загальну систему рiвнянь [5].

1. Thomas L.H., Ann. Math., 1941, 42, 113.
2. Newton T.D., Ann. Math., 1950, 51, 730.
3. Наймарк М.А., Линейные представлення группы Лоренца, М., 1958.
4. Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я., Представления группы вращений й группы Лорен-
ца, М., 1958.
5. Соколик Г.А., ДАН СССР, 1957, 114, 1206.
6. Соколик Г.А., Групповые методы в теории элементарных частиц, Атомиздат, 1965.




n li ,li
представлення групи LO4 , якi заданi в R = ?Ri0 1
2 Незвiднi , будуть скiнченновимiрними
i=1
i i
лише в тому випадку, коли всi iндекси l0 , l1 одночасно цiлi або пiвцiлi.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 55–60.

О вложении алгебры Пуанкаре
В.И. ФУЩИЧ
The article shows the way of constructing, according to a given spectrum of elementary
and hypothetic particle masses, such an algebra G, containing Poincarais’s algebra P
as a subalgebra, or an enveloping algebra U (P ), that a mass operator determined in
the space, where one of unreducible representations is given, be selfadjoint and have a
spectrum, coinciding with the given mass spectrum.
By embedding small Poincarais’s algebra (non-relativistic case) an explicit type of a
mass operator was obtained. It is noted that the mass operator can depend on a spin
and parity only in the case, when the fundamental particles, which adrons and bosons
“consist” of, have different types and parity.

1. За последние годы экспериментально открыто много элементарных частиц. Не-
смотря на успешное применение теории групп SU (3) и SU (6), до сего времени
не создана теория, которая смогла бы объяснить спектр масс адронов или бозо-
нов. Если рассмотреть таблицу элементарных частиц, то можно заметить, что их
массы, или массовый оператор, как мы будем ниже говорить, являются некоторой
функцией взаимокоммутирующих операторов M 1 , т.е.

(1)
M = f (I3 , I, Y, J, P , X),

I, I3 , Y , J, P — операторы изоспина, проекции изоспина на ось z гиперзаряда,
спина, парности соответственно, X — некоторые операторы, физический смысл
которых пока не ясен2 .
Одной из основных задач теории элементарных частиц является установление
явной зависимости M от этих операторов. В работах [1] делались попытки устано-
вить такую зависимость методом вложения алгебры Пуанкаре P в более широкую
алгебру Ли G. Оказывается, что таким методом, как это показано в [2], нево-
зможно получить зависимости типа (1), если алгебра G конечномерна, а оператор
2
Казимира Pµ алгебры P — самосопряженный. В связи с этим естественно выя-
снить вопрос, можно ли получить такую зависимость, не ограничиваясь тем, что
2
Pµ — самосопряженный, а G — конечномерная или бесконечномерная алгебра Ли.
В работе показано, как вложить алгебру P в G так, чтобы оператор массы
(или спина) был самосопряженный и имел дискретный спектр. Кроме того из
рассмотрения вложения малой алгебры Пуанкаре Pl в конечномерную алгебру Gl
(нерелятивистский случай), найден явный вид оператора массы частицы, который
при некоторых предположениях приводит к массовой формуле Гелл–Манна.
2. Пусть нам заданы четыре неприводимых представления алгебры P в про-
странствах H1 1 ,s1 , H2 2 ,s2 , H3 3 ,s3 , H4 4 ,s4 , где µi , si (i = 1, 2, 3, 4), вообще говоря,
µ µ µ µ


Український фiзичний журнал, 1967, 12, № 5, С. 741–746.
1В действительности M — оператор массы не отдельной частицы, а оператор массы некоторой
системы, которая может находиться в различных возбужденных состояниях, собственных для этого
оператора.
2 Без таких дополнительных операторов невозможно объяснить разницу между массами мезонов ?

и ?, ? и ? , f и f .
56 В.И. Фущич

комплексные числа, которые характеризуют представления этой алгебры [3]. Как
i2
известно, оператор Pµ , действующий в Hi i ,si , кратен единичному оператору,
µ

т.е.
2
i
Hi = µ2 Hi . (2)
Pµ i

Поскольку нас будет интересовать октет барионов, положим Re µ1 = N , Re µ2 =
?, Re µ3 = ?, Re µ4 = ? — массы соответствующих барионов, а s1 = s2 = s3 =
s4 = 1 .
2
Обозначим через H пространство, которое является прямой суммой прост-
2
ранств Hi . В H-пространстве операторы импульсов Pµ и Pµ имеют вид
? ?
?1 ? 12
Pµ 0 0 0
Pµ 0 0 0
? ?

<< Предыдущая

стр. 12
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>