<< Предыдущая

стр. 120
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

где ?µ — некоторые числовые матрицы.
Пуанкаре-инвариантные дифференциальные уравнения для частиц 521

Генераторы представления группы Пуанкаре, которое реализуется на решениях
уравнения (0.1) с гамильтонианом (2.1), выберем в виде
?
? Pa = pa = ?i Jµ? = xµ p? ? x? pµ + Sµ? , (3.2)
P 0 = Hs , ,
?xa
где Sµ? — матрицы, образующие конечномерное представление (в общем случае
приводимое) алгебры O(1, 3). Формулы (3.2) задают самый общий вид генераторов
группы P (1, 3), соответствующий локальным преобразованиям волновой функции.
Определить все возможные гамильтонианы вида (3.1) означает найти все такие
? (s)
матрицы ?µ и Sµ? , что операторы (3.1), (3.2) удовлетворяют алгебре Пуанкаре
(1.3).
Покажем, что искомые уравнения движения частицы со спином s и массой m
имеют вид
? (s) (s)
? ?
Hs = ?0 ?(s) pa + ?0 m, (3.3а)
Hs ? = i ?, a
?t
1 (s)
? ? 1 ? ?4 ?(s) pµ , Ps (3.3б)
Ps ? = 0, Ps = Ps + ,
µ
2m ?

1
Sab ? 2s(s ? 1) ,
2 2
(3.3в)
Ps = Sab = Sab Sab ,
4s
a,b

(s)
где ?µ , Sab — 8s-рядные матрицы, задаваемые соотношениями
(s) (s) (s) (s) (s)
[?(s) , ?(s) ]+ = 2gµ? , ?4 = i?0 ?1 ?2 ?3 , Sµ? = ?µ? + jµ? ,
µ ?
i (s) (s)
[?µ? , j?? ]? = 0, ?µ? = ??, jab = jc , j0a = ija , (3.4)
2µ ?
ja = j(j + 1) = s(s ? 1),
2
[ja , jb ]? = ijc ,
a
(s)
т.e. матрицы ?µ , как и в случае уравнения Дирака, удовлетворяют алгебре
Клиффорда, а матрицы Sµ? являются генераторами представления D 1 , 0 ? 2
D 0, 2 ? D s ? 2 , 0 группы O(1, 3). Действительно, используя (3.4), нетрудно
1 1

убедиться, что гамильтониан (3.3а) и генераторы (3.2) удовлетворяют условиям
(1.3а), (1.3б). Что же касается условия (1.3г), то согласно (1.4), (3.2)–(3.4) его
можно записать в виде (3.3б)
1 1 ?
Wµ W µ ? s(s ? 1) ? ? Ps ? = ?,
2
2s m
?
где Ps — оператор проектирования на подпространство, соответствующее фикси-
рованному спину s [5].
Используя тождество
1
(s) (s)
[Sµ? S µ? ? 4s(s ? 1)] 1 + ?4 ,
1 + ?4 Ps =
8s
уравнения (2.3) можно записать в явно ковариантной форме

?(s) pµ ? m ? = 0, (3.5а)
µ
522 А.Г. Никитин, В.И. Фущич

(s)
[Sµ? S µ? ? 4s(s ? 1)]? = 16ms?.
?(s) pµ + m (3.5б)
1 + ?4
µ


В силу изложенного выше уравнения (3.5) пуанкаре-инвариантны и описывают
свободное движение частицы с фиксированным спином s и массой m.
Замечание 1. Уравнения (2.5) определены и для случая m = 0. Налагая при
этом на волновую функцию ? пуанкаре-инвариантное дополнительное условие
(s)
1 ? ?4 ? = 0, получаем из (3.5) уравнения движения для безмассовых частиц
произвольного спина, которые при s = 1/2 эквивалентны уравнению Вейля для
нейтрино, а при s = 1 — уравнениям Максвелла для электромагнитного поля в
вакууме [13].
Замечание 2. Посредством преобразования ? > ? = W ?, где
(s)
?a pa p (s) ja pa p
arctg arth
W = exp exp ?0 ,
p m p E

уравнения (2.3), (3.5) могут быть приведены к диагональной форме
? (s)
i ? = ?0 E?, Ps ? = ?.
?t
На решениях уравнений (3.6) генераторы группы P (1, 3) имеют каноническую
форму (2.1).
Отметим, что в [14] также предлагались 8s-компонентные дифференциальные
уравнения первого порядка, описывающие движение свободной частицы с прои-
звольным спином s. Эти уравнения, в отличие от (5.1), (5.2), становятся несовме-
стными при учете взаимодействия частицы с внешним полем.
4. Ковариантные операторы координаты и спина
При переходе к новой инерциальной системе отсчета операторы физических
величин Ni (координаты, спина и т.д.) преобразуются следующим образом:

Ni > Ni = exp(iQl ?l )Ni exp(?iQl ?l ),

где Ql (l = 1, 2, . . . , 10) — генераторы группы Пуанкаре, ?l — параметры преобра-
зования.
Одна из трудностей, с которой приходится сталкиваться в представлениях ти-
па (1.1) (когда генераторы J0a нельзя записать в виде суммы коммутирующих
“спиновой” и “орбитальной” частей), состоит в том, что оператор xµ имеет некова-
риантный закон преобразования, при котором не сохраняется величина интервала,
x2 ? x2 = (x0 )2 ? (xa )2 . Следовательно, xµ нельзя интерпретировать как ковари-
a
0
антный оператор координаты.
Ниже мы определим ковариантный оператор координаты в представлении (1.1),
(2.1). Тем самым в принципе будет решена задача для произвольного представле-
ния (1.1), (2.6), поскольку генераторы J0a (2.12) и (1.1), (2.6) связаны преобразо-
ванием эквивалентности J0a > V J0a V ?1 , где
1
V = exp (?1 ? i?2 )(2 ? k1 ) S·p .
2m
Пуанкаре-инвариантные дифференциальные уравнения для частиц 523

Перейдем к представлению, в котором генераторы J0a (2.12) имеют локально-
ковариантную форму
?
?
J0a = x0 pa ? xa p0 + S0a , (4.1)
S0a = i?3 Sa , p0 = i .
?x0
Это достигается посредством преобразования
i
J0a = V J0a V ?1 ,
? V = exp ? (?2 + i?2 )(2S · p ? p0 ) . (4.2)
2m
?
В представлении (4.1) ковариантный оператор координаты Xµ можно выбрать в
?
виде Xµ = xµ . С помощью преобразования, обратного (3.2), получаем явный вид
этих операторов в исходном представлении (2.12)
1 1
Xµ = V ?1 Xµ V = xµ + (i?1 + ?2 )?µ ,
? ? ? (4.3)
?a = Sa , ?0 = ?3 .
m 2
При переходе к новой инерциальной системе координат операторы Xµ преобразу-
ются как компоненты четырехвектора и удовлетворяют каноническим перестано-
вочным соотношениям
(4.4)
[pµ , X? ]? = igµ? , [Xµ , X? ]? = 0.
Все это позволяет сделать вывод, что Xµ (4.3) можно интерпретировать как кова-
риантный оператор координаты частицы.
В случае s = 1/2 операторы (4.3) принимают явно ковариантную форму
i
(4.5)
Xµ = xµ + (1 + ?4 )?µ ,
2m
где ?4 = ?3 , ?0 = ?1 , ?a = ?2i?2 Sa — матрицы Дирака. В силу изложенного выше
оператор (4.5) может быть выбран в качестве ковариантного оператора координаты
дираковской частицы. Интересно отметить, что при таком определении координаты
оператор скорости
pa
?
Xa = ?i[H1/2 , Xa ]? = (1 + ?4 )?0
m
(где H1/2 — гамильтониан Дирака (2.9) ) имеет сплошной спектр и удовлетворяет
?? ?
соотношению [Xa , Xb ] = 0. При этом, однако, [H1/2 , Xa ]? = 0.
Подчеркнем, что оператор (4.5) существенно отличается от операторов коорди-
наты, предложенных ранее Ньютоном и Вигнером [15], Фолди и Ваутхойзеном [16]
и многими другими [17]. Это отличие состоит в том, что оператор (4.5) локален и
преобразуется как ковариантный четырехвектор, в то время как операторы коор-
динаты, предложенные в [15–17], принадлежат классу нелокальных интегродиф-
ференциальных операторов с нековариантным законом преобразования.
Приведем явный вид ковариантного оператора спина ?µ? частицы, описываемой
уравнением (0.1) с гамильтонианом (2.1):
1
?ab = Sab + (i?1 + ?2 )Scd pd , (a, b, c) = (1, 2, 3),
2m
1
= i?3 Sbc ? (i?1 + ?2 )[2S · p ? p0 , Sbc ]+ .
?0a
m
524 А.Г. Никитин, В.И. Фущич

По аналогии с (4.1)–(4.3) можно показать, что операторы ?µ? преобразуются как
ковариантный тензор второго ранга, а оператор ?ab коммутирует с гамильтонианом
и является интегралом движения.
Отметим еще, что оператор координаты частицы, описываемой уравнениями
(s)
(3.5), может быть получен из (4.5) с помощью замены ?k > ?k .
5. Уравнение для заряженной частицы
во внешнем электромагнитном поле
Можно показать, что введение минимального электромагнитного взаимодей-
ствия непосредственно в уравнения (3.3) или (3.5) приводит к тому, что как урав-
нения (3.3), так и уравнения (3.5) становятся несовместными. Чтобы преодолеть
эту трудность, запишем (3.3) в виде одного уравнения
?
? ? ?
P s i ? Hs + ? 1 ? Ps (5.1)
? = 0,
?t
где ? — произвольный параметр. Эквивалентность (5.1) и (3.3) следует из соотно-
шений
? ?? ?? ?
? Hs , P s
i = 0, Ps Ps = Ps .
?t ?

Явно ковариантная система (3.5), в свою очередь, может быть записана в виде

Bs ?(s) pµ ? m ? ?(1 ? Bs ) ? = 0,
µ
(5.2)
1 (s)
? 2s(s ? 1)],
?(s) pµ + m µ?
Bs = 1+ ?4 [Sµ? S
µ
16ms
поскольку

Bs , ?(s) pµ ? m ? = 0, Bs Bs = Bs .
µ
?

Сделаем в (5.1), (5.2) замену pµ > ?µ = pµ ? eAµ , где Aµ — вектор-потенциал
электромагнитного поля, и покажем, что в результате (5.1) и (5.2) сводятся к
системе явно ковариантных дифференциальных уравнений первого порядка, опи-
сывающих причинное движение заряженной частицы произвольного спина во вне-
шнем поле. Поскольку уравнения (5.1) и (5.2) в конечном итоге приводят к оди-
наковым результатам, мы рассмотрим только уравнение (5.1), которое принимает
вид
? ? ?
Ps (?)[?0 ? Hs (?)] + ?[1 ? Ps (?)] ? = 0, (5.3)

1
(s) (s) (s)
? ? 1 ? ?4
Hs (?) = ?0 ?(s) ?a + ?0 m, ?(s) ? µ , Ps
Ps (?) = Ps + .(5.4)
a µ
2m ?

? ?
Умножив (5.3) на Ps (?) и 1 ? Ps (?) и используя тождества

1 (s) 1
(s)
? ? ? ?
?0 ? Hs (?), Ps (?) Ps (?) ? ?0 1 ? ? 4 Sµ? ? i?(s) ?(s) Fµ? Ps (?),
µ ?
4m s
?

? ? ? Fµ? = ?[?µ , ?? ]? .
Ps (?)Ps (?) = Ps (?),
Пуанкаре-инвариантные дифференциальные уравнения для частиц 525

<< Предыдущая

стр. 120
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>