<< Предыдущая

стр. 121
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


приходим к системе уравнений
? ?
i ?(t, x) = Hs (?, A0 )?(t, x),
?t
(s) (s)
?
Hs (?, A0 ) = ? ?(s) ?a + ? m + eA0 + (5.5)
a0 0

1 (s) 1
(s)
?0 1 ? ? 4 Sµ? ? i?(s) ?(s) Fµ? ,
+ µ µ
4m s
1 (s)
1 ? ?4 ?(s) ? µ , Ps (5.6)
Ps + ? = 0,
µ
2m ?

которая, как и (3.3), может быть записана в явно ковариантной форме
1 1
(s)
?(s) ? µ ? m + 1 ? ?4 Sµ? ? i?(s) ?(s) Fµ? ? = 0, (5.7)
µ µ ?
4m s
(s)
1 ? ?4 [Sµ? S µ? ? 4s(s ? 1)] ? = 16ms?.
m + ?(s) ? µ (5.8)
µ

Покажем, что уравнения (5.7), (5.8) не приводят к нарушению причинности.
Для этого сделаем замену
1 (s) µ
(s)
1 ? ?4 (5.9)
?(t, x) = V ?(t, x), V = exp ??.
2m µ
Подставив (5.9) в (5.7) и умножив результат слева на оператор
1 1? 1 (s)
?(s) ? µ ? Sµ? Fµ? ? 2 ?µ ? µ 1 ? ?4
F =m+ ,
µ
2 sm m
? ?
где Sab = Sab , S0a = iSbc , приходим к уравнению
1?
?µ ? µ ? m 2 ? (5.10)
Sµ? Fµ? ?(t, x) = 0.
2s
Из (5.8), (5.9) получаем дополнительное условие для ? в виде
12
или (5.11)
Ps ? = ? S ? = s(s + 1)?.
2 ab
Формулы (5.10)–(5.11) обобщают уравнение Зайцева–Фейнмана–Гелл-Манна
[18] для s = 1/2 на случай частицы произвольного спина. Решения ?(t, x) этого
уравнения, как известно [19], описывают причинное распространение волн (с до-
световой скоростью). Таковы же, очевидно, и свойства решений ?(t, x) уравнений
(5.7), (5.8), связанных с ?(t, x) преобразованием эквивалентности (5.9).
Таким образом, мы показали, что уравнения (5.7), (5.8) описывают движение
заряженной релятивистской частицы с произвольным спином во внешнем электро-
магнитном поле и не приводят к нарушению принципа причинности. Отметим еще,
что уравнения (5.7), (5.8) допускают лагранжеву формулировку. Действительно,
выберем плотность лагранжиана L(x) в виде
?
? + i ? ? ?(s) ? (s)
?µ 1 + ?4 ?
L(x) = m?
?xµ
(5.12)
??
? ? (s) ?
?[Sµ? S µ? ? ? 4s(s ? 1)]?i?? + 16ms? ? ,
?x?
526 А.Г. Никитин, В.И. Фущич

где
?
? = ? † ?0 ?5 ,
? (s) ? (s)
?
?= ,
?

? (s) ?
? и ? — 8s-компонентные функции, а ?µ , Sµ? — матрицы размерности 16s ? 16s
(s) (s)
?k 0 ?0 0
? (s) ? (s)
?k = , ?0 = ,
(s) (s)
??0
0 ?k 0
(s)
0 ?0 Sµ? 0
? (s) ?
?5 = , Sµ? = ,
(s) 0 Sµ?
?0 0

Используя принцип минимального действия, получаем из (5.12) уравнения (3.5)
для функции ? и уравнения, комплексно-сопряженные (3.5) для функции ?. Сде-
? ?
>
лав в (5.12) минимальную замену + ieAµ , приходим к уравнениям
?xµ ?xµ
(5.7), (5.8).
6. Разложение по степеням 1/m
Гамильтониан (5.5) может иметь как положительные, так и отрицательные соб-
ственные значения. С помощью серии последовательных преобразований мы по-
лучим из (5.5) уравнение для состояний с положительной энергией подобно тому,
как это было сделано Фолди и Ваутхойзеном [16] для уравнения Дирака. При
?
этом оператор Hs (?, A0 ) будет представлен в виде ряда по степеням 1/m, удобном
для вычислений по теории возмущений.
Основная трудность при диагонализации уравнений (5.5), (5.6) состоит в том,
что необходимо найти преобразования, одновременно приводящие к диагональной
форме два различных уравнения. Мы диагонализируем сначала дополнительное
условие (5.6), а затем, используя операторы, коммутирующие с преобразованным
уравнением (5.6), приведем к диагональной форме уравнение (5.7).
Подвергнем волновую функцию ?(t, x) преобразованию ? > ? = V ?, где
1 (s) (s)
1 ? ?4 ?(s) ?a ? k1 ?0 Sa ?a (6.1)
V = exp .
a
2m

Подействовав оператором (6.1) слева на (5.5), (5.6), получаем уравнение для ?
?
Hs (?, A0 )? = i ?,
?t
(s) (s)
Hs (?, A0 ) = ?0 m + k1 ?4 S · ?+ (6.2)
1 (s) 1
(s)
?0 1 ? ? 4 ? 2 ? (k1 S · p)2 + S(H ? iE + ik1 E) ,
+
2m s

1
или (6.3)
Ps ? = ? Sab ? = s(s + 1)?,
2
где Ha = ?i[?b , ?c ]? и Ea = ?[?0 , ?a ]? — напряженности магнитного и электри-
ческого полей, Ps — проектор (3.3с).
Пуанкаре-инвариантные дифференциальные уравнения для частиц 527

Из (6.3), (3.4) заключаем, что волновая функция ? имеет 2(2s + 1) отличных
(s) (s)
от нуля компонент. Матрицы Sab и коммутирующие с ними матрицы ?0 , ?4 на
множестве таких функций можно представить в виде

sc 0 0 I I 0
(s) (s)
Sab ? Sc = , ?0 ? ? 1 = , ?4 ? ? 3 = , (6.4)
?I
0 sc I 0 0

где sc — генераторы представления D(s) группы O(3), I и 0 — (2s + 1)-рядные
единичная и нулевая матрицы. Подставив (6.4) в (6.2), получаем гамильтониан
Hs (?, A0 ) в форме

Hs (?, A0 ) = ?1 m + k1 ?3 S · ?+
(6.5)
1 e
(?1 ? i?2 ) ? 2 ? (k1 S · ?)2 + S[H ? i(1 ? k1 s)E] + eA0 .
+
2m s
Формула (6.5) обобщает гамильтониан свободной частицы произвольного спи-
на (2.1) на случай взаимодействия с внешним электромагнитным полем. Таким
образом, исходя из явно ковариантных уравнений (5.7), (5.8), мы получили ре-
цепт введения взаимодействия в пуанкаре-инвариантные уравнения без лишних
компонент, найденные в разделе 1.
Преобразуем (6.5) к диагональной форме. Как и в случае уравнения Дира-
ка [16], это можно осуществить только приближенно для ?µ m. Совершая
серию последовательных преобразований

Hs (?, A0 ) > V3 V2 V1 Hs (?, A0 )V1?1 V2?1 V3?1 = Hs (?, A0 ),
k1 S · ?
V1 = exp ?i?2 ,
m
1 e 1
?3 ? 2 ? (k1 S · ?)2 ? S · H + ie ? k1 S · E
V2 = exp ,
4m2 s s (6.6)
i 1
V3 = exp ? (k S · ?)3 +
3 12 1
m
12 e ie
? ? (k1 S · ?)2 ? S · H + (1 ? sk1 )S · E, ?0
+
8 s s ?

и пренебрегая членами порядка 1/m3 , получаем
eS · H
?2 e
? + eA0 ? (S · E ? ? ? S · ? ? E)?
Hs (?, A0 ) = ?1 m+
16m2 s2
2m 2sm
e 1 ?Ea
? + s(s + 1) div E +
Q
2 s2 2 ab ?x
24m (6.7)
b

ie(2s ? 1) e ?Ha
(S · ? ? H ? S · H ? ?) +
+ Qab ,
8m2 s2 24m2 s2 ?xb
Qab = 3[Sa , Sb ]+ ? 2?ab s(s + 1).
Ha множестве функций, удовлетворяющих дополнительному условию ?1 ? = ?,
гамильтониан (6.7) положительно-определен и содержит слагаемые соответствую-
528 А.Г. Никитин, В.И. Фущич

e e ?Ea
щие дипольному ? S · H , квадрупольному ? , спин-орби-
Qab
48s2 m2
2sm ?xb
e e(s + 1)
тальному ? (S · E ? ? ? S · ? ? E) , дарвиновскому ? div E
16m2 s2 24sm2
взаимодействиям частицы с полем. Два последних члена в (6.7) можно интерпре-
тировать как магнитное спин-орбитальное и магнитное квадрупольное взаимодей-
ствия.
Приближенный гамильтониан (6.6) совпадает с полученным в работе [20], в
которой в качестве исходного использовалось уравнение Зайцева–Фейнмана–Гелл-
Манна (5.10). В случае s = 1/2 (6.7) совпадает с гамильтонианом Фолди и Вау-
тхойзена [16], полученным из уравнения Дирака.
7. Точное решение уравнений движения частиц
произвольного спина в однородном магнитном поле
Рассмотрим систему уравнений (5.5), (5.6) для случая частицы в однородном
магнитном поле. Не умаляя общности, можно считать, что вектор напряженности
этого поля H параллелен третьей проекции импульса частицы p3 . Тогда компо-
ненты тензора электромагнитного поля Fµ? равны

F12 = H3 = H. (7.1)
F0a = Ea = 0, F23 = H1 = 0, F31 = H2 = 0,

Из (7.1) следует, что ?µ можно выбрать в виде
?
?1 = p1 ? eHx2 , (7.2)
?2 = p2 , ?3 = p3 , ?0 = i .
?t
Подставив (7.1), (7.2) в (5.8), получаем Hs (?) в форме
H (s) 1
(s) (s) (s) (s) (s)
?0 1 ? ? 4 i?1 ?2 ? S12 .
Hs (?) = ?0 ?(s) ?a + ?0 m + (7.3)
a
2m s
Преобразуем Hs (?) к такому виду, чтобы он содержал только коммутирующие
величины. Это позволит нам, не решая уравнений движения (5.5), (5.6), опреде-
лить спектр собственных значений гамильтониана (7.3). Действительно, в резуль-
тате преобразования

Hs (?) > Hs (?) = V Hs V ?1 , Ps (?) > Ps (?) = V Ps (?)V ?1 ,
? ? ? (7.4)

где
1/2
1
E ?1 ??1 ?0 Hs (?),
(s)
E = ? ? S12 H + m2

<< Предыдущая

стр. 121
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>