<< Предыдущая

стр. 13
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

? 0 Pµ 0 0? 22
2? ?
2
0 Pµ 0 0
? ?, P ? Pµ ??
2
?, (3)
Pµ =? ? 32
3
? ?
0 0 Pµ 0 0 0 Pµ 0
4
0 0 0 Pµ 2
P4
0 0 0 µ

2
i i
где через Pµ и Pµ обозначены операторы, отображающие Hi в Hi . Аналоги-
чный вид имеет оператор момента Mµ? . Очевидно, что в H реализуется приво-
димое представление алгебры P . Однако относительно некоторой алгебры G ? P
это пространство может быть неприводимым, т.е. H не содержит подпространств
инвариантных относительно G.
Каждый оператор в H можно записать в виде [4]
? ?
d11 d12 d13 d14
?d d22 d23 d24 ?
D = ? 21 ? (4)
? d31 d32 d33 d34 ? ,
d41 d42 d43 d44
где операторы dij отображают Hj в Hi . Нетрудно убедиться, что совокупность
операторов типа (4) и операторов алгебры P образуют алгебру G3 , т.е.
(5)
[P, [D, D ]] + [D, [D , P ]] + [D , [P, D]] = 0,
где D — оператор типа (4).
Физический смысл дополнительных операторов D состоит в том, что они пере-
водят частицу (вектор состояния) из одного изотопического мультиплета в другой
или в линейную комбинацию частиц (вектор состояний), которые принадлежат
различным изотоническим мультиплетам.
Поскольку оператор P 2 , вообще говоря, несамосопряженный, то его нельзя при-
нять за оператор квадрата массы частицы M 2 . Естественно определить оператор
квадрата массы частицы M 2 следующим образом:
P 2 + (P 2 )?
2 2
M = Re P = (6)
.
2
В том случае, когда все dij = 0 для i = j, никакой зависимости оператора
массы от операторов I3 , I, . . . , X невозможно таким путем получить, хотя G ? P ,
т.е. алгебра G является тривиальным расширением алгебры P [5].
3 При этом, конечно, предполагается, что обычное произведение операторов P , D, D имеет смысл.
О вложении алгебры Пуанкаре 57

Так как скалярное произведение в H задается формулой
4
(7)
(h, g) = (hi , gi )i ,
i=1

где h, g ? H, a hi , gi ? Hi , то очевидно, что M 2 является самосопряженным
оператором в H и имеет только дискретный спектр.
Таким образом, мы построили алгебру G ? P , одно из представлений которой
реализуется в H. Этим самым и показано, что методом вложения алгебры P в
G можно, в принципе, получить зависимость типа (1), однако вопрос о том, как
конструктивно задать алгебру G, т.е. построить базис (генераторы) этой алгебры
и выразить оператор M 2 через этот базис, остается открытым4 . Такая задача в
нерелятивистском случае, как будет видно ниже, может быть полностью решена.
Прежде чем переходить к нерелятивистскому случаю, сделаем несколько заме-
чаний об операторах массы и спина.
3. Характерной чертой релятивистской теории (с алгебраической точки зрения)
является то, что, в отличие от операторов энергии, импульса и момента, которые
являются элементами алгебры P операторы массы и спина, даже в случае свобо-
дной теории, не являются элементами алгебры P . Действительно, для свободной
частицы формула (1) имеет вид

M 2 = f P 0 , P1 , P2 , P3 = P 0 ? P 1 ? P 2 ? P 3 .
2 2 2 2 2 2 2 2


Оператор квадрата спина
1
S 2 = W? W? , W? = ????? P? M?? .
2
2 2 2 2
Легко убедиться, что операторы P0 , . . . , P3 , W0 , . . . , W3 не принадлежат алге-
бре P , и поэтому, чтобы придать четкий математический смысл этим формулам,
необходимо расширить алгебру P до ее обертывающей алгебры U (P ). Так как
генераторами алгебры U (P ) являются все возможные произведения генераторов
алгебры P , то в рамках алгебры U (P ) операторы M 2 , S 2 , P0 , . . . , W3 принадлежат
2 2

этой же алгебре.
Таким образом, для того, чтобы операторы массы и спина входили в теорию “на
равных правах” с операторами энергии, импульса и момента, необходимо положить
в ее основу не алгебру Пуанкаре, а алгебру U (P ). В связи с этим более корректно
говорить о вложении U (P ) в G, а не о вложении P в G.
4. Рассмотрим вложение малой алгебры Пуанкаре Pl (т.е. алгебры с генера-
торами P0 , M12 , M23 , M13 ) в Gl . Аналогичным методом, как и в пункте 2, можно
показать, что в этом случае алгебра Gl ? Pl будет конечномерной алгеброй —
64-мерной алгеброй Ли. В качестве генераторов этой алгебры выберем операторы:

?? , ?? , ?? , ?? , ?? , (8)
?, µ = 0, 1, 2, 3.
µ µ? µ5 5

Коммутационные соотношения между этими генераторами можно установить, если
заметить, что в фундаментальном (октетном) представлении алгебры Gl ? U (8) ?
2
4 Случай,когда Pµ — самосопряженный, а G — бесконечная алгебра Ли, рассмотрен Н. Вотрубой
и М. Гавличеком (см. также примечания при корректуре).
58 В.И. Фущич

U (4, 4) они имеют вид [6]
?? = I ? ? ? , ?? = ?µ ? ?? , ?? = ?µ ?? ? ?? ,
µ µ?
(9)
?? = ?µ ?5 ? ?? , ?? = ?5 ? ?? ,
µ5 5

где I — единичная матрица, ?? , ?µ — матрицы Паули, Дирака. Все генераторы
алгебры U (8), за исключением генераторов ?0 , ?0 , ?0 являются операторами
12 13 23
типа (4).
Найти явный вид массового оператора в рамках алгебры U (8) означает выра-
зить его через генераторы этой алгебры. В данном случае оператором массы явля-
ются
? ?
N ·E 0 0 0
?0 0?
?·E 0 10
P0 = ? ?, (10)
E= .
?0 ?
?·E
0 0 01
?·E
0 0 0
Нетрудно убедиться, что
P0 = c0 ?0 + c1 Y + c2 I + c3 Y 2 , (11)
где c0 , c1 , c2 , c3 — вообще говоря, произвольные постоянные, а
10 10 10
? + ?0 ? Y , ?0 + ?3 , Y2 = ? + ?3 .
I= Y=
0 0
2 2 2
В октетном представлении алгебры U (8) эти постоянные однозначно выражаются
через массы частиц, которые входят в октет, а именно c0 = ?, 2c1 = N ? ?,
c2 = ? ? ?, 2c3 = N + ? ? ? ? ?. Для всех высших представлений алгебры U (8)
таких точных соотношений между массами элементарных частиц и постоянными
c0 , c1 , c2 , c3 нельзя установить, и поэтому формула (11) будет давать некоторые
массовые соотношения между массами элементарных частиц, которые входят в
данное представление U (8).
Любопытно отметить, что если в (11) положить c2 = 2c, 2c3 = ?c, то формула
(11) приводит к известному массовому соотношению Гелл–Манна5 .
Чтобы получить зависимость массового оператора от I3 , необходимо учесть ра-
зницу между массами частиц, которые входят в один изотопический мультиплет.
Пространство H в этом случае является прямой суммой восьми пространств Hi , и
поэтому алгебра Gl , неприводимое представление которой реализуется в H являе-
тся 256-мерной алгеброй Ли. Генераторы алгебры Gl ? U (16) в фундаментальном
представлении имеют вид
??? = ?? ? ?? , ??? = ?? ? ?? , ??? = ?? ? ?? ,
µ µ µ? µ?
(12)
??? = ?? ? ?? , ??? = ?? ? ?? ,
µ5 5
µ5 5

Оператор P0 , аналогичным способом, как и в рамках алгебры U (8), можно
представить так:
P0 = c0 ?00 + c1 Y + c2 I3 + c3 I + c4 Y 2 + c5 I3 + c6 Y I3 + c7 I + I ? ,
2
(13)
что при этом формула (11) будет отличаться от формулы Окубо (нет члена I 2 ).
5 Заметим,
О вложении алгебры Пуанкаре 59

где c0 , c1 , . . . , c7 — произвольные постоянные, а ?00 — единичная матрица,
13 1
? ? (?0 + ?3 ), Y 2 = ?0 ? (?0 + ?3 ),
Y=
2 2
1
(?3 + ?3 ) ? (?0 ? ?3 ) + ?0 ? (?0 + ?3 ) ,
I3 = 0 0
4
1 10
? ? (3?0 ? ?3 ) + ?0 ? (?0 ? ?3 ) ,
2
I3 = 0
42
10
? ? (5?0 ? ?3 ) + (?3 + ?0 ? ?3 ) ? (?0 ? ?3 ) ,
I= 0 0
8
1
Y I3 = ?0 ? (?0 + ?3 ),
40
10
I +I ? = ? ? (5?0 ? ?3 ) ? (?3 + ?3 ) ? (?0 ? ?3 ) ? ?0 ? (?0 + ?3 ) .
0 0
8
Физический смысл операторов I + и I ? состоит в том, что они переводят ча-
стицу (вектор состояния) одного изомультиплета в частицу (вектор состояния),
которая принадлежит тому же самому изомультиплету.
Если предположить, что все адроны являются связанными состояниями трех
кварков (со спином 1/2), то алгебра Gl = U (6) ? Pl и оператор массы имеет
следующий вид:

(14)
P0 = c0 + c1 Y + c2 I3 ,
m1 + m2 ? 2m3
m1 + m 2 + m 3
, c3 = m1 ? m2 , а m1 , m2 , m3 —
где c0 = , c1 =
3 2
массы кварков.
Из полученных результатов можно сделать следующие выводы: во-первых, по
заданному спектру масс элементарных или гипотетических частиц всегда можно
построить такую нетривиальную алгебру G ? P , что оператор M 2 определенный
в пространстве, где задано одно из неприводимых представлений G, будет самосо-
пряженный, а его спектр совпадает с заданным спектром масс частиц; во-вторых,
методом вложения алгебры Pl в Gl можно получать массовые формулы (операто-
ры), не пользуясь при этом ни гипотезами о существовании высших симметрий
(SU (3), SU (6)) и полусильных взаимодействий, ни методом теории возмущений;
в-третьих, массовые формулы могут зависеть от спина и четности только в том
случае, если фундаментальные частицы из которых “состоят” адроны или бозо-
ны, имеют разные спины и четности; в-четвертых, чтобы в физическую теорию
операторы массы и спина входили на равных правах с операторами энергии им-
пульса и спина, необходимо в основу теории положить не алгебру Пуанкаре, а ее
обертывающую алгебру.
Поскольку приведенные результаты, в основном носят модельный характер и
формулы 11), (13), (14) получены только в нерелятивистском случае, то никаких
сопоставлений с экспериментом мы не приводим.
Примечание при корректуре. После того, как работа была сдана в печать,
нами была конструктивно построена бесконечномерная алгебра G, содержащая
алгебру Пуанкаре. Операторы D, переводящие частицу (вектор состояния) с мас-
сой mj в частицу (вектор состояния) с массой mi (i, j = 1, 2, 3, . . .) строятся из
60 В.И. Фущич

операторов dij , которые имеют вид
?
dij = d? d? F1 (?)F2 (?)?i (?)?j (?),
pq p q p q

?
где ?i (?), ?j (?) — операторы рождения и поглощения фермиона с массами mi и
p q
mj соответственно.
Пространство Hi состоит из векторов
?
hi = d? F (?)?i (?)|0 .
pp p

Массовые формулы, полученные в рамках этой алгебры, совпадают (формаль-
но) с формулами (11), (13), (14).

1. Fulton T., Wess J., Ann. Phys., 1966, 37, 271;
Kadishevsky V.G., Muradian R.M., Tavhelidze A.N., Todorov J.T., Phys. Lett., 1965, 15, 182.
2. O’Raifertaigh L., Phys. Rev. Lett., 1965, 14, 575;
Jоst R., Helv. Phys. Acta, 1966.
3. Wigner E.P., Ann. Math., 1939, 40, 149;
Широков Ю.М., ЖЭТФ, 1957, 33, 1196;
Санников С.С., Ядерная физика, 1966, 4, 587.
4. Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я., Обобщенные функции, т. 4, 1959.
5. Фущич В.И., Письма в ЖЭТФ, 1965, 2, 157.
6. Salam A., Delbourgo R., Strathdee J., Proc. Roy. Soc. A, 1965, 284, 146.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 61–67.

Об операторах взаимодействия
В.И. ФУЩИЧ

<< Предыдущая

стр. 13
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>