<< Предыдущая

стр. 14
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

The problem on finding interaction operators in the field quantum theory is formulated
and solved (in some particular cases). It is shown that in the most general sense this
problem is reduced to finding isometric operators satisfying the conditions (22).

В теории, основывающейся на уравнении движения
??
(1)
H? = i ,
?t
как правило, предполагается, что полный гамильтониан системы можно предста-
вить в виде [1]
H = H0 + H . (2)
Хотя такое предположение кажется естественным, на самом же деле это очень су-
щественное ограничение на теорию, и возможно является причиной возникновения
расходимостей в ней.
Более точно это предположение означает, что все динамические операторы си-
стемы имеют вид
0 0
(3)
P? = P? + P ? , Mµ? = Mµ? + Mµ? ,
где P? — полный оператор энергии-импульса системы, Mµ? — полный тензор
0 0
момента, а P? , Mµ? — операторы (свободные) невзаимодействующей системы.
Операторы со штрихами будем называть операторами взаимодействия.
Исходя из требований релятивистской инвариантной теории, на операторы P? ,
Mµ? следует наложить условие, что они являются генераторами алгебры Пуанкаре
P [2], т.е.
[Mµ? , P? ]? = i(g?? Pµ ? gµ? P? ),
[P? , P? ]? = 0,
(4)
[Mµ? , M?? ]? = i(gµ? M?? ? gµ? M?? + g?? Mµ? ? g?? Mµ? ).
Очевидно, что и свободные операторы должны также быть генераторами алгебры
Пуанкаре P 0 , т.е.

= i(g?? Pµ ? gµ? P? ),
0 0 0 0 0 0
P ? , P? = 0, Mµ? , P? ?
? (4 )
= i gµ? M?? ? gµ? M?? + g?? Mµ? ? g?? Mµ? .
0 0 0 0 0 0
Mµ? , M?? ?

В релятивистской квантовой механике свободные операторы P? = (P0 , P 0 ),
0 0

Mµ? = (K 0 , J 0 ) системы, состоящей из одной частицы, имеют вид [3]
0

1/2
p = ?i?,
P 0 = ? = m2 + p 2
0
P 0 = p,
,
(5)
1
K = (r? + ?r ) ? (s ? p ) (m + ?)?1 ? tp,
J = r ? p + s,
0 0
2
где s — спиновый оператор.
Український фiзичний журнал, 1967, 12, № 8, С. 1331–1338.
62 В.И. Фущич

В квантовой теории поля эти операторы определяются через канонический тен-
зор энергии-импульса Tµ? следующим образом:

d3 x (xµ T?0 ? x? Tµ0 ).
0
d3 x T?0 , 0
(5 )
P? = Mµ? =

Несмотря на то, что операторы (5) и (5 ) имеют различную структуру, в алге-
браическом смысле это эквивалентные операторы, так как они реализуют одно и
то же неприводимое представление алгебры P 0 . Поэтому и физические теории,
построенные на операторах (5) и (5 ), эквивалентны, хотя пространства, в ко-
торых действуют эти операторы, различны. Это утверждение справедливо и для
полных операторов, если динамические операторы системы в квантовой механи-
ке и квантовой теории поля реализуют одно и то же представление алгебры P .
И вообще, две теории следует считать физически эквивалентными, если средние
значения коммутирующих операторов полного набора в обеих теориях совпадают.
Ясно, что такое определение эквивалентности двух описаний более общее, чем
обычно принятое [3], которое по существу является следствием из постулата о
равноправности различных систем отсчета.
В работе [4], а затем в [5] впервые рассматривалась задача о нахождении наи-
более общих выражений для операторов взаимодействий в релятивистской кван-
товой механике. В настоящей работе формулируется и решается (в некоторых
частных случаях) такая же задача в релятивистской квантовой теории поля.
Прежде чем перейти к решению этой задачи, необходимо придать четкий мате-
матический смысл равенствам (3). Обозначим через H гильбертово пространство,
в котором задано представление алгебры P , а через H 0 — подпространство в H,
в котором реализуется представление алгебры P 0 . Формулам (3) можно придать
четкий смысл в следующих случаях:
1. Представления алгебр P и P 0 заданы во всем пространстве H (H = H 0 ) или
на плотных (неплотных) множествах D(P ) = D(P 0 ) ? H.
2. Представление алгебры P задано в H ? H 0 , а представление P 0 — в инва-
риантном подпространстве H 0 .
3. Представление P задано только на плотном (или неплотном) множестве
D(P ) ? D(P 0 ) в H.
1. Рассмотрим первый случай.
a) Так как алгебры P и P 0 изоморфны, то равенства (3) можно рассматривать
как связь между базисами в 10-мерном векторном пространстве, поэтому

P? = a? P? + b?? M?? ,
0 0
Mµ? = c? P? + d?? M?? .
0 0
(6)
? ? µ? µ?

Поскольку операторы P? , Mµ? удовлетворяют коммутационным соотношениям (4),
то постоянные коэффициенты в (6) должны быть такими, чтобы удовлетворялись
следующие равенства:

a? b?? ? b?? + a? (b?? ? b?? ) g?? = 0,
? µ µ µ? ?
b?? ? b?? b?? ? b?? g?? = 0,
µ µ ? ?
c? (b?? ? b?? ) + a? d?? ? d?? g?? = gµ? a? ? g?? a? ,
µ? ? ? ? µ? µ? ? µ
Об операторах взаимодействия 63

(b?? ? b?? ) d?? ? d?? g?? = gµ? b?? ? g?? b?? ,
? ? µ? µ? ? µ

c? d?? ? d?? + c? d?? ? d?? g?? = g?? c? ? g?µ c? + g?µ c? ? g?? c? ,
µ? µ? µ? ?? ?µ
?? ?? ?? ?µ ??

d?? ? d?? d?? ? d?? = g?? d?? ? g?µ d?? + g?µ d?? ? g?? d?? ,
µ? µ? ?? ??
?? ?? ?µ ??

c? = ?c? , d?? = ?d?? .
µ? ?µ µ? ?µ

Из (6) получаем явные выражения для операторов взаимодействия через сво-
бодные операторы

P? = b?? M?? +
0
a? P? ,
0
(7)
? ?
?=0, ?=?


Mµ? = c? P? +
0
d?? M?? .
0
(7 )
µ? µ?
?, ? = 0,
? = µ, ? = ?

Формулы (6) можно рассматривать как линейные однородные канонические соо-
0 0
тношения между операторами P? , Mµ? и P? , Mµ? . Очевидно, что формулы (7)
определяют наиболее общий вид операторов взаимодействия, если ограничиться
только линейными каноническими преобразованиями. В общем случае нелиней-
ных неоднородных преобразований операторы являются некоторыми функциями
от свободных операторов:
0 0
(8)
P? = F? (P? , Mµ? ), ? = ?,
0 0
(8 )
Mµ? = Fµ? (P? , M?? ), ? = µ, ? = ?.

Из условия релятивистской инвариантности (4) следует, что функции F? , Fµ?
должны быть такими, чтобы операторы взаимодействия удовлетворяли таким ком-
мутационным соотношениям:
0 0
(9)
P ? , P? = P ? , P? + P ? , P? ,
? ? ?

= i(g?? Pµ ? gµ? P? ) + P? , Mµ? ? Mµ? , P? ,
0 0
(9 )
Mµ? , P? ? ?


= i gµ? M?? ? gµ? M?? + g?? Mµ? ? g?? Mµ? +
Mµ? , M?? ?
(9 )
? Mµ? , M?? .
0 0
+ M?? , Mµ? ?

Таким образом, задача о нахождении операторов взаимодействия в этом слу-
чае сводится к описанию всех канонических преобразований операторов P? , Mµ?
0 0
и P? , Mµ? . Следует отметить, что даже если бы были описаны все такие преобра-
зования, то мы не смогли бы найти все возможные операторы взаимодействия,
так как операторы P? , Mµ? могут, вообще говоря, удовлетворять условиям (9), но
0 0
не быть функциями P? , Mµ? . В этом последнем случае наша задача сводится к
0 0
решению операторных уравнений (9) при заданных операторах P? , Mµ? . Далее
укажем на один класс решений этой задачи.
б) В квантовой теории поля динамические операторы обычно строятся из опера-
торов рождения и уничтожения. Для простоты, рассмотрим только взаимодействие
между нейтральными мезонами.
64 В.И. Фущич

Рассмотрим такую систему операторов:
0 0 0
(10)
P? = P? + P ? , Mij = Mij + Mij , M0i = M0i + M0i ,
где

d3 k k? a? (k)a(k),
0
(11)
P? = ? = 0, 1, 2, 3,

i
ki m0 (k) ? ki m0 (k) ,
0
d3 k (11 )
Mij = i, j = 1, 2, 3,
j i
2
i
M0i = ?Mi0 = ?
0 0
d3 kk0 m0 (k), (11 )
i
2

?a? (k) ?a(k)
a(k) ? a? (k)
m0 (k) k 2 + m2 ,
= , k0 =
i
?ki ?ki

d3 k k? a? (k)v(k) + v ? (k)a(k) + f? , (12)
P? =


ki mj (k) ? kj mi (k) + fij ,
d3 k (12 )
Mij = i


M0i = ?Mi0 = i d3 k k0 mi (k) + f0i , (12 )

?a? (k) ?v ? (k) ?v(k) ?a(k)
?
a(k) ? v ? (k)
v(k) ? a (k)
mk (k) = + ,
?ki ?ki ?ki ?ki

v(k) — функция, a? (k), a(k) — операторы рождения и уничтожения мезонов, удов-
летворяющие обычным коммутационным соотношениям

a(k), a? (k ) = ?(k ? k ),
?


d3 k k? |v(k)|2 ,
f? =

?v ? (k)

<< Предыдущая

стр. 14
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>