<< Предыдущая

стр. 15
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

i ?v(k)
v(k) ? v ? (k) ?
3
fij = dk ki
2 ?kj ?kj

?v ? (k) ?v(k)
v(k) ? v ? (k)
?kj ,
?ki ?ki

?v ? (k)
i ?v(k)
v(k) ? v ? (k)
=? 3
f0i d k k0 .
2 ?ki ?ki

Непосредственной проверкой можно убедиться, что система операторов (10)
удовлетворяет условиям (4) и (4 ), а проще всего в этом убедиться, если сделать
такое каноническое преобразование [6]:

c? (k) = a? (k) + v ? (k). (13)
c(k) = a(k) + v(k),
Об операторах взаимодействия 65

В новых операторах c? (k) и c(k) полные динамические операторы (10) имеют
вид1
P? = P? (a? > c? , a > c),
0
(14)

Mij = Mij (a? > c? , a > c),
0
(14 )

M0i = M0i (a? > c? , a > c).
0
(14 )

Этот пример показывает, что всякая система операторов (10), которая может
быть приведена при помощи канонических преобразований операторов рождения
и уничтожения к диагональному виду (относительно операторов c? (k), c(k)), удов-
летворяет коммутационным соотношениям (4).
Следует отметить, что система операторов (10) является нетривиальным ре-
шением уравнений (4), однако физическая теория, построенная на основе этих
операторов, по существу, эквивалентна свободной теории поля, если преобразова-
ния (13) являются собственными каноническими преобразованиями.
В работе [7] приведены также частные решения уравнений (9), отличные от
наших. Выражения для генераторов алгебры P приведены в виде бесконечных
рядов операторов a? (k) и a(k). Вопрос о сходимости этих рядов не обсуждается.
2. Так как во втором случае H ? H 0 , то (3) следует записать в таком виде:
P? = P? E 0 + P ? E ? P? + P ? ,
0
(15)
Mµ? = Mµ? E 0 + Mµ? E ? Mµ? + Mµ? ,
0


где E 0 — оператор проектирования на подпространство H 0 , E — оператор прое-
ктирования на H H 0 . Из формулы (15) следует, что операторы P? , Mµ? являются
0 0

частями операторов P? , Mµ? , лежащими в H 0 . В этом случае соотношения (9)
имеют вид

= P? P? ? P ? P? ,
0 0
P ? , P?
?
= i g?? Pµ ? gµ? P? + P? Mµ? ? Mµ? P? ,
0 0
Mµ? , P? ?
(16)
= i gµ? M?? ? gµ? M?? + g?? Mµ? ? g?? Mµ? +
Mµ? , M?? ?
+ M?? Mµ? ? Mµ? M?? .
0 0


Из (16) видно, что операторы взаимодействия образуют обобщенную (или кван-
тованную) алгебру Ли в том смысле, что некоторые структурные константы этой
алгебры не числа, а операторы, которые, в свою очередь, являются генераторами
алгебры Пуанкаре P 0 . В общем случае задача о нахождении операторов взаимо-
действия сводится к построению представлений такой обобщенной алгебры. Такую
задачу, по-видимому, невозможно решить известными в настоящее время метода-
ми. Однако в предположении, что
P? P? ? P? P? = 0,
0 0

P? Mµ? ? Mµ? P? = 0,
0 0
(17)
M?? Mµ? ? Mµ? M?? = 0,
0 0

0
1 Стрелки в формулах (14) означают соответствующую замену в формулах (11) для операторов P? ,
0
Mµ? .
66 В.И. Фущич

система уравнений (16) может быть решена, поскольку в этом случае операторы
взаимодействия образуют алгебру Пуанкаре P , а все представления такой алгебры
найдены [8].
Далее покажем, что если подпространство H инвариантно также и относи-
тельно сопряженных операторов P ? , то условия (17) выполняются тождественно,
т.е.
0 0 0
(18)
P? P? = P? Mµ? = Mµ? M?? = 0.
Рассмотрим такое скалярное произведение:
(P E h, E 0 h) = (P h , E 0 h),
где h ? H H 0 , E 0 h ? H 0 . При вышеуказанных предположениях справедливо
такое равенство:
(P h , E 0 h) = (P h , E 0 h) = (h , P ? E 0 h) = 0, (19)
из которого следует, что P h ? H = H H 0 , т.е. относительно операторов взаи-
модействия пространство H , инвариантно, а это и означает, что условия (18)
удовлетворяются.
Нетрудно убедиться, что такое же утверждение справедливо и тогда, когда
операторы P заданы не во всем H, а только на плотном множестве D(P ) в H при

E 0 D(P ) ? D(P ). (20)

3. Теперь рассмотрим случай, когда D(P ) плотно в H, но условие (20) не
выполняется. Обозначим через D0 (P ) и D (P ) такие множества

D0 (P ) = E 0 D(P ) ? D(P ), D (P ) = E D(P ) ? D(P ).
По формулам (15) алгебра P однозначно определяется через операторы P 0 и P
только на тех элементах h ? H, которые принадлежат области D = D0 (P )?D (P ).
На самом же деле операторы P? , Mµ? определены в более широкой области D(P ),
поэтому возникает задача о расширении операторов P , которые определены на
множестве D формулами (15), на множество D(P ). При этом расширения должны
быть такими, чтобы расширенные операторы образовывали алгебру Пуанкаре.
Далее мы остановимся на более узкой задаче, а именно, о расширении опера-
торов P при условии, что они симметричны и область D ? D(P ) плотна в H.
Используя теорию симметрических расширений [9], можно найти все симме-
трические расширения операторов P? , Mµ? , которые определены на множестве D
формулами (15). Эти расширения определяются формулами
00
P? f? = P? f? + P? f? + z? ?? + z ? V? ?? ,
(21)
0 0
Mµ? fµ? = Mµ? fµ? + Mµ? fµ? + zµ? ?µ? + z µ? Vµ? ?µ? ,
где
f? , fµ? ? D0 (P ), f? , fµ? ? D (P ),
0 0

0
f? = f? + f? + ?? + V? ?? ,
0
fµ? = fµ? + fµ? + ?µ? + Vµ? ?µ? ,
Об операторах взаимодействия 67

V? , Vµ? — изометрические операторы, z? , zµ? — невещественные числа, ?? , ?µ?
— вектора в H, принадлежащие дефектным пространствам операторов P? , Mµ? .
Из всех возможных расширений операторов P? и Mµ? , задаваемых формула-
ми (21), следует отобрать только такие, которые удовлетворяют коммутационным
соотношениям (4). Это ограничение на P? и Mµ? приводит к тому, что изометри-
ческие операторы V? , Vµ? должны удовлетворять следующим условиям:
?1 ?1
(z? V? ? z? E) (V? ? E) , (z ? V? ? z? E) (V? ? E) (22)
= 0,
?

?1 ?1
(z µ? Vµ? ? zµ? E) (Vµ? ? E) , (z ? V? ? z? E) (V? ? E) =
?
(22 )
?1 ?1
= i g?? (z µ Vµ ? zµ E) (Vµ ? E) ? gµ? (z ? V? ? z? E) (V? ? E) ,

?1 ?1
(z µ? Vµ? ? zµ? E) (Vµ? ? E) , (z ?? V?? ? z?? E) (V?? ? E) =
?
?1
= i gµ? (z ?? V?? ? z?? E) (V?? ? E) ? gµ? (z ?? V?? ? z?? E) ?
(22 )
?1 ?1
? (V?? ? E) + g?? (z µ? Vµ? ? zµ? E) (Vµ? ? E) +
?1
+g?? (z µ? Vµ? ? zµ? E) (Vµ? ? E) ,

где E — единичный оператор, а по повторяющимся греческим индексам суммиро-
вание не проводится.
Таким образом, задача о нахождении операторов взаимодействия сводится к на-
хождению изометрических операторов V? , Vµ? , удовлетворяющих уравнениям (22).
Аналогичным способом можно рассмотреть и тот случай, когда операторы P? ,
Mµ? заданы на неплотном множестве D формулами (15), но при этом необходимо
предполагать, что они замкнуты [10].

1. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В., Введение в теорию квантованных полей, М.–Л., 1957.
2. Diгас P.A.M., Rev. Mod. Phys., 1949, 21, 392.
3. Вигнеp Е., Теория групп, М., ИЛ, 1961.
4. Ваkаmjiаn B., Thomas L.H., Phys. Rev., 1953, 92, 1300.
5. Foldу L.L., Phys. Rev., 1961, 112, 275.
6. Боголюбов Н.Н., Толмачев В.В., Ширков Д.В., Новый метод в теории сверхпроводимости, М.,
1958;
Швебер C., Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, М., ИЛ, 1963.
7. Кita H., Prog. Theor. Phys., 1966, 35, 934.
8. Wigner E.P., Ann. Math., 1939, 40, 149;
Широков Ю.М., ЖЭТФ, 1957, 33, 1196;
Санников C.C., Ядерная физика, 1966, 4, 587.
9. Ахиезер Н.И., Глазмай И.М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М.–
Л., 1966.
10. Красносельский М.А., ДАН СССР, 1948, 9, № 1.
W.I. Fushchych, Scientific Works 2000, Vol. 1, 68–78.

A relativistically invariant mass operator
W.I. FUSHCHYCH

In [1] it was shown how, for a given (discrete) mass spectrum of elementary or
hypothetical particles, it was possible to construct a non-trivial algebra G containing
a Poincar? algebra P as a subalgebra so that the mass operator, defined throughout the
e
space where one of the irreducible representations G is given, is self-conjugate and its
spectrum coincides with the given mass spectrum. Such an algebra was constructed
in explicit form for the nonrelativistic case, i.e., the generators were written for the
algebra. However, the problem of how to assign the algebra G constructively and
determine an explicit form of the mass operator in the relativistic case has remained
unsolved.
In the present work we present a solution of this problem, construct continuum
analogs of the classical algebras U (N ) and Sp(2N ), and show that the problem of
including the Poincar? algebra can be formulated in the “language” of wave function
e
equations.
1. For simplicity, we will assume that there be given only three particles with
masses m1 , m2 and m3 . R1 , R2 and R3 will represent the spaces in which irreducible
2
(i)
representations of the algebra P are realized. The operator P? in these spaces is,
as is well known, a multiple of the unit operator:
2
(i)
R i = m2 R i , (1)
P? i = 1, 2, 3, ? = 0, 1, 2, 3.
i

We will designate by R the linear sum of these spaces1 . The operators of energy-
momentum, angular momentum, and square of the masses of the system, which may
be in various excited states in this space, take the form
(1) (2) (3)
P? = P? F11 + P? F22 + P? F33 ,
(2)
(1) (2) (3)
Mµ? = Mµ? F11 + Mµ? F22 + Mµ? F33 ,
2 2 2
M 2 = P?
(1) (2) (3)
(3)
F11 + P? F22 + P? F33 ,

where the Fij designate the squared three-rowed matrices in which unit operators
stand at the intersection of the i-th row and j-th column, while all other elements are
zero.
It is clear that in R there are realized reducible representations of the algebra P .
However, relative to certain sets of the operator G this space may not have invariant
subspaces. Obviously, operators must appear in this set of the type
? ?
d11 d12 d13
D = ? d21 d22 d23 ? , (4)
d31 d32 d33
Ukrainian Physics Journal, 1968, 13, № 3, P. 256–262.
1 Inthe case of a real physical problem, we should have taken the linear sum with certain weights,
the squares of the moduli of which could be interpreted as the probability of finding the system in one or
another of the states.
A relativistically invariant mass operator 69

where at least one of the operators dij (i = j) is nonzero. In order to solve our
problem, these operators must be constructed in explicit form.

<< Предыдущая

стр. 15
(из 122 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>